《控制理论与控制工程专业课程设计》倒立摆实验报告

1、八京航玄航夭大爭b e i h a n g university倒立摆与自动控制原理实验报告目录一、实验目的2二、实验设备2三、倒立摆系统介绍3四、倒立摆控制系统的建模4五、系统的可控性分析10六、根轨迹控制实验126. 1根轨迹分析126.2根轨迹校正及仿真136. 3实时控制结果186.4根轨迹设计小结19七、频率响应控制实验197.1频率响应分析197.2频率响应设计及仿真（超前校正）227.3实时控制结果（超前校正）277.4频率响应设计（滞后超前校正）287.5实时控制结果（滞后超前校正） 307.6频域分析校正方法小结30八、pid控制实验318.1 pid 控制318.2 pid

2、参数设定及仿真318.3实时控制结果368.4 pid控制小结37九、状态空间极点配置实验399.1极点配置及仿真399.1.1极点配置399.1.2极点仿真439.2实时控制结果449.2.1 当取 匚-0.5, © = 3 时449.2.2 当取匚-0.5, a)n = 5 时459.3状态空间极点配置方法小结46十、线性最优二次控制lqr4810.1线性二次最优控制lqr基本原理及分析4810.2 lqr控制参数调节4910.3 lqr控制参数设计仿真5210.4实时控制结果5310.5线性二次最优控制lqr小结54-一、个人小结55一、实验目的1. 运用经典控制理论控制直线一

3、级倒立摆，包括实际系统模型 的建立、根轨迹分析和控制器设计、频率响应分析、pid控制分析等 内容.2. 运用现代控制理论中的线性最优控制lqr方法实验控制倒立 摆3. 学习matlab工具软件在控制工程中的应用4. 掌握对实际系统进行建模的方法，熟悉利用matlab对系统 模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对 系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感 受控制器的控制作用。二、实验设备计算机及m atlab.vc等相关软件固高倒立摆系统的软件固高一级直线倒立摆系统'包括运动卡和倒立摆实物倒立摆相关安装工具三、倒立摆系统介绍倒立摆是机器人技术、控

4、制理论、计算机控制等多个领域、多种 技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多 变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行 研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段， 为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用 来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新 思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和 技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹 拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星 飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。倒立摆已

5、经由原来的亡线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有 直线倒立摆环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，本次实验采用 的是直线一级倒立摆。倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性:1） 非线性2）不确定性3）耦合性4）开环不稳定性5）约束限制。倒立摆控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一 个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需 要给系统设计控制器，本小组采用的控制方法有：根轨迹控制、频率 响应控制、pid控制、状态空间极点配置、线性二次最优控制。四、倒立摆控制系统的建模下面我们采用牛顿一欧拉方法建立亡线型一级倒立摆系统的数学模型：在忽略了空气阻力和各种

6、摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统m小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数/摆杆转动轴心到杆质心的长度/摆杆惯量f加在小车上的力x小车位置<i>摆杆与垂直向上方向的夹角0摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，n和p为小车与摆杆相 互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确 定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量止方向。图3-2小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：mx = f-bx-n“、(3-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：n =加

7、上(x + / sin &)赤(3-2)gp：(3-3)n = nix + mw cos 0 一 mlo2 sin 0把这个等式代入式(3j)中，就得到系统的第一个运动方程:(m + 加)壬 + bx + mid cos 0 一 mlo2 sin 0 = f(3-4)为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行 分析，可以得到下面方程：d 2p 一 mg = m (7 cos 0)(3-5)p 一 nig = -nilo sin 0 一 ml 02 cos 6(3-6)力矩平衡方程如下:一 pl sin 0 - n1 cos 6 = 10(3-7)合并这两个方程，约去p

8、和/v,得到第二个运动方程:(7 + mgl sin 0 = -mix cos 0(3-8)设e = n( e是摆杆与垂直向上方向之间的夹角)，假设e与1 (单位是弧度)相比很小，即4)«1,则可以进行近似处理：cos& = 一1, sin 6? = 一0 , ()2 = 0dt用u来代表被控对象的输入力f,线性化后两个运动方程如下:(3-9)(3-10)|(z + 沪畅 一 mgl(p = mix (a/ + nf)x + bx - ml(p = u对式(39)进行拉普拉斯变换，得到(7 + ml1)0(5)52 一 回“)=mlx(s)s， (m + m)x(s)s2 +

