2010年福建省高考数学试卷(文科)答案与解析

1、2010年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2010福建）若集合a=x|1x3，b=x|x2，则ab等于（）ax|2x3bx|x1cx|2x3dx|x2【考点】交集及其运算菁优网版权所有【分析】结合数轴直接求解【解答】解：如图，故选a【点评】本题考查集合的交运算，属容易题，注意结合数轴，注意等号2（5分）（2010福建）计算12sin222.5°的结果等于（）abcd【考点】二倍角的余弦菁优网版权所有【专题】三角函数的求值【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果【解答】解：由二倍角

2、公式可得12sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，故选 b【点评】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题3（5分）（2010福建）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于（）ab2c2d6【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【分析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力由图可知，棱柱的底面边为2，高为1，代入柱体体积公式易得答案【解答】解：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，底面是边长为2的等边三角形，故底面积s=，侧面积为3×2×1

3、=6，故选d【点评】根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为n棱锥（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为n棱柱（n值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，

4、则几何体为圆台4（5分）（2010福建）i是虚数单位，等于（）aibic1d1【考点】复数代数形式的混合运算菁优网版权所有【分析】复数的分子、分母化简，可得结果【解答】解：=，故选c【点评】本题考查复数的基本运算，考查计算能力5（5分）（2010福建）设x，yr且，则z=x+2y的最小值等于（）a2b3c5d9【考点】简单线性规划的应用菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值【解答】解：约束条件，对应的平面区域如下图示：当直线z=x+2y过点（1，1）时，z=x+2y取最小值3，

5、故选b【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解6（5分）（2010福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）a2b3c4d5【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】图表型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算s的值，并输出满足条件s11时，变量i的值模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分

6、析，不难得到输出结果【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a s i 是否继续循环循环前/0 1/第一圈 2 2 2 是第二圈 8 10 3 是第三圈 24 34 4 否此时i值为4故选c【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模7（5分）（2010福建）函数的零点个数为（）a3b2c1d0【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作

7、法菁优网版权所有【分析】分段解方程，直接求出该函数的所有零点由所得的个数选出正确选项【解答】解：当x0时，令x2+2x3=0解得x=3；当x0时，令2+lnx=0解得x=100，所以已知函数有两个零点，故选：b【点评】本题考查函数零点的概念，以及数形结合解决问题的方法，只要画出该函数的图象不难解答此题8（5分）（2010福建）若向量=（x，3）（xr），则“x=4”是“|=5”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【考点】向量的模菁优网版权所有【分析】当x=4时能够推出|a|=5成立，反之不成立，所以是充分不必要条件【解答】解：由x=4得=（4，3），所以|

8、=5成立反之，由|=5可得x=±4 所以x=4不一定成立故选a【点评】本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识9（5分）（2010福建）若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）a91.5和91.5b91.5和92c91和91.5d92和92【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数菁优网版权所有【专题】图表型【分析】根据茎叶图写出这组数据，把数据按照从大到小排列，最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数，平均数只要代入平均数的公式得到结果【解答】解：由茎叶图可知：这组数据为87，89，90，91，92，93，94，96，所以其中位数为=

9、91.5，平均数为（87+89+90+91+92+93+94+96）=91.5，故选a【点评】本题考查茎叶图的基础知识，考查同学们的识图能力，考查中位数与平均数的求法在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求10（5分）（2010福建）将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于（）a4b6c8d12【考点】函数y=asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】计算题【分析】由题意将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，说明是函数周期的整数倍，求出与

10、k，的关系，然后判断选项【解答】解：因为将函数f（x）=sin（x+）的图象向左平移个单位若所得图象与原图象重合，所以是已知函数周期的整数倍，即k=（kz），解得=4k（kz），a，c，d正确故选b【点评】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，是已知函数周期的整数倍，是本题解题关键11（5分）（2010福建）若点o和点f分别为椭圆的中心和左焦点，点p为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）a2b3c6d8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】先求出左焦点坐标f，设p（x0，y0），根据p（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式

