2022年2022年勾股定理典型例题归类总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载9.已知 rt abc 的周长为,其中斜边,求这个三角形的面积；10. 假如把勾股定理的边的平方懂得为正方形的面积,那么从面积的角度来说,勾股定理可以推广.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 如图,以rt abc的三边长为边作三个等边三角形,就这三个等边三角形的面积s1 . s2 . s3 之间有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载何关系？并说明理由；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如图,以rt abc 的三边长为直径作三个半圆,就这三个半圆的面积s1 . s2 . s3 之间有何关系？精品学习资料

2、精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3）假如将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°,请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面 积之间的关系,并说明理由；（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”）题型二：利用勾股定理测量长度例 1. 假如梯子的底端离建筑物9 米,那么15 米长的梯子可以到达建筑物的高度为多少米？跟踪练习：1.如图（ 8）,水池中离岸边d 点 1.5 米的 c 处,直立长着一根芦苇,出水部分bc 的长为 0.5 米,把芦苇拉到岸边,它的顶端b 恰好落到d 点,并求水池的深度ac.2.一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发觉最多只能靠近建筑物底端5 米,消

3、防车的云梯最大升长为 13 米,就云梯可以达该建筑物的最大高度为（）a . 12 米b.13 米c.14 米d .15 米3.如图,有两颗树,一颗高10 米,另一颗高4 米,两树相距8 米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a . 8 米b.10 米c.12 米d.14 米题型三：勾股定理和逆定理并用例 3. 如图 3,正方形abcd 中, e 为 bc 边上的中点, f 为 ab 上一点,且fb角三角形吗？为什么？1 ab4那么 def 为直精品学习资料精选学习资

4、料 - - - 欢迎下载注：此题利用了四次勾股定理,为把握勾股定理的必练习题；跟踪练习：1. 如图,正方形abcd 中, e 为 bc 边的中点, f 点 cd 边上一点,且df=3cf ,求证： aef=90°题型四：利用勾股定理求线段长度例 1. 如图 4,已知长方形abcd 中 ab=8cm、bc=10cm、 在边 cd 上取一点e,将 ade 折叠使点d 恰好落在 bc 边上的点f,求 ce 的长 .跟踪练习：1.如图,将一个有45 度角的三角板顶点c 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上,另一个顶点b 在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°

5、角,求三角板的最大边ab 的长 .2.如图,在 abc 中, ab=bc , abc=90°,d 为 ac 的中点, de df,交 ab 于 e,交 bc 于 f,（ 1） 求证： be=cf; （ 2）如 ae=3 , cf=1 ,求 ef 的长 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载3.如图, ca=cb、cd=ce、 acb= ecd=90°、d 为 ab 边上的一点 .如 ad=1 , bd=3 ,求 cd 的长 .题型五：利用勾股定理逆定理判定垂直例 1. 有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离地高4.5 米的墙上,任何东西只要移至5

6、米以内,灯就自动打开,一个身高1.5 米的同学,要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1.如图,每个小正方形的边长都为1, abc 的三个顶点分别在正方形网格的格点上,试判定abc 的外形,并说明理由.（ 1）求证： abd=90° ;（ 2）求的值2.以下各组数中,以它们边的三角形不为直角三角形的为（）a . 9,12, 15b .7、24、25c.d .,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载3.在 abc 中,以下说法b= c-a ； a: b: c=3：4：5； a:b:c=5:4:3 ；：=1:2:3 ,其中能判定abc 为直角三角形的条件有（）

7、a . 2 个b.3 个c.4 个d. 5 个4.在 abc 中, a . b . c 的对边分别为a.b.c.判定以下三角形为否为直角三角形？并判定哪一个 为直角？（ 1） a=26,b=10, c=24;（ 2） a=5, b=7, c=9;（ 3）a=2,a . 2 个b.3 个c.4 个d .5 个5.已知 abc 的三边长为a.b.c,且满意,就此时三角形肯定为（）a .等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d .锐角三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.在 abc 中,如 a= n21 , b=2n,c= n21 ,就 abc 为（）精品学习资料精选学习资料