9、 bx (.s )5 一 (|s)“ = u (s)注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输岀为角度e,求解方程组的第一个方程，可以得到: -y(.s)= m j)仝ml或(s) _mis2x(s)(7 + ml2)s2 一mgl如果令v = x 则有：g)7ml(z+- mgl把上式代入方程组的第二个方程，得到:q + m) ml(如+b(z )+ 刍 (s)s ml(s)s2 = u(s)dll整理后得到传递函数:ml =s 0)二qu(s) b(i 十血)q (m 4- fn)mglsssqqbmglsq其中q = (m + zw)(z + ml2) -(m/)2设系统状态空间方程为

10、:x = ax + buv = or + du方程组 对丄妙 解代数方程，得到解如下:x = x:-(i + ml2)b .+m2gl2r .川厂)i(m + tn) + mn 十i(m + m) +i(m + m) + mnil一 nilbmgl(m + ?) 丄i(m + rn) 4- mmf- * z(m +加)+ )伽厂 十 z(m +加)+ a伽厂"ml整理后得到系统状态空间方程:0100l0一 (z + ml2)bm2gl20xim + m) + mml：i(m + “7)+ mmlx+0001e10-mlbmgl (m + m)0$i(m + m) + mm,i(m +

11、 加)+ mml2x xi(m + m) + mmf 0 mloz + ml2x='10 00_x+0_0 0 10_0_0由(39)的第一个方程为：(/ + 沪畅 一 mgl(p - mix对于质量均匀分布的摆杆有：i = ml23于是可以得到：1. d-nil" + 0 mgl(p - mix13j化简得到: 3e 3x = a a 旅 0,则有:心沪+戸00x0 10 0x0 x0 0 0 0x1缶=0 0 0 1(h0y ±0 0空0ra3l4/l。_4?_uux实际系统的模型参数如下:m小车质量1.096 kgm摆杆质量0.109 kgb小车摩擦系数0ln

12、/m/seci摆杆转动轴心到杆质心的长度0.2 5m/ 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:(s)7(s) 一 0.0102125/ -0.26705以小车加速度作为输入的系统状态方程:01001xo0000x1+000100029.4j jd_3_l x_10 0o-x_0+00 1000i/u注意事项：在固高科技所有提供的控制器设计和程序中，采用的都是以小不的加速度作为系统的输入。五、系统的可控性分析对于连续时间系统:x = ax + buy = cx + du系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组b, ab,

13、an-1b是线性无关的系统的输出可控性的条件为：当且仅当矩阵 cb;cab;ca?b;ca”b;d的秩等于输出向量y的维数。应用以上原理对系统进行可控性分析，在mat lab中计算：clear;a= 0 1 0 0;0000;000 1;0 0 29.4 0;b=0 1 0 3：c= 1 0 0 0;0 100;d= 0 0 *;cona=b a*b aa2*b aa3*b;cona2=c*b c*a*b c*aa2*b c*aa3*b d;rank(cona)rank(cona2)可以得到：ans =4ans =2可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量 维数，系统的输出完全

14、可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数， 所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。六、根轨迹控制实验6. 1根轨迹分析前面我们已经得到了亡线一级倒立摆的物理模型，实际系统的开 环传递函数为： _0.027257(s) 0.0102125/ -0.26705其中输入为小车的加速度u(s),输岀为摆杆的角度。在matlab下绘制系统的根轨迹图。在matlab中键入以下命令：clear;num=0.02725 ;den=0.0102125 0 -0.26705;rlocus (numden)z=roots (num);p=roots(den);得到如下结果：z = 0,0p = 5

15、.1136,-5.1136root locus可以看岀，系统有两个零点，有两个极点，并且有一个极点为正。可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平而，并且有一条根 轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味 着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，即系统总是不 稳定的。6. 2根轨迹校正及仿真对于传递函数为：亠、0.02725g(s) =0.0102125?-0.2675的系统，设计控制器，使得校正后系统的要求如下: 调整时间ts = 0.55(2%)；最大超调量mp<m ；根轨迹设计步骤如下：1) 确定闭环期望极点d s的位置，由最人超调量二严w%510%可以得

16、到：>0.591155 ,在本实验我们取,0.7 o由 $ = cos(&)可以得到：0 = 0.795399 (rad)其中0为位于第二象限的极点和o点的连线与实轴负方向的夹角。又由：t = - < 0.5$3可以得到：13.5328 ,在本例我们取©=14.2857于是可以得到期望的闭环极点为：14.2857(cos&土 jsino)2) 未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正，设控制器为：k(s) = a 75 + 1 = (a <1)ats + 5 + p3) 计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的

