直线与平面垂直习题课(1)

1、用定义或判定定理用定义或判定定理证明线面垂直证明线面垂直 【例1】如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE； 【证明】(1)在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD.又因为ACCD，PAACA，所以CD平面PAC.而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，得ABC是等边三角形，故ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.又因为PA底面ABCD，

2、所以PAAB.由已知得ABAD，且PAADA，所以AB平面PAD.又PD平面PAD，所以ABPD.因为ABAEA，所以PD平面ABE. 本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证明方法如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等 【变式练习1】如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，

3、沿EF将AEF折起到A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证：(1)EF平面A1EC；(2)AA1平面A1BC. 1111111111111111/ /12.EFACABEFBCACBCEFECEFAEAECEEAEAECCEAECEFAECACMEMEACEMAAAECEEMACAAACEFAECA AAECAAEFEFBC因为 ， 分别为和的中点，所以，因为，所以，又 ，平面，平面，所以平面取的中点，连结，又因为 为的中点，所以，所以，所以，又因为平面，平面，所以【证明，又】，所以1111.AABCACBCCAAABC，又 ，所以平面用线面垂直的性质用线面垂直的性质定理证明线线垂直定理证明

4、线线垂直 111111920136.ABCABCACBCBCACCMCCABAM已知在直三棱柱中， ，是的中点，求证：【例 】【证明】如图，ACB90，所以BCAC.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，所以BCCC1.而ACCC1C，所以BC平面AA1C1C，所以BCAM.连结A1C.可以证明RtACMRtAA1C，所以AMA1C.而A1CBCC，所以AM平面A1BC，所以A1BAM. 证明线线垂直常构造一个平面经过一条直线与另一条直线垂直，从而达到由线面垂直证明线线垂直的目的 111111111626012?ABCDABC DAAABCDABABCPBBD PACACBDOB

5、 PPBPOD AC【变式练如图，直四棱柱中，侧棱，底面是菱形， ， 为侧棱上的动点求证：；设 ，求当等于多少时，平面习2】 11111111111.1.ABCDACBDB DD DABCDACD DBDD DDACBB D DD PBB D DD PAC证明：因为为菱形，所以连结因为底面，所以又 ，所以平面因为平所以析，】面【解 11111111111.60236322362902B PPOD ACPBDOABCDOACBDPAPCOAOCPOACABCABABCBODOD DOBD DBBDOBPD DOOBPDODPOBPODODOACO当 时，平面证明：连结，因为底面是菱形，所以 是，

6、的中点，因为，所以，又因为， ，所以是等边三角形，在矩形中，有，所以，所以，所以，又 ，所以1.POD AC 平面通过计算证明线通过计算证明线线垂直线垂直 【例3】如 图 ， 在 正 方 体 A B C D A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心求证：OE平面ACD1. 11111122112212222211111111111.623232.AECEDOD BD EDBaAECEAOOCOEACDBDODDDOaOEBEOBaD ED BB EaDOOED EDOOEDOACODOACACDOEACD如图，连结，设正方体的棱长为 易证又因为，所以在正方体中易求出：

7、，所以，所以因为 ，平面，所以平面【证明】 要证线面垂直可找线线垂直，这是几何中证明线面垂直时常用的方法，在证明线线垂直时，要注意从数量关系方面找垂直，如利用勾股定理等 【变式练习3】直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.求证：AC平面BB1C1C. 111111111111.902222452.ABCDABC DBBABCDBBACBADADCABADCDACCABBCBCACBBBCBBBBCBBCCACBBCC直棱柱中，平面，所以又因为， ，所以，所以，所以而 ，平面所以平面【证明】1.有下列四个命题：若一条直线垂直于一个平面内无

8、数条直线，则这条直线与这个平面互相垂直；若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平面，则另一条直线与该平面平行；若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内不存在与该条直线垂直的直线其中错误的命题是_. 2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，M是AD1上任意一点，M到平面BCB1的距离是_. 23.如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：SG平面EFG；SD平面EFG；GF平面SEF；EF