8、- - - 欢迎下载a .锐角三角形b.钝角三角形c.等腰三角形d.直角三角形 7.如图,正方形网格中的abc 为（）a .直角三角形b.锐角三角形c.钝角三角形d.锐角三角形或钝角三角形 8.已知在 abc 中, a . b. c 的对边分别为a.b.c,以下说法中,错误选项（） a .假如 c- b= a、 那么 c=90°b .假如 c=90°,那么c.假如（ a+b）（a-b） =,那么 a=90°d .假如 a=30°,那么 ac=2bc9.已知 abc 的三边分别为a, b,c,且 a+b=3, ab=1,求的值,试判定abc 的外形,并说明

9、理由10.观看以下各式：,依据其中规律,写出下一个式子为 11.已知, m n, m.n 为正整数,以, 2mn,为边的三角形为三角形 .12.一个直角三角形的三边分别为n+1 ,n-1,8,其中 n+1 为最大边, 当 n 为多少时, 三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题 6. 如图, p 为等边三角形abc 内一点, pa=2、pb= 23 、pc=4、求 abc 的边长 .跟踪练习1. 如图,abc为等腰直角三角形,bac=90 °, e . f 为bc上的点,且eaf=45 °,摸索究精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载be 2.cf2. ef 2间

10、的关系,并说明理由.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载题型七：关于翻折问题例题 7.如图,矩形纸片abcd的边 ab=10cm , bc=6cm , e 为 bc 上一点,将矩形纸片沿ae 折叠,点b恰好落在 cd 边上的点g 处,求 be 的长 .跟踪练习1.如图, ad 为 abc 的中线, adc=45 °,把 adc 沿直线 ad 翻折,点c 落在点 c的位置, bc=4、求 bc 的长 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一折叠直角三角形1.如图, 在 abc 中, a = 90,°点 d 为 ab 上一点, 沿 cd 折叠

11、 abc ,点 a 恰好落在bc 边上的a' 处,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab=4 , ac=3 ,求 bd 的长；2. 如图, rt abc 中, b=90°,ab=3 ,ac=5 将 abc 折叠使 c 与 a 重合,折痕为de,求 be 的长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载（二）折叠长方形1.如图,长方形abcd 中, ab=4 ,bc=5 ,f 为 cd 上一点,将长方形沿折痕af 折叠,点 d 恰好落在bc上的点 e 处,求 cf 的长；2. 如图,长方形abcd中, ad=8cm , ab=4cm ,沿 ef 折

12、叠,使点d 与点 b 重合,点 c 与 c'重合 . （ 1）求 de 的长 ;（ 2）求折痕ef 的长 .3. （ 2021.常德）如图,将长方形纸片abcd折叠,使边cd 落在对角线ac 上,折痕为ce, 且 d 点落在对角线 d处如 ab=3 , ad=4 ,就 ed 的长为（）4. 如图, 长方形 abcd 中, ab=6 ,ad=8 ,沿 bd 折叠使 a 到 a处 da交 bc 于 f 点. （1）求证： fb=fe（ 2）求证： ca bd（ 3）求 dbf 的面积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载7. 如图,正方形abcd 中,点 e 在边

13、cd 上,将 ade 沿 ae 对折至 afe ,延长 ef 交边 bc 于点 g、g为 bc 的中点,连结ag .cf. （ 1）求证： ag cf; （ 2）求的值 .题型八：关于勾股定理在实际中的应用：例 1.如图,大路mn 和大路 pq 在 p 点处交汇,点a 处有一所中学,ap=160 米,点 a 到大路 mn 的距离为 80 米,假使拖拉机行驶时,四周 100 米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时,学校为否会受到影响,请说明理由；假如受到影响,已知拖拉机的速度为18 千米 /小时,那么学校受到影响的时间为多少？例 2.一辆装满货物高为1.8 米,宽 1