17、闭环主导极点和系 统原来的极点的相角和为：, -1z14.2857 sin <9、.14.2857 sin、“、八g(s.) = -(- tan () - tan () + 6.28) = -4.5653'14.2857 cos & - 5.113614.2857 cos & + 5.1136因此校正装置提供的相角为：0 =3.14 (4.5653) = 1.42534) 设计超前校正装置，已知：e = 0.795399对于最大的a值的丫角度可由下式计算得到：丫=、兀-所以有：丫=丄(龙一0 0) = 0.46124324 jwux按最佳确定法作图规则，在上图中画

18、岀相应的直线，求出超前校正装置的零点和极点，分别为：z°=-6.68521;z“=-30.52731校正后系统的开环传递函数为：q = g(s) k(s) = kg+6.68521)_002725_(s+30.52731) 0.010212552-0.267055) 由幅值条件|g(sd)h(sd)| = l ,并设反馈为单位反馈，所以有 = 165.19 ；6) 于是我们得到了系统的控制器：g(s) = 165.19 "+668521)(s+30.52731)使用数学软hmathematica编写自动计算程序如下：overstep=0 04598791;adjusttim

19、e=04; pospole=51136;negpole=-51136;mp= 1 丿；print nnnsolve(mp-overstep)do , damp=0/%printndn =arccos dampts=4-r (damp*n);print ffnsolve (ts-ad justtime) do, (_n);_=_n/ %polesre=-*cos ;polesim=*sin;z=polesre+i*polesim;printngsdn;gsd=- (arg z-pospole +arg z-negpole)print f>n>=-<-gsd;printnnn=(

20、y»-a)/2print n zerocoord11 zerocoord=polesre-polesim*tan -(y/2-口)printnpolecoordnpolecoord=polesre-polesim*tan-(y/2-口)+afk=absk*(z-zerocoord)/(z-polecoord)*0 02725/(0 0102125*2 一026705);printnknsolvefk-ldoz (k)在matlab中编写如下m文件，对系统进行仿真:clear;num 二0.02725;den=0.0102125 0-0.267051; numlead=-6.68521

21、;denlead=-30.57321;z,p,k=tf2zp(num,den);za=z;numlead;pa=p;denleadl;num2,den2=zp2tf(za,pa,k);sys=tf(num2,den2);rlocus(sys);figurekk=14l137 % compensated system sys2二zpk(za,pa,kk*k);sysc=sys2/(l +sys2);% transfer function of the linear 1 stage% inverted penulum% controller zeros% controller poles% add

22、 zeros to the lip system% add poles to the lip systemt=0:0.005:5;step(sysc,t) % response of the close-loop system根轨迹图及仿真如下：根轨迹阶跃响应04020.52.5time (seconds)6. 3实时控制结果6. 4根轨迹设计小结根轨迹是指系统开环传递函数中的某个参数（一般为开环增益） 从零到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。通过实验我总结到，闭环极点应该远离虚轴，这样会使系统的快 速性更好。复数极点最好设置在s平面中与负实轴成止负45度夹角线 附近，这样既能有较好的稳

23、定性也有较好的动态性能。对开环传递函 数增加零点可以使根轨迹向s左半平面移动，是系统稳定性变好。在本实验所用设计方法中，为获得系统更好地瞬态响应，减少稳 态误差，可以采用以下方法进一步调整：第一种方法：增加阻尼$ ,重复上面的设计方法，重新设计， 直到系统的响应满足要求。第二种方法：在保持©角不便的情况下，将校正装置的零点向 左侧偏移，以减少闭环零点和极点的影响。七. 频率响应控制实验7,1频率响应分析前面我们已经得到了直线一级倒立摆的物理模型，实际系统的开环传递函数为：(s) _0.02725/(s) 0.0102125/ 0.26705其中输入为小车的加速度u(s),输出为摆杆的

24、角度。在matlab下绘制系统的bode图和奈奎斯特图。在matlab中键入以下命令：clear;n um 二0.02725;den=0.0102125 0 -0.26705;z=roots(num);p=roots(d en);subplot(2zl,l)bode(num,de n)subplot(2 丄 2)nyq uist( nu m,den)得到如下图所示的结果：z =empty matrix: 0-by-lp =5.1136-5.1136figure no. 1insert tools window helpk a z / 妙 q c80回凶bode diagram50101l o8

