2017-2018学年高二数学上学期期中试题文(含解析)（精编版）

1、2017-2018 学年高二数学上学期期中试题文（含解析）第卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 4 分，共计 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合，集合，则（）abcd【答案】 d【解析】，故选2已知，那么的值为（）abcd【答案】 d【解析】由题意可知：，分子分母同除以，得，综上所述，故选3在棱长为 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）abcd【答案】 d【解析】由题意几何体的体积，就是正方体的体积求得个正三棱柱的体积，故选4甲、乙两名运动员的次测试成绩如下图所示，设， 分别表示甲、乙两名运

2、动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙名运动员测试成绩的平均数，则有（）a，b，c，d，【答案】 b【解析】由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为；方差为乙动员测试成绩的平均数为，方差为，5执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中处可以填入（）a bcd【答案】 c【解析】本题主要考查程序框图的基本知识，；，；，；，则此时跳出循环，故框图中处可填入故选6已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（）a，b，c，d，【答案】 c【解析】，所对应的抛物线开口向上，又 满足关于的方程，为抛物线的对称轴，为二次函数的最小值，（ ），正确；（ ），正确；（ ），错误；（ ），正确

3、故选7若函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）a且b且c且d且【答案】 c【解析】如图所示：图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即且，且故选8设，数列是公比为的等比数列，则（）abcd【答案】 c【解析】由题意得，即，故选9设抛物线的焦点为，准线为 ， 为抛物线上一点， 为垂足如果直线的斜率为，那么（）abcd【答案】 b【解析】抛物线的交点，准线方程为，直线的方程为，所以点、，从而故选10在集合内任取一个元素，能使不等式成立的概率为（）abcd【答案】 b【解析】集合对应的平面区域为矩形，约束条件对应的平面区域为梯形，把代入得，不等式成立的概率为故选11已知、为双曲线的

4、左、右焦点，点在 上，则 到 轴的距离为（）abcd【答案】 b【解析】设，不妨设，可知，根据双曲线定义，即，（）在中，根据余弦定理，即，（ ）（ ） （ ）得，解得，设 到 轴的距离为，则，解得故选12已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）abcd【答案】 a【解析】由，即，解得，那么不等式，又当时，取得最小值，即函数的值域为，若不等式的解集为空集，则的解集为空集，那么与值域的交集为空集，所以，所以故答案为故选第卷二、填空题（本大题共4 个题，每小题 4 分，共 16 分）13在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他小长方形面积的和的，

5、且样本容量为，则中间一组的频数为 _【答案】【解析】设中间一个小长方形的面积为，其他个小正方形的面积之和为 ，则有：，解得：，中间一组的频数故填14已知，若单位向量与共线，则向量坐标为_【答案】【解析】，向量，单位向量与共线，则向量 的坐标或故答案为或15在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为 _ 【答案】【解析】根据可知不等式组，表示的平面区域为直角，可得，因为为外接圆的直径，而间的距离，所以圆的半径为，则圆心坐标为即，所以圆的标准方程为故答案为：16已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，则椭圆的离心率等于_【答案】【解析】，又，即，或（舍负）故答案为三、解答题（

6、本大题5 个小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分分）在中，已知内角、 、 所对的边分别为 ， ， 向量，向量，且（ ）求锐角的大小（ ）如果，求的面积的最大值【答案】【解析】（ ），且，即，又 为锐角，则综上所述，结论是（ ）当，由余弦定理得：，当，由余弦定理得：，又，代入上式得（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），则的最大值为综上所述，结论是的最大值为18（本题满分分）已知数列满足，（ ）证明数列是等比数列（ ）求数列的前 项和【答案】【解析】（ ）证明：，是首项为，公比为 的等比数列，综上所述，结论是数列是等比数列（ ）由（ ）得，则当时，当时

7、，符合通项公式，19（本题满分分）从某学校高三年级共名男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组；第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，若第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列（ ）估计这所学校高三年级全体男生身高以上（含）的人数（ ）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图（铅笔作图并用中性笔描黑）（ ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为、 ，求满足的事件概率【答案】【解析】（ ）由频率分布直方图知，前五组频率为，后三组频率为，人数为人

8、，这所学校高三男生身高在以上（含）的人数为人（ ）由频率分布直方图得第八组频率为，人数为人，设第六组人数为，则第七组人数为，又，所以，即第六组人数为人，第七组人数为人，频率分别为，频率除以组距分别等于，见图（ ）由（ ）知身高在内的人数为人，设 ， ， ， 身高为的人数为人，设为， 若 ，时，有，共六种情况若 ，时，有共一种情况若 ， 分别在，内时，有，共 种情况所以基本事件的总数为种事件所包含的基本事件个数有种，故20.（本题满分分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为 的直线 与椭圆有两个不同的交点和 （ ）求 的取值范围（ ）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴交点分别为、 ，是否存在常数，使得向量

9、与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由【答案】【解析】（ ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线 与椭圆有两个不同交点和 ，等价于的判别式，解得或，即 的取值范围为（ ）设，则，由方程，又而，所以与共线等价于，将代入上式，解得由（ ）知或故没有符合题意的常数21（本题满分分）已知抛物线，直线 交此抛物线于不同的两个点、（ ）当直线 过点时，证明，为定值（ ）当时，直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；反之，请说明理由（ ）记，如果直线 过点，设线段的中点为，线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说

