极限与连续PPT课件

1、1第二章第二章极限与连续极限与连续2 在在16 17世纪，随着生产实践和科学技术的发展，世纪，随着生产实践和科学技术的发展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的切线切线，确，确定物体运动的定物体运动的速度速度，计算平面曲边图形的，计算平面曲边图形的面积面积和空和空间中表面弯曲的立体的间中表面弯曲的立体的体积体积等等. .在这些问题面前，初在这些问题面前，初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动及破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动及变化过程的新理论和新方法变化过

2、程的新理论和新方法变量数学，而微积变量数学，而微积分作为变量数学的主体，随之而生分作为变量数学的主体，随之而生. . 极限极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工具，是整个微积分学的理论基础工具，是整个微积分学的理论基础. . 3本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的其有用的重要极限。随

3、后，运用极限引入了函数的连续性连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要是连续函数。是连续函数。4第一节第一节 数列的极限数列的极限割圆术割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术注我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法利用圆内接正多边形计算圆面积的方法-割割圆术圆术，就是极限思想在几何上的应用。，就是极限思想在几何上的应用。(一一) 数列概念数列概念5 三国时的刘徽提出的三国时的刘徽提出的 的方法的方法.他把圆周分他把圆周分成三等分、六等分、十二

4、等分、二十四等分、成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 这样继续这样继续分割下去分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长所得多边形的周长就无限接近于圆的周长. 割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆合体而无与圆合体而无所失矣所失矣. .6“割圆术割圆术”计算圆的面积：计算圆的面积：R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积11aS 212aaS 正正 形的面积形的面积n23 nnaaaS 21刘徽首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，刘徽首先从圆内接六边形开始割圆，每次边数倍增，算到算到192边形的面积

5、，得到边形的面积，得到 157/50 = 3.14，又算又算到到3072边形的面积，得到边形的面积，得到 3927/1250 = 3.1416，称为称为“徽率徽率”。 )( nSn？问题：问题：祖率祖率 约率约率 22/7，密率，密率 355/1133.141592920357数列的定义数列的定义例如例如, 8, 4, 2,51,31,11 2n12)1(1 nn按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 称为称为无穷数列无穷数列, ,简称简称数列数列. . 其其中中的的每每个个数数称称为为数数列列的的项项，na称称为为通通项项(一一般般项项)。 数数列列(

6、1)记记为为na. (1) ,21naaa8.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn(二二) 数列极限的定义数列极限的定义,)1(1,65,56,43,34,21, 21nn 1x221344356659问题：当问题：当 n 无限增大时，无限增大时，an 是否无限接近于某一确定是否无限接近于某一确定的数值的数值? 如果是，如何确定如果是，如何确定?. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nannn 通过上面图示观察：通过上面图示观察：10如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是就说数列是发散发散的的.注意：注意：;|. 1的的无无限限接接近近与

7、与刻刻划划了了不不等等式式aaaann . 2有有关关一一般般与与任任意意给给定定的的正正数数 N使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切na, , 定义定义 |aan都成立都成立, , 总存在正总存在正整整数数 N, 那末就称常数那末就称常数 a 是数列是数列na的的极限极限, , 不等式不等式或者称数列或者称数列na收敛收敛于于 a, , 记为记为,limaann ).( naan或或如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小), ), 11(三三) 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质性质性质1 1 极限的唯一性极限的唯一性定定理理 1 1 若若数数列列n

8、a收收敛敛，则则极极限限唯唯一一。 性质性质2 2 有界有界性性对于数列对于数列na，如果存在常数，如果存在常数0 M，使对一切，使对一切n，有，有 定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界。则则称称数数列列na是是有有界界的的。 ,|Man 注注1 1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。注注2 2 无界数列必定发散无界数列必定发散。.2 nnx 例如：例如：有界数列不一定收敛有界数列不一定收敛. .)1( nnx 例例如如：12第二节第二节13.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx( (一一) )自变量趋于无

9、穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限xy14通过上面图示观察通过上面图示观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”？定义定义X ：Axfx )(lim,0 ,0 X,|时时使使当当Xx .)(| Axf恒恒有有. 0sin)(,|无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 15：Axfx )(lim,0 ,0 X,时时使使当当Xx .)(| Axf恒恒有有：Axfx )(lim,0 ,0 X,时时使使当当Xx .)(| Axf恒恒有有)(limxfx 存存在在当当且且仅仅当当)(limxfx 和和)(limxfx 都都存存在在且且相相

10、等等. . 16,0elim xx例例3解解 x时时，xxfe)( 有有无无极极限限？ ,elim xx.elim不不存存在在故故xx xyo,2arctanlim xx例例2解解 x时时，xxfarctan)( 有有无无极极限限？ .arctanlim不不存存在在故故xx ,2arctanlim xxxy2 2 17( (二二) )自变量趋于有限点处时函数的极限自变量趋于有限点处时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A. 定义定义 ：Axfxx )(lim0,0 ,0 ,|00时时使当使当

11、xx.|)(| Axf恒有恒有18说明：说明：;)(. 10处处是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf19例例4. )(lim0为常数为常数证明证明CCCxx 例例5.lim00 xxxx 证明证明20证证明明 4)23(lim2 xx. 例例621证证明明 639lim23 xxx. 例例722( (三三) )左极限与右极限左极限与右极限,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近;)0(00 xxxx或或记作记作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近. )0(00 xxxx或或记记作作左极限：左极限：, 0, 000时时使使当当xxx .)0()(lim00AxfAxfx

12、x 或或记作记作.|)(| Axf恒有恒有x0 x 0 x 23左极限：左极限：, 0, 000时时使使当当xxx 右极限：右极限：, 0, 000时时使使当当 xxx.)0()(lim)(000AxfAxfxfxx 或或记作记作.)0()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作.|)(| Axf恒有恒有.|)(| Axf恒有恒有24yox1xy 112 xy解解两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点 ,0 x, 1 , 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故例例8，设设 0, 10,1)(2xxxxxf. 1)(lim0 xfx证明证明.

13、)(lim)(lim)(lim:000AxfxfAxfxxxxxx 定理定理)(lim0 xfx )1(lim0 xx )(lim0 xfx )1(lim20 xx25例例9 设设 1 ,111 , 93)(23xaxxxxaxxf, , 已已知知)(lim1xfx存存在在， 求：求：(1) a；(2) )(lim1xfx. )(lim1xfx 解解)93(lim31 axxx,310a 因因为为 )(lim1xfx 存存在在，所所以以 aa 2310， .2 a即即.4)(lim1 xfx且且)(lim1xfx )11(lim21axxx )1(lim1axx ,2a 26类类似似地地，可可以以把把)(limxfx 和和)(limxfx 当当作作单单侧侧极极限限. . )(limxfx 存存在在当当且且仅仅当当)(limxfx 和和)(limxfx 都都存存在在且且相相等等. . .)(lim)(lim)(lim:000AxfxfAxfxxx