25、111025.o.5o.frequency (rad/sec)nyquist diagram0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10real axis可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位 于右半s平面，根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条 件是：当3从一 oo到+ oo变化时，开环传递函数g(丿"3 )沿逆时针 方向包围j点p圈，其中p为开环传递函数在右半s平面内的极点 数。对于直线一级倒立摆，由奈奎斯特图我们可以看出，开环传递函 数在s右半平面有一个极点，因此g(j3 )需要沿逆时针方向包围j 点一圈。可以看出，系统的奈奎

26、斯特图并没有逆时针绕点一圈， 因此系统不稳定，需要设计控制器来镇定系统。7.2频率响应设计及仿真(超前校正)直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题:考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：g(s)二 ©二°°2725' v(s) 0.010212552 -0.26705设计控制器q(s),使得系统的静态位置误差常数为io,相位裕量为5(r ,增益裕量等于或大于10分贝。根据要求，控制器设计如下：1) 选择控制器，上面我们已经得到了系统的bode图，可以看出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为:gs) = kca7 + 1a

27、tsl1s + -£ +at已校正系统具有开环传递函数gf.(s)g(s)g (s) = kg(s)=0.02725 xk0.0102125"0.26705式中k = kca o2)根据稳态误羌要求计算增益k ,k=limq(s)g(s)二p5->01汕盲 x0-02725=10一0 c 丄 10.0102125?-0.26705at可以得到：kca = 9s = k于是有：_0.02725x981 0.0102125?-0.267053)在matlab中画出g】(s)的bode图:500op) apnjtcewsode diagram10frequency (rad

28、/$)nyquet diagram.sxv ajbu&be-10-9-8real axis4) 可以看出，系统的相位裕量为oo,根据设计要求，系统的相位裕 量为50。，因此需要增加的相位裕量为50“，增加超前校正装置会改变 bode图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交 界频率增加所造成的g(je)的相位滞后增量进行补偿，因此，假设需 要的最大相位超前量血近似等于60。因为sin血=-1 +力计算可以得到：a =0.07185) 确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率3 = vt 和3 =1/( a t),可以看出，最大相位超前角血发生在两个转角频率 的几何中

29、心上，即a)=/(4at),在a)=/(yfat)点上，由于包含 (ts+l)/(ats+l)项，所以幅值的变化为：1+腳1 +丿如7訥忌）14a= 11.4386 分贝并且|g（jq）| =-11.4386分贝对应于3 = 30.8181 rad/s,我们选择此频率作为新的增益交界频率©，这一频率相应于0=1/（巫t）,即© = 1 / (a t),于是1oa©4a115.01486）于是校正装置确定为:g,s) = kfn+i+ 1s +8.9854$ + 90.3965= 13657) 增加校正后系统的根轨迹和奈魁斯特图如下：使用matlab画图的m文件为:

30、clear;phi=60;alpha=solve(1sind(phi) = (1-alpha)/(1+alpha) 1, 1 alpha1);kc=98/alpha;r=solve('0.02725*98/(0.010212 5*ommigaa2 + 0 2 67 05) = (alpha)a0.5', 'ommiga')；ommiga=r(1);zc=alphaa05*ommiga;pc=zc/alpha;num=98*0.02725;den=0.0102125 0 -026705; subplot(2,1,1);bode(num, den)subplot(2

31、,1,2);nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=z;-82577;pa=p;-115.0148;k=1365;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot (2,1,1)bode (sys)subplot (2,1,2)nyquist (sys)figuresysc=sys/(1+sys);t=0:0005:5;impulse(sysc,t);figurestep(sysc,t);从bode图中可以看岀'系统具右要求的相角裕度和幅值裕度，从奈 魁斯特图中可以看出，曲线绕j点逆时针一圈，因此校正后的系统 稳定。sode

32、 diagramfrequency (rad/$).sxv ajbu&be-得到系统的单位阶跃响应如下:step response25335445time (seconds)得到系统的单位脉冲响应如下:impure response022.5time seconds)1210可以看出，系统在遇到干扰后，在1秒内可以达到新的平衡，但是 超调量比较大。3007.3实时控制结果（超前校正）3.5l13一(9125一11-215-1一-0.5a1 1502002500100150time7.4频率响应设计（滞后超前校正）通过上面的实验可以看出，系统存在一定的稳态误差，为使系统 获得快速响应特性

