[经营管理]线性规划-设备管理方法

1、线性规划一设备管理方法一、线性规划的概念及作用线性规划是合理利用、调配资源的一种应用数学方法。它的基本思路就是 在满足一定的约束条件下，使预定的bl标达到最优。它的研究内容可归纳为两个 方而：一是系统的任务已定，如何介理筹划，精细安排，用最少的资源（人力、 物力和财力）去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使 任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外 部的条件下，实现管理目标和极值（极小值和极大值）问题，就是耍以尽少的资源 输入來实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、 “变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计

2、划优化等方面具有重要的 作用。线性规划是运筹学规划论的一个分支。它发展较早，理论上比较成熟，应 用较广。20 ill：纪30年代，线性规划从运输问题的研究开始，在二次大战中得到 发展。现在已广泛地应用于国民经济的综合平衡、生产力的合理布局、最优计划 与介理调度等问题，并取得了比较显著的经济效益。线性规划的广泛应用，除了 它本身具有实用的特点之外，还山于线性规划模型的结构简单，比校容易被一般 未具备高深数学基础，但熟悉业务的经营管理人员所掌握。它的解题方法，简单 的可用手算，复杂的可借助于电子计算机的专用软件包，输入数据就能算出结果。线性规划的研究与应用工作，我国开始于20世纪50年代初期，中国

3、科学 院数学所筹建了运筹室，最早应用在物资调运筹方面，在实践中取得了成果，在 理论上提出了论证。h前，国内高等学校已将其列为运筹学中必选的课程内容z 一，在实际应用方面也已列入重点企业试点和研究项目z-o二、线性规划模型的结构企业是一个复杂的系统，要研究它必须将其抽象出来形成模型。如果将系 统内部因素的和互关系和它们活动的规律用数学的形式描述出來，就称z为数学 模型。线性规划的模型决定于它的定义，线性规划的定义是：求一组变量的值， 在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解。根据这个定义，就可以确定线性规划模型的基本结构。（1）变量变量又叫未知数，它是实际系统的未知因素，也是决策系统中 的可控

4、因素，一般称为决策变量，常引用英文字母加下标来表示，如x” x2, x3, xmn 等。（2）口标函数 将实际系统的目标，用数学形式表现出來，就称为口标函 数，线性规划的日标函数是求系统日标的数值，即极人值，如产值极大值、利润 极大值或者极小值，如成本极小值、费用极小值、损耗极小值等等。（3）约束条件约束条件是指实现系统目标的限制因素。它涉及到企业内 部条件和外部环境的各个方面，如原材料供应、设备能力、计划指标、产品质量 要求和市场销售状态等等，这些因素都对模型的变量起约束作用，故称其为约束 条件。约束条件的数学表示形式为三种，即沢=、o线性规划的变量应为正值, 因为变量在实际问题中所代表的均

5、为实物，所以不能为负。在经济管理中，线性 规划使用较多的是下述儿个方而的问题：(1) 投资问题一确定有限投资额的最优分配，使得收益最大或者见效快。(2) 计划安排问题一确定生产的品种和数量，使得产值或利润最大，如资 源配制问题。(3) 任务分配问题一分配不同的工作给各个对象(劳动力或机床)，使产量最 多、效率最髙，如生产安排问题。(4) 下料问题一如何下料，使得边角料损失最小。(5) 运输问题一在物资调运过程中，确定最经济的调运方案。(6) 库存问题一如何确定最佳库存量，做到即保证牛产又节约资金等等。 应用线性规划建立数学模型的三步骤：(1) 明确问题，确定问题，列出约束条件。(2) 收集资料

6、，建立模型。(3) 模型求解(最优解)，进行优化后分析。其中，最闲难的是建立模型，而建立模型的关键是明确问题、确定目标， 在建立模型过程中花时间、花精力最大的是收集资料。三、线性规划的应用实例例1某工厂甲、乙两种产品，每件甲产品要耗钢材2kg、煤2kg、产值为120元；每件乙产品要耗钢材3kg,煤1kg,产值为100元。现钢厂有钢材600kg,煤400kg,试确定卬、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？解 设甲、乙两种产品的产量分别为x2，则总产值是x!、x2的函数 f(xi, x2)= 120x1 + 100x2资源的多少是约束条件：由于钢的限制,应满足2x1 + 3x2<

7、600；由于煤的限制,应满足2xi +x2<400o综合上述表达式，得数学模型为求最大值(目标函数)：f(xx2)= 120x1 + 100x22xi + 3x2s6002x1 + x2s4oox!>0, x2>0x|, x2为决策变量，解得x,<150件，x2<100件fmax=(120 x150+100x100)元= 28000 元故当甲产品生产150件、乙产品生产100件时，产值最大，为28000元。表1-1 加工台时数备 产品abcd甲2140乙2204例2某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品。这些产品分别需耍在a、b、c、d四种不同设备上加工。按工艺规定

