2015年全国高中数学联赛福建赛区预赛试题参考答案

1、2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2015年5月24日上午9：0011：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望 。2已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间 上的最大值为1，则在区间上的最大值为 。3、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为 。4已知实数，满足，则的最小值为 。5已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和 。6如图，在四面体中，且与平面所成角的余

2、弦值为。则该四面体外接球半径 。7在复平面内，复数、的对应点分别为、。若，则的取值范围是 。8已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为 。9已知，若，则的取值范围为 。10若，则正整数的最小值为 。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11求函数的最小值。12已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。（1）求的取值范围；（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。13如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。（1）求证：；（2）若为中点，求证：。14在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内

3、心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。15若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。 2015年福建省高中数学竞赛暨2015年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2015年5月24日上午9：0011：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）1设集合，从集合中随机抽取一个元素，记，则随机变量的数学期望 。【答案】 5【解答】，随机变量的取值为0，1，4，9，16。易得，的概率分布列为014916 。2已知，其中是定义在上，最小正周期为2的函数。若在区间上的最大值为1，则在区间

4、上的最大值为 。【答案】 9【解答】依题意，有。 在区间上的最大值为1， 在区间上的最大值为3，在区间上的最大值为5，在区间上的最大值为7，在区间上的最大值为9。3、为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆离心率的取值范围为 。【答案】【解答】设为椭圆的上顶点，依题意有。 ，。，。4已知实数，满足，则的最小值为 。【答案】 【解答】由柯西不等式，知。 ，当且仅当，即时等号成立。 的最小值为。5已知函数，数列中，（），则数列的前100项之和 。【答案】 【解答】依题意，有。 。6如图，在四面体中，且与平面所成角的余弦值为。则该四面体外接球半径 。【答案】 【解答】如图，作于，连结

5、，并延长交于点，连结。则是与平面所成的角，。 ， ，为的外心，且。 ，为中点，结合知，。 ，。 、两两互相垂直，四面体外接球半径。7在复平面内，复数、的对应点分别为、。若，则的取值范围是 。【答案】 【解答】设，（为虚数单位）， ， ，。设复数对应的点为。由知，点在以为圆心，1为半径的圆上。又，因此，即的取值范围是。8已知函数恰有两个极值点，（），则的取值范围为 。【答案】 【解答】。依题意，有两个不同的实根。设，则，有两个不同的实根。若，则，为增函数，至多1个实根，不符合要求。若，则当时，；时，。 在区间上为增函数，上为减函数。 的最大值为。又时，；时，。 当且仅当，即时，恰有2个不同的实根

6、。设的两根为，（）。则时，；时，；时，。 为的极小值点，为的极大值点。符合要求。 的取值范围为。9已知，若，则的取值范围为 。【答案】 【解答】设，则。 。 ，。由知，方程的解集是方程的解集的子集。若，则，。若，设，则，得。又时，所以，。的取值范围是。10若，则正整数的最小值为 。【答案】 4【解答】由，知 。 ，上述各式左右两边分别相加，得。 ，。 ，（），（）。 正整数的最小值为4。二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）11求函数的最小值。【解答一】由，得或。 函数的定义域为。 5分记，则当时，易知。在上为增函数。 时，的最小值为。 10分当时，。 在上为减函

7、数，时，的最小值为。 15分综合得，函数的最小值为1。 20分【解答二】函数化为。由，知，可设（，且） 5分当时，当，即时，取最小值3。 10分当时，当，即时，取最小值1。 15分综合得，函数的最小值为1。 20分或换元后利用导数求解。【解答三】由，得， ，。 5分依题意，有，因此，。 10分 ，解得或。 15分将代入方程，解得。 在函数的值域内。 函数的最小值为1。 20分12已知过点斜率为的直线交双曲线：于、两点。（1）求的取值范围；（2）若为双曲线的右焦点，且，求的值。【解答】（1）设方程为。由，得 。 直线与双曲线有两个不同的交点， ，解得，且。 的取值范围为。 5分（2）设，。则，。

8、又， ，。 10分 ， 时，。由，得，解得或（舍去）。 ，。 15分时，。由，得，解得或或，均不符合，舍去。此时，满足条件的不存在。综上可得，的值为1或。 20分13如图，、分别为的内心、旁心，与圆、圆相切，切点分别为、，为与的交点。（1）求证：；（2）若为中点，求证：。（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）【解答】（1）设圆、圆的半径分别为、，则。 5分（作于，于，则。）由条件知，、三点共线，。 ，。 。 10分（2）由，得，即。 。 15分 为中点， ，即。结合，可得。因此，。 。 20分另解：设的中点为，则由，为中点知，且。由，可得，即

9、。 15分又。 ，。 。 20分14在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形。求以点为内心且直角顶点在坐标原点的整点直角三角形的个数。【答案】不妨设点在第一象限。设，则，直线的斜率。 。 5分由、为整点，设，其中，为正整数。 ，。 内切圆的半径。又，。 。 10分 。设，则。 ，。 15分由，知，为正整数，又的正因数有个。 符合条件的有54组。 符合条件的三角形有54个。 20分15若对任意的正整数，集合的任意（）元子集中，总有3个元素两两互素，求的最小值。 【答案】考察集合（时）的67元子集：（偶数与被3整除的奇数）。显然中不存在3个两两互素的元素。

10、 不符合要求。 5分引理：对任意的正整数，集合的任意5元子集中，总有3个元素两两互素。引理的证明：设集合是集合的一个5元子集。 ，这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍数。 若中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。若中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍数。因此，3个偶数中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互素。结论成立。 引理成立。 10分对任意的正整数，将集合划分成如下17个集合：，。 15分显然上述17个集合的两两交集为空集，并集为集合。设集合是集合的68元子集。若集合有4个元素来自集合。由于为奇数时，、两两互素；为偶数时，、两两互素。因此，中至少有3个元素两两