33、，又可以得到良好的静态精度，我们采用滞后一超 前校正（通过应用滞后一超前校正，低频增益增大，稳态精度提高， 又可以增加系统的带宽和稳定性裕量），设滞后一超前控制器为：（s+*）（s+*）q（s）+卞（s+）（s+）参考相关教材设计滞后-超前控制器。求得控制器为：（sh）（sh）g.=k.夕 t： = 980x54 % $ + 2（s+0）（s+丄）5 + 90.3965 5 + 0.1988可以得到静态误差系数：/f=limg（s）g（. （s） = 100.6p sto比超前校正提高了很多，因为一2零点和一0.1988极点比较接 近，所以对相角裕度影响等不是很大，滞后超前校正后的系统bode

34、 图和奈魁斯特图如下所示：sode diagramlil r -50100-90frequency (rad/$)vo o 1 27nyquet diagram-3530-2s20real axt32015s-xv?euaee单位脉冲响应为:impulse response7,5实时控制结果（滞后超前校正）0500.50100150time/s2007.6频域分析校正方法小结超前校正的主要作用，是对系统的频率响应引入超前相位，改变 频率响应曲线的形状，以补偿原系统较大的滞后相角，使系统稳定， 改善系统动态性能。串联超前校正的优点：保证低频段满足稳态误差，改善中频段, 使截止频率增大，相角裕度变

35、大，动态性能提高，高频段提高使其抗 噪声干扰能力降低。滞后超前校正兼有滞后校正和超前校正的优点。使得被校正系 统的响应速度变快，超调变小，抑制高频噪声的性能变好。当对系统 的动态和静态性能有较高要求时，宜采用lag-lead校正。八、pid控制实验8.1 pid控制经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设 计时一般需要有关被控对象的较精确模型。pid控制器因其结构简 单，容易调节，且不需要对系统建立精确的模型，在控制上应用较 广。8.2 pid参数设定及仿真由实际系统的物理模里：(s) _0.02725v(s) 0.01021252 - 0.26705pid控制器的传递函数为k

36、d(s) = kds + k“+£需仔细调节pid控制器的参数，以得到满意的控制效果。在matlab中建立m文件以仿真不同参数下pid控制的效果，代码如下：clear;num=002725;den=0.0102125 0 一0.26705;kp=60;ki=12;kd=15; numpid=kd kp ki;denpid=l 0;syspid=tf(numpid,denpid); sysgs=tf(num,den);sysg=series(syspid, sysgs);sys=sysg/(1 + sysg);figure (1);t=0:0005:10;step(sys);figur

37、e (2);impulse (sys);我们通过试凑法寻找合适的pid参数。我们在试凑过程中发现， 比例系数心 可以增强系统的快速性，但不利于系统的稳定性；微分 系数k,可以增强系统的稳定性，但不利于系统的稳态误差；积分系 数心 可以改善动态特性，并减少稳态误差，但是会使稳定时间增加。 了解了这些特性，我们按照平衡各方面特性的想法，最终我们一共找 到了三组参数，均能达到较好控制效果。第一组，k“=40;k/=0;心=10单位阶跃响应仿真曲线如下:step responsej1.8g1 g a0206time (seconds)单位脉冲响应仿真曲线如下:imp use responsetime

38、(seconds)第二组，k“=40;k/=12;心=4单位阶跃响应仿真曲线如下:step responsen 1.8g10.0.5time(5ocbnds)单位脉冲响应仿真曲线如下:100206inpude responsetime (seconds)第三组，k” = 60; k/ = 12; k° = 15单位阶跃响应仿真曲线如下：step response02time (seconds)1.6 1.8单位脉冲响应仿真曲线如下:302520imp use response010203time (secbnds)0608098.3实时控制结果第一组，k“=40;k/=0;k

39、6; = 10353252i is0.50°5o204060 80180160140120100time/s200p2/e-6uvi1111111i一-一11-一-1-/一 /1 11 1 12206080100time/s120140160180200第三组，心=60; k/ = 12; k° = 1520406080120160180200140100time/s0508.4 pid控制小结在本次pid实验中，令我对pid控制器的设计有一定的了解。当 仅有比例控制时，控制器的输出与输入误差信号成正比关系，存在稳 态误差。但在控制器中仅引入“比例”项往往是不够的，比例项的