8、，产品卬和乙在各设备上所需加工 台数列表于表仁1中。已知设备在计划期内的有效台吋数分别是12、8、16和 12（台设备工作lh称为一台时），该工厂每生产一件甲产品可得利润20元，每 生产一件乙产品可得利润30元。问应如何安排生产计划，才能得到最多利润？ 解i）建立数学模型设 x!、x2分别表示甲、乙产品的产量，则利润是f （xx2） =20 xt+ 30 x2,求最大值。设备的有效利用台时为约束条件：a： 2 xi + 2 x2<12b： xi + 2 x2<8c： 4 x!<16d： 4 x2<12xgo, x2>02）求解未知数x2<3,但 rh 式（i

9、）、式（2）得 xi<4. x2<2,所以取 xn4、x2<2 故fmax= （20x4+ 30x2）元=440 元3）结论：在计划期内，安排生产甲产品4件、乙产品2件，可得到最多 的利润（140元）。例3某工厂为维修全厂某类设备制造备件，需rtl批5.5m长的相同直径 的圆钢截取3.1m. 2.1m. 1.2m的胚料。每台设备所需的件数如表仁2所示。用 5.5m长的【员i钢截取上述三种规格的零件时，有下列五种截取方法可供选择，如 表12所示。问当设备总数为100台时，采取何种方案可使5.5m的圆钢用料最省？表1-2 每台设备所需的件数规格3.1每台设备所需件数12.121.

10、24表1-3 五种截収方法1 w111010ft21919i1a一 ；11x假设：按第一方案截取的5.5m长的関钢数为xi按第二方案截取的5.5m长的圆钢数为x2按第三方案截取的5.5m长的圆钢数为x3按第四方案截取的5.5m长的圆钢数为x4按第五方案截収的5.5m长的圆钢数为x5 据此表1-4：表 1-4方案3. im的根数2. im的根数1. 2m的根数1xix】02血02决302x：x540x,2x5004xb因为设备总台数为100台,所以按各方案截収的零件数必须满足下列约朿条件:x+ x2=100x2+2 x3+ x4=200 2 x2+ x3+2 x4+4 x5=400xi ,x2

11、,x3, x4, x5>0口 标函数为fmin = xi + x2 + x3+x4 + x5通过计算机运算得最优解为x!=0、x2=100. x3=100. x4=0、x5=25,故最优值(最省方案)为fmin= 225根i丿u、线性规划问题的图解法对于只有两变量的线性规划问题，可以用图解法求最优解，其特点是过程 清楚、图形清晰。例4设有一线性规划问题表达式（包括日标函数、约束条件）如下fmax=50xi +40x2x1 + x2<450(1)2 x1 + x2<800(2)xi + 3 x2<900(3)x1， x2>0(4)以x2为坐标，当式（i）为等式，即x

12、i + x2 = 450时，在冶，x2坐标 系，它是一条直线，但式（i）不是等式，而是x1 + x2<450,叩在式（1）表示的约束 条件中给定的不仅是在直线上的所有点，而是在直线x14-x2= 450左下部一个广 大的区域（包括直线在内的阴影线部分），见图仁1,例如x = 0、x2=0, x = 5、 x2=0, x1=3> x2=-3等等，都是满足式（4）的点。图仁1某线性规划问题同理，也可以在x1, x2处标系中画出式（2）、（3）、（4）所决立的4条直线, 连同式（1）,共5条直线，如图仁2所示。由图仁2所示的5条直线所围成的一个凸多边形，就是约束条件给定的区 域，其中所有

13、的点都满足约束条件的耍求。实际上，它表示一个市凸多边形内无 数多个点所组成的集合，称为凸集。那么，怎样从无穷多中求出使目标函数值最 大的点呢？图2某线性规划问题中的约束条件解 由于目标函数f =50xi + 40x2，在f为一定值时也是一条直线，其斜率为-40/50o当f为不同值时，在x2坐标系中实际上是一系列的平行线，则尽管在每一条直线上x" x2収不同的值，f总是某一定值。例如图1-3中的克线i,当x!=0、x2=0时；当x!=4、x2 = -5时f二0；因此称直线i为f的某一等直线（此处为零）。too 曲joism如、200 - n>00 1-joo7-4w0x-200k/=iioo-m0/=0图1-3目标函数f的等值线由于直线i是等直线，而且斜率相等，它们乂是一系列平行线，因此只要 画出其中任意的一条线，将它们平移到某个与凸集相交的极限位置，所得的交点 就是既满足约束条件（在凸集范围内），又使f值为最大的现代战争最优解。如下 图仁4 中的点，x = 350, x2=100, f=21500o图14某线性规划问题的最优解上面介绍的图解法虽然简单宜观，但只有在变量为两个的情况下才能实现; 当变量数增多时，图解法就无法满足了。这时，就要用解析计算的方法一单纯形 法来求解。单纯形法的