11、，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案【解答】解：由题意，f（1，0），设点p（x0，y0），则有，解得，因为，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=2，因为2x02，所以当x0=2时，取得最大值，故选c【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力12（5分）（2010福建）设非空集合s=x|mxn满足：当xs时，有x2s给出如下三个命题：若m=1，则s=1；若m=，则n1；若n=，则m0其中正确命题的个数是（）a0b1c2d3【考

12、点】元素与集合关系的判断；集合的确定性、互异性、无序性菁优网版权所有【专题】集合【分析】根据题中条件：“当xs时，有x2s”对三个命题一一进行验证即可：对于m=1，得，则对于若，则，最后解出不等式，根据解出的结果与四个命题的结论对照，即可得出正确结果有几个【解答】解：由定义设非空集合s=x|mxn满足：当xs时，有x2s知，符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保证ms时，有m2s即m2m，符合条件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保证ns时，有n2s即n2n，正对各个命题进行判断：对于m=1，m2=1s故必有可得n=1，s=1，m=，m2=s则解之可得n1；对

13、于若n=，则解之可得m0，所以正确命题有3个故选d【点评】本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（2010福建）若双曲线=1（b0）的渐近线方程式为y=，则b等于1【考点】双曲线的简单性质；函数解析式的求解及常用方法菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b【解答】解：由双曲线方程可得渐近线方程为y=±，又双曲线的渐近线方程式为y=，解得b=1故答案为1【点评】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属

14、基础题14（4分）（2010福建）将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于60【考点】频率分布直方图菁优网版权所有【专题】计算题【分析】根据比例关系设出各组的频率，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，求出前三组的频率，再频数和建立等量关系即可【解答】解：设第一组至第六组数据的频率分别为2x，3x，4x，6x，4x，x，则2x+3x+4x+6x+4x+x=1，解得，所以前三组数据的频率分别是，故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60故答案为60【点评】本小题考查频率

15、分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键，属于基础题15（4分）（2010福建）对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）【考点】元素与集合关系的判断菁优网版权所有【专题】新定义；集合【分析】由凸集的定义，可取一些线段试一下，若有不在图形内部的点即可排除【解答】解：中取最左边的点和最右边的点的连线，不在集合中，故不为凸集；中取两圆的公切线，不在集合中，故不为凸集；显然符合故答案为：【点评】本题为新定义题，正确理解定义是解决问题的关键，难度不大16（4分）（2

16、010福建）观察下列等式：cos2=2cos21；cos4=8cos48cos2+1；cos6=32cos648cos4+18cos21；cos8=128cos8256cos6+160cos432cos2+1；cos10=mcos101280cos8+1120cos6+ncos4+pcos21；可以推测，mn+p=962【考点】类比推理菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等观察等式左边的的系数，等式右边m，n，p的变化趋势，我们不难归纳出三个数的变化规律，进而得到结论【解答】解：因为2=21，8=23，32=25，128=27

17、所以m=29=512；每一行倒数第二项正负交替出现，1×2，2×4，3×6，4×8，5×10，可推算出p=50，然后根据每行的系数和都为1，可得n=400所以mn+p=962故答案为：962【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）（2010福建）数列an中，a1=，前n项和sn满足sn+1sn=（）n+1（nn*）（）求数列an的通项公式an以及前n项和sn；（）若s1，t（s1+s2），3（s2+s3）成等

18、差数列，求实数t的值【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差关系的确定菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（）根据an+1=sn+1sn求得an+1进而根据a1求得数列an的通项公式，根据等比数列的求和公式求得前n项的和（）根据求得（1）的前n项和的公式，求得s1，s2，s3，进而根据等差中项的性质求得t【解答】解：（）由sn+1sn=（）n+1得（nn*）；又，故（nn*）从而（nn*）（）由（）可得，从而由s1，t（s1+s2），3（s2+s3）成等差数列可得：，解得t=2【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式属基础题18（12分）（2010福建）设平面向量=（m，

19、1），=（2，n），其中m，n1，2，3，4（）请列出有序数组（m，n）的所有可能结果；（）记“使得m（mn）成立的（m，n）”为事件a，求事件a发生的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；计数原理的应用菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（i）按照第一个数字从小变大的顺序，列举出所有的事件，共有16种结果（ii）根据向量垂直的充要条件，列出关于m，n的关系式把关系式整理成最简单的形式，根据所给的集合中的元素，列举出所有满足条件的事件，根据古典概型概率公式得到结果【解答】解：（i）有序数对（m，n）的所有可能结果是：（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4