40、作用 仅是放大误差的幅值，在存在有较大惯性组件（环节）或有滞后 （delay）组件的控制系统中，这些环节具有抑制误差的作用，其变 化总是落后于误差的变化，导致自动控制系统在克服误差的调节过程 中可能会出现振荡甚至失稳。此时需要增加的是“微分项”，它使控 制器的输出与输入误差信号的微分（即误差的变化率）成正比关系， 能预测误差变化的趋势，这样，具有比例+微分的控制器，就能够提 前使抑制误差的控制作用等于零，甚至为负值，从而避免了被控量的 严重超调，增强稳定性。但稳态误差并不因为加入“p”和“i”而消除，为了消除稳态误 差，在控制器中必须引入“积分项”。在积分控制中，控制器的输出 与输入误差信号的

41、积分成正比关系。积分项对误差取决于时间的积 分，随着时间的增加，积分项会增大。这样，即便误差很小，积分项 也会随着时间的增加而加大，它推动控制器的输出增大使稳态误差进 一步减小，直到等于零。pid的三个参数相辅相成，因此可以通过不断尝试来获得最佳的 控制效果，但在尝试时应缓慢调节各参数，因为pid参数的微小变化 很多时候会使控制系统的响应有剧烈变化。九、状态空间极点配置实验9.1极点配置及仿真 9.1.1极点配置前面我们已经得到了直线一级倒立摆的状态空间模型，以小车加速度作为输入的系统状态方程为:x_0100 x000000001 00029.40xx+103uo o+x 0 0o oo 1o

42、 o1 o- -兀 0-y直线一级倒立摆的极点配置转化为：对于如上所述的系统，设计控制器，要求系统具有较短的调整时 间（约3秒）和合适的阻尼（阻尼比q = 0.5）o按极点配置步骤进行计算。1）检验系统可控性，由报告第五部分系统可控性分析可以得到, 系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数（4）,系统的输出 完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数（2）,所以系统可控。2）计算特征值根据要求，并留有一定的裕量，我们选取期望的闭环极点s = “,(i = l,2,3,4),其中:丛=一10,2 二一10,“3 =-1.5 + ；3v0.75,/z4 =-1.5-./3v0.75其中，角,

43、“4使一对具有$ = 0.5,© =3的主导闭环极点，口,角位于主 导闭环极点的左边，因此其影响较小，因此期望的特征方程为：(s- m )(s “2 )(s “3 )(s “4)=(s+10)(s+ 10)(s+1.5 j3v075)(s-1.5 + ；3v(x75)=s4+ 23 y +169s2 + 4805 + 900因此可以得到：ocx 23, a, 169, a、 480,(xa 900由系统的特征方程：si-a = s4-29as2因此有：ax 0, a2 = 29.4, a3 = 0, a4 = 0系统的反馈增益矩阵为:a： = a4-a4;a3-a3;a2-a2;a1

44、 -ajt"13) 确定使状态方程变为可控标准型的变换矩阵t:t = mw式中:m=b;ab;a2b;a3b =00088.20088.20tz3 a2r 0-29.40ra2 qi0-29.4010q 10001001 000_ 1000于是可以得到:t = mw =-29.400.00-0.03401-29.4003000.011300103_(0.0)_1131-0.0340厂i _000.33330_ 0000.33334）于是有状态反馈增益矩阵为:k二禺 _&4；03 _&3；。2 _幻；0 ajt"1900 - 0; 480-0;169 + 29

45、.4; 23-01-0.0340000-0.034000.011300.3333000.011300.3333=-30.6122 -16.3265 76.3374 13.1088得到控制量为：“ =kx 二 30.6122兀 +16.3265%- 76.33740-130880以上计算可以采用matlab编程计算。clear;a= 0 1 0 0; 0 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 29.4 0;b=0 103*;c= 1 0 0 0; 0 0 1 0;d=0 01;j=-10 0 0 0; 0-10 0 0; 0 0 -1.5-3*sqrt(0.75)*li 0;0 0 0-1.5

46、+3*sqrt(0.75)*li;pa=poly(a);pj=poly(j);m=b a*b aa2*b aa3*b;w= pa(4) pa pa 1; pa pa 1 0;pa(2) 100; 1000;t=m*w;k二pj(5)pa(5) pjpa pj(3)-pa(3) pj(2)-pa(2)/tac = (a-b*k);be = b; cc = c; de = d;t=0:0.005:5;u=0.2*ones(size(t);cn=10 0 0;nbar=rscale(a,b,cn,o,k);bcn=nbar*b;xx=lsim(ac/bcn/cc,dc,u,t); plot(xx(:,l),-,color,/recl,)； hold on;plotccxj:)/-1,'color','yellow'); hold on;plot(tzx(:,3),'color','green'); hold on;plotftxf:/)；-1)l