10、明理由【答案】【解析】（ ）证明： 过点与抛物线有两个交点，可知其斜率一定存在，设，其中（若时不合题意），由得，（ ）当直线 的斜率存在时，设，其中（若时不合题意）由得，从而假设直线 过定点，则，从而，得，即，即或定点当直线 的斜率不存在，设，代入得，解得，即，也过综上所述，当时，直线 过定点（ ）依题意直线的斜率存在且不为零由（ ）得，点的纵坐标为，代入得，即设，则，消 得，由抛物线的定义知，存在直线，点，点 到它们的距离相等22（本题满分分）已知，且非 是非 的必要不充分条件，求实数的取值范围【答案】【解析】由得，即由，得，即，若是的必要不充分条件，则 是 的充分不必要条件，则，即，解得即

11、 的取值范围是2017-2018 学年高二数学上学期期中试题文（含解析）第卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 4 分，共计 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若集合，集合，则（）abcd【答案】 d【解析】，故选2已知，那么的值为（）abcd【答案】 d【解析】由题意可知：，分子分母同除以，得，综上所述，故选3在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是（）abcd【答案】 d【解析】由题意几何体的体积，就是正方体的体积求得个正三棱柱的体积，故选4甲、乙两名运动员的次测试成绩如下图所示，设，分别表示甲

12、、乙两名运动员测试成绩的标准差，分别表示甲、乙名运动员测试成绩的平均数，则有（）a，b，c，d，【答案】 b【解析】由茎叶图中的数据知，甲运动员测试成绩的平均数为；方差为乙动员测试成绩的平均数为，方差为，5执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中处可以填入（）a bcd【答案】 c【解析】本题主要考查程序框图的基本知识，；，；，；，则此时跳出循环，故框图中处可填入故选6已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是（）a，b，c，d，【答案】 c【解析】，所对应的抛物线开口向上，又 满足关于的方程，为抛物线的对称轴，为二次函数的最小值，（ ），正确；（），正确；（ ），错误；（）

13、，正确故选7若函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）a且b且c且d且【答案】 c【解析】如图所示：图象与轴的交点在轴的负半轴上（纵截距小于零），即且，且故选8设，数列是公比为的等比数列，则（）abcd【答案】 c【解析】由题意得，即，故选9设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，为垂足如果直线的斜率为，那么（）abcd【答案】 b【解析】抛物线的交点，准线方程为，直线的方程为，所以点、，从而故选10在集合内任取一个元素，能使不等式成立的概率为（）abcd【答案】 b【解析】集合对应的平面区域为矩形，约束条件对应的平面区域为梯形，把代入得，不等式成立的概率为故选11已知、为双曲线的

14、左、右焦点，点在上，则到轴的距离为（）abcd【答案】 b【解析】设，不妨设，可知，根据双曲线定义，即，（）在中，根据余弦定理，即，（）（）（ ）得，解得，设到轴的距离为，则，解得故选12已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）abcd【答案】 a【解析】由，即，解得，那么不等式，又当时，取得最小值，即函数的值域为，若不等式的解集为空集，则的解集为空集，那么与值域的交集为空集，所以，所以故答案为故选第卷二、填空题（本大题共4 个题，每小题 4 分，共 16 分）13在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他小长方形面积的和的，且样本容量为，则

15、中间一组的频数为 _【答案】【解析】设中间一个小长方形的面积为，其他个小正方形的面积之和为，则有：，解得：，中间一组的频数故填14已知，若单位向量与共线，则向量坐标为 _【答案】【解析】，向量，单位向量与共线，则向量的坐标或故答案为或15在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为_ 【答案】【解析】根据可知不等式组，表示的平面区域为直角，可得，因为为外接圆的直径，而间的距离，所以圆的半径为，则圆心坐标为即，所以圆的标准方程为故答案为：16已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，则椭圆的离心率等于_ 【答案】【解析】，又，即，或（舍负）故答案为三、解答题（本大题5 个小题，

16、共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分分）在中，已知内角、所对的边分别为，向量，向量，且（ ）求锐角的大小（）如果，求的面积的最大值【答案】【解析】（），且，即，又为锐角，则综上所述，结论是（）当，由余弦定理得：，当，由余弦定理得：，又，代入上式得（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），则的最大值为综上所述，结论是的最大值为18（本题满分分）已知数列满足，（ ）证明数列是等比数列（）求数列的前项和【答案】【解析】（）证明：，是首项为，公比为的等比数列，综上所述，结论是数列是等比数列（）由（）得，则当时，当时，符合通项公式，19（本题满分分）从某学校高三年级共

17、名男生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组；第二组，第八组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，若第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列（ ）估计这所学校高三年级全体男生身高以上（含）的人数（）求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图（铅笔作图并用中性笔描黑）（ ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为、，求满足的事件概率【答案】【解析】（ ）由频率分布直方图知，前五组频率为，后三组频率为，人数为人，这所学校高三男生身高在以上（含）的人数为人（）由频率分

18、布直方图得第八组频率为，人数为人，设第六组人数为，则第七组人数为，又，所以，即第六组人数为人，第七组人数为人，频率分别为，频率除以组距分别等于，见图（ ）由（）知身高在内的人数为人，设，身高为的人数为人，设为，若，时，有，共六种情况若，时，有共一种情况若，分别在，内时，有，共种情况所以基本事件的总数为种事件所包含的基本事件个数有种，故20.（本题满分分）在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线 与椭圆有两个不同的交点和（ ）求的取值范围（）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴交点分别为、，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由【答案】【解析】（）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得整理得直线 与椭圆有两个不同交点和，等价于的判别式，解得或，即的取值范围为（）设，则，由方程，又而，所以与共线等价于，将代入上式，解得由（ ）知或故没有符合题意的常数21（本题满分分）已知抛物线，直线交此抛物线于不同的两个点、（ ）当直线过点时，证明，为定值（）当时，直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；反之，请说明理由（ ）记，如果直线过点，设线段的中点为，线段的中点为问是否存在一条直线和一个定点，使得点到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在