20、）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）共有16个，（ii）m（mn），m22m+1n=0，n=（m1）2m，n都是集合1，2，3，4的元素事件a包含的基本事件为（2，1）和（3，4），共有2个，又基本事件数是16，所求的概率是p=【点评】本题主要考查概率古典概型，考查向量垂直的充要条件，考查运算求解能力、应用意识，是一个比较好的题目，这种题目值得同学们仔细研究不要没有规律的胡乱写出来，防止漏掉19（12分）（2010福建）已知抛物线c：y2=2px（p0）过点a（1，2）（）求抛物线c的方程，并求其准线方程；（）是否存在平行于oa（o为坐标原点）的直

21、线l，使得直线l与抛物线c有公共点，且直线oa与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质菁优网版权所有【专题】计算题【分析】（i）将（1，2）代入抛物线方程求得p，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程（ii）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线ao与l的距离，求得t，则直线l的方程可得【解答】解：（i）将（1，2）代入抛物线方程y2=2px，得4=2p，p=2抛物线c的方程为：y2=4x，其准线方程为x=1（ii）假设存在符合题意的直线l，其

22、方程为y=2x+t，由得y2+2y2t=0，直线l与抛物线有公共点，=4+8t0，解得t又直线oa与l的距离d=，求得t=±1tt=1符合题意的直线l存在，方程为2x+y1=0【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想20（12分）（2010福建）如图，在长方体abcda1b1c1d1中，e、h分别是棱a1b1，d1c1上的点（点e与b1不重合），且eha1d1，过eh的平面与棱bb1，cc1相交，交点分别为f，g（）证明：ad平面efgh（）设ab=2aa1=2a，在长方体

23、abcda1b1c1d1内随机选取一点，记该点取自于几何体a1abfed1dcgh内的概率为p，当点e、f分别在棱a1b1，b1b上运动且满足ef=a时，求p的最小值【考点】直线与平面平行的判定；几何概型菁优网版权所有【专题】综合题；空间位置关系与距离；概率与统计【分析】（）证明ad平面efgh，只需证明adeh；（）根据几何槪型的概率公式，结合基本不等式求出取自于几何体a1abfed1dcgh内的概率为p的最小值，即可求出概率【解答】（）证明：ada1d1，eha1d1，adeh，ad平面efgh，eh平面efghad平面efgh；（）解：根据几何槪型的概率公式可知，点取自于几何体a1abf

24、ed1dcgh内的概率为p=，若p最小，则只需几何体a1abfed1dcgh的体积最小，即五边形a1abfe的面积最小，等价为三角形efb1的面积最大，ef=a，=a2，则sb1ef=（b1e2+b1f2）=，当且仅当b1f=b1e时取等号，此时五边形a1abfe的面积最小为2a2=，则取自于几何体a1abfed1dcgh内的概率为p=【点评】本题主要考查线面平行，考查几何槪型的概率计算，根据体积槪型结合基本不等式求出最值是解决本题的关键21（12分）（2010福建）某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30°且与该港口相距20海里

25、的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇（）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；（）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】解三角形的实际应用菁优网版权所有【专题】综合题；压轴题【分析】（1）先假设相遇时小艇的航行距离为s，根据余弦定理可得到关系式s=整理后运用二次函数的性质可确定答案（2）先假设小艇与轮船在某处相遇，根据余弦定理可得到（vt）2=202+（30t）222030tcos（90°30°），再由t的范围可求得v的最小值（3）根据（2）中v与t的关系式，设然后代入关系式整理成400u2600u+900v2=0，将问题等价于方程有两个不等正根的问题，进而得解【解答】解：（1）设相遇时小艇的航行距离为s海里，则s=故当t=时，v=即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（2）设小艇与轮船在某处相遇由题意可得：（vt）2=202+（30t）222030tcos（90°30°）化简得：=400由于0