9、平面GSD；GD平面SEF.其中正确的是_. 4.2.12.ABCDEBACDCABCEBABCFBCABACDCABEAFBCDE在几何体中， ，平面，平面， 是的中点，求证：平面；平面 12/ /./ /.2.DCABCEBABCDCEBDCABEEBABEDCABEDCABCDCAFBACABACAFBCBCDCCAFBCDE因为平面，平面，所以又因为平面，平面，所以平面因为平面，所以又因为，且，所以而 ，所以平面【证明】5.如图，已知PA矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点(1)求证：MNCD；(2)若PDA45，求证：MN平面PCD. 【证明】(1)连结AC，取其中点O

10、，连结NO、MO，并延长MO交CD于R.因为N为PC的中点，所以NO为PAC的中位线，所以NOPA.而PA平面ABCD，所以NO平面ABCD，所以NOCD.又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为AC的中点，所以MOCD.而MONOO，所以CD平面MNO，所以CDMN.(2)连结NR，则NRMPDA45.又O为MR的中点，且NOMR，所以MNR为等腰三角形且NRMNMR45，所以MNR90，所以MNNR.又MNCD，且NRCDR，所以MN平面PCD. 1在线面垂直的定义中，一定要弄清楚“任意”与“无数”这两个术语 内 涵 的 差 异 ， 后 者 存 在 于 前 者中“任意”的理解最终转化为

11、“两条相交直线”，证明时此条件不可缺少 2/ / /.ababbaabaaa判定线面垂直的方法，主要有五种：利用定义；利用判定定理；结合线线平行：若，则；面面垂直的性质：若， ，则；面面平行的性质：若，则 3面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即：两个平面垂直；其中一个平面内的直线；垂直于交线所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助线，这样就能目标明确，事半功倍 1(2011苏北四市第一次摸底考试)已知四棱锥PABCD的顶点P在底面的射影恰好是底面菱形ABCD的两条对角线的交点，若AB3，PB4，则PA长度的取值范围为_2222222

12、3491692520372522575.POABCDABPBPOhOBxPAhxxxxxxPA由题意知，平面， ， ，设 ， ，则【解析】 ，又因为，所以，所以( 7 5)，答案：选题感悟：本题以学生熟悉的四棱锥为载体，解题的关键在于弄清楚空间中线面的垂直关系，着重考察了空间想象能力和计算能力 / / / /._2_mnmnmnnmnmmnmnnmnnm设 ， 为两个不重合的平面， ， 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若， 与苏学调测相交且不垂直，则 与 不垂直；若， ，则；若，则其中所有真命题的序号试(2010 州市高三教研)【解析】中n可能在内；n与m可以垂直；由线面垂直与面

13、面垂直知是正确的.答案：选题感悟：本题呈现的是空间中的线线、线面、面面之间的位置关系，能有效的考查考生的空间想象能力和推理能力 3(20105月苏南六校高三联合测试)如图所示，在四棱锥PABCD中，ABCACD90，BACCAD60，PA平面ABCD，E为PD的中点，PA2AB2.(1)求四棱锥PABCD的体积V；(2)若F为PC的中点，求证：PC平面AEF；(3)求证：CE平面PAB. Rt16032.Rt2602 34.11221151322 33.222155323.3231ABCDABCABBACBCACACDACCADCDADSAB BCAC CDV 在中， ，所以，在中， ，所以，所以则 【解析】(2)证明：因为PACA，F为PC的中点，所以AFPC.因为PA平面ABCD，所以PACD.因为ACCD，PAACA，所以CD平面PAC.所以CDPC.因为E为PD中点，F为PC中点，所以EFCD.则EFPC.因为AFEFF，所以PC平面AEF. ./ /./ /.Rt60260 .60/ /./ /3./ /./ /