14、.5 米的卡车要通过一个直径为5 米的半圆形双向行驶隧道,它能顺当通过吗？跟踪练习：1.某市气象台测得一热带风暴中心从a 城正西方向300km 处,以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动,距风暴中心200km 的范畴内为受影响区域；试问a 城为否受这次风暴的影响？假如受影响,请精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载求出遭受风暴影响的时间；假如没有受影响,请说明理由；2.一辆装满货物的卡车、其外形高 2.5 米、宽 1.6 米、要开进厂门外形如下图的某工厂、问这辆卡车能否通过该工厂的厂门 .3.有一个边长为50dm 的正方形洞口,想用一个圆盖去盖住这个洞

15、口,圆的直径至少多长？（结果保留整数）4.如图,铁路上 a ,b 两点相距 25km ,c,d 为两村庄,da ab 于 a ,cb ab 于 b ,已知 da=15km、cb=10km,现在要在铁路ab 上建一个土特产品收购站e,使得 c,d 两村到 e 站的距离相等,就e 站应建在离a 站多少 km 处？题型九：关于最短性问题例 1.如右图119,壁虎在一座底面半径为2 米,高为4 米的油罐的下底边沿a 处,它发觉在自己的正上方油罐上边缘的b 处有一只害虫,便打算捕获这只害虫,为了不引起害虫的留意,它有意不走直线,而为围着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然突击结果,壁虎的偷袭得到胜

16、利,获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫.（ 取 3.14,结果保留1 位小数,可以用运算器运算）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载例 2.跟踪练习：1.如图为一棱长为3cm 的正方体,把全部面都分为9 个小正方形,其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬 行 2cm,就它从下地面a 点沿表面爬行至右侧面的b 点,最少要花几秒钟？2.如图,为一个三级台阶,它的每一级的长.宽和高分别等于 5cm, 3cm 和 1cm, a 和 b 为这个台阶的两个相对的端点, a 点上有一只蚂蚁, 想到 b 点去吃可口的食物 .请你想一想, 这只蚂蚁从 a 点动身,沿着台

17、阶面爬到 b 点,最短线路为多少？a531b3.一个长方体盒子的长.宽.高分别为8cm, 6cm, 12cm、一只蚂蚁想从盒底的a 点爬到盒顶的b 点、你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程为多少？baa4.如图将一根13.5 厘米长的细木棒放入长.宽.高分别为4 厘米. 3 厘米和 12 厘米的长方体无盖盒子中,能全部放进去吗？a？3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载题型十：勾股定理与特别角（一）直接运用30°或 45°的直角三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.如图,在 abc 中, c = 90,°

18、 b = 30°, ad 为 abc 的角平分线,如ac= 23 ,求 ad的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.如图,在 abc 中, acb = 90 °, ad 为 abc 的角平分线,cd ab于 d, a= 30 °,cd=2 ,求 ab的长；3.如图,在 abc 中, a d bc于 d, b= 60 °, 、c= 45 ,°ac=2 ,求 bd 的长；（二）作垂线构造30°或 45°的直角三角形（ 1）将 105°转化为45°和 60°1.如图,在 abc 中,

19、b= 45 °, a=105 °, ac=2 ,求 bc 的长；2. 如图,在四边形abcd中, a= c=45°, adb= abc=105 ° 、如ad=2、 求 ab的长；如ab+cd= 23 +2,求 ab 的长；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载cdab（ 2）将 75°转化为30°和 45°3. 如图,在 abc 中, b= 45 °, bac=75 °, ab=6,求 bc 的长；题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程1. 如图,在 abc 中,

20、c= 90 °, ad 平分 cab 交 cb 于 d ,cd=3、bd=5 ,求 ad 的长；2. 如图,在 abc 中, a d bc于 d,且 cad=2 bad、 如 bd=3 , cd=8 ,求 ab 的长；二巧用“连环勾”列方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 如图,在 abc 中, ab=5 ,bc=7 , ac= 42 、求 sabc .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载2. 如图,在 abc 中, acb= 90 °, cd ab于 d, ac=3, bc=4,求 ad 的长；3. 如图, abc 中, acb

21、=90°, cd ab 于 d, ad=1 , bd=4 ,求 ac 的长4.如图, abc 中, acb=90°, cd ab 于 d ,cd=3 , bd=4 ,求 ad 的长题型十二：勾股定理与分类争论（一）锐角与钝角不明时需分类争论1. 在 abc 中, ab=ac=5 ,求 bc 的长2. 在 abc 中, ab=15 , ac=13 , ad 为 abc 的高,且ad=12 ,求 abc 的面积；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载（二）腰和底不明时需分类争论3.如图 1, abc 中, acb=90°,ac=6 ,bc=8

22、,点 d 为射线 ac 上一点,且 abd 为等腰三角形,求 abd的周长 .（三）直角边和斜边不明时需分类争论1.已知直角三角形两边分别为2 和 3,就第三边的长为 2.在 abc 中, acb=90°,ac=4 , bc=2 ,以 ab 为边向外作等腰直角三角形abd ,求 cd 的长3.如图, d2、1、 以od 为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点在x轴上,这样的等腰三角形能画多少个.写出落在 x 轴上的顶点坐标.题型十三：或问题的证明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载1.如图 1, abc 中, ca=cb , acb=90°, d 为

23、 ab 的中点, m .n 分别为 ac .bc 上一点,且 dm dn. （ 1）求证： cm+cn= bd（ 2）如图 2,如 m .n 分别在 ac .cb 的延长线上,探究 cm .cn .bd 之间的数量关系式；2.已知 bcd= , bad= ,cb=cd. （ 1）如图 1,如 = =9,0 °求证： ab+ad= ac ；（ 2）如图 2,如 =90,°求证： ab-ad= ac ；（ 3）如图 3,如 =120°, =60°,求证： ab=ad= ac ；（4）如图 3,如 = =12,0 °求证： ab-ad= ac ；精品

24、学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载题型十四：问题的证明1.如图, oa=ob ,oc=od ,aob= cod=90°,m .n 分别为 ac .bd 的中点, 连 mn .on. 求证：mn= on.2.已知 abc 中, ab=ac , bac=90°, d 为 bc 的中点, ae=cf ,连 de .ef. （ 1）如图 1,如 e.f 分别在 ab .ac 上,求证： ef=de；（ 2）如图 2,如 e.f 分别在 ba .ac 的延长线上,就1中的结论为否仍成立？请说明理由精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载3

25、.如图, abd 中, o 为 ab 的中点, c 为 do 延长线上一点,aco=135°, odb=45°探究 od .oc .ac 之间相等的数量关系4.如图, abd为等腰直角,bad=90°, bc ad ,bc=2ab , ce 平分 bcd ,交 ab 于 e,交 bd于 h 求证：（ 1） dc=da ；（ 2） be=dh题型十五： 勾股定理（逆定理）与网格画图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载1.如图,每个小正方形的边长为1, a .b.c 为小正方形的顶点,就abc 的度数为2.如图,每个小正方形的边长都为1,在图

26、中画一个三角形,使它的三边长分别为3、2,且三角形的三个顶点都在格点上3.如图,每个小正方形的边长都为1,在图中画一个边长为的正方形,且正方形的四个顶点在格点上4.在图中以格点为顶点画一个等腰三角形,使其内部已标注的格点只有3 个5.如图,在4 个匀称由16 个小正方形组成的网格正方形中,各有一个格点三角形,那么这4 个三角形中,与众不同的为 中的三角形,图4 中最长边上的高为 6.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按以下要求画图：（ 1）画一条线段mn ,使 mn=；（ 2）画 abc ,三边长分别为3, 2；7.如图,在5×5

27、的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,线段 ab 的端点在格点上精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载优秀教案欢迎下载（ 1）图 1 中以 ab 为腰的等腰三角形有 个,画出其中的一个,并直接写出其底边长（ 2）图 2 中, 以 ab 为底边的等腰三角形有 个,画出其中的一个,并直接写出其底边上的高题型十六： 利用勾股定理逆定理证垂直1.如图,在 abc 中,点 d 为 bc 边上一点,且ab=10 ,bd=6 , ad=8 , ac=7 ,其求 cd 的长 .2.如图,在四边形abcd 中, b=90°, ab=2 ,cd=5 , ad=4 ,求.3.如图,在 abc 中, ad 为 bc 边上的中线,ab=5、ac=13、ad=6,求 bc 的长 .精品学习资料精选学习资料 - -