高等数学教案第一章函数与极限(3)

1、第一章函数与极限教学目的：1、 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2、 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3、 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4、 掌握基本初等函数的性质及其图形。5、 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6、 掌握极限的性质及四则运算法则。7、 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8、 理解无穷小、 无穷大的概念， 掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9、 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间

2、断点的类型。10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。 1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合 (简称集 ): 集合是指具有某种特定性质的事

3、物的总体. 用 a, b, c.等表示 . 元素 : 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合 m 的元素表示为a m. 集合的表示 : 列举法 : 把集合的全体元素一一列举出来. 例如 a a, b, c, d, e, f, g. 描述法 : 若集合 m 是由元素具有某种性质p 的元素 x 的全体所组成 , 则 m 可表示为a a1, a2, , an, m x | x 具有性质 p . 例如 m ( x, y)| x, y 为实数 , x2y21. 几个数集 : n 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. n 0, 1, 2, , n, . n1, 2, , n, . r 表示所有实

4、数构成的集合, 称为实数集 . z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集 . z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. ,|互质与且qpqzpqpnq子集 : 若 x a, 则必有 x b, 则称 a是 b 的子集 , 记为 a b(读作 a 包含于 b)或 b a . 如果集合a 与集合 b 互为子集 , a b 且 b a, 则称集合a 与集合 b 相等 , 记作 a b. 若 ab 且 a b, 则称 a 是 b 的真子集 , 记作 ab . 例如 , nzqr . 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集

5、合的子集. 2. 集合的运算设 a、b 是两个集合 , 由所有属于a 或者属于b 的元素组成的集合称为a 与 b 的并集(简称并 ), 记作 ab, 即ab x|xa 或 xb. 设 a、b 是两个集合 , 由所有既属于a 又属于 b 的元素组成的集合称为a 与 b 的交集(简称交 ), 记作 ab, 即ab x|xa 且 xb. 设 a、b 是两个集合 , 由所有属于a 而不属于b 的元素组成的集合称为a 与 b 的差集(简称差 ), 记作 a b, 即a b x|xa 且 x b. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合i 中进行 , 所研究的其他集合a 都是 i 的子集 . 此时 , 我

6、们称集合i 为全集或基本集. 称 ia 为 a 的余集或补集 , 记作 ac. 集合运算的法则: 设 a、b、c 为任意三个集合, 则(1)交换律 ab b a, ab ba; (2)结合律(ab)c a(b c), (ab)c a(bc); (3)分配律(ab)c (ac)(bc), (ab)c (ac)(bc); (4)对偶律(ab)cacbc, (ab)cacbc. (ab)cacbc的证明 : x (a b)cx abxa 且 xbxac且 xbcx acbc, 所以 (a b)cacbc. 直积 (笛卡儿乘积 ): 设 a、b 是任意两个集合, 在集合 a 中任意取一个元素x, 在集

7、合 b 中任意取一个元素 y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合a 与集合 b 的直积 , 记为 a b, 即a b ( x, y)|x a 且 y b. 例如 , r r(x, y)| xr 且 y r 即为 xoy 面上全体点的集合, r r 常记作 r2.3. 区间和邻域有限区间 : 设 ab, 称数集 x|axb为开区间 , 记为 (a, b), 即(a, b) x|axb. 类似地有a, b x | a x b 称为闭区间 , a, b) x | a xb 、(a, b x | ax b 称为半开区间 . 其中 a 和 b称为区间

8、(a, b)、 a, b、a, b)、(a, b的端点 , b a 称为区间的长度. 无限区间 : a, ) x | a x , (, b x | x b , (, ) x | | x | . 区间在数轴上的表示: 邻域 : 以点 a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域 , 记作 u(a). 设 是一正数 , 则称开区间 (a, a)为点 a 的 邻域 , 记作 u(a, ), 即u(a, ) x | a x a x | | x a| . 其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径. 去心邻域u(a, ): u(a, ) x |0| x a |1 时, y 1 x. 例如2212)21(f;

9、 212) 1 ( f; f(3) 1 3 4. 2. 函数的几种特性(1)函数的有界性设函数 f(x)的定义域为d, 数集 x d. 如果存在数k1, 使对任一x x, 有 f(x) k1, 则称函数 f(x)在 x 上有上界 , 而称 k1为函数 f(x)在 x 上的一个上界 . 图形特点是y f(x)的图形在直线y k1的下方 . 如果存在数k2, 使对任一x x, 有 f(x)k2, 则称函数f(x)在 x 上有下界 , 而称 k2为函数 f(x)在 x 上的一个下界. 图形特点是 , 函数 y f(x)的图形在直线y k2的上方 . 如果存在正数m, 使对任一xx, 有| f(x)

10、| m, 则称函数f(x)在 x 上有界 ; 如果这样的 m 不存在 , 则称函数 f(x)在 x 上无界 . 图形特点是 , 函数 y f(x)的图形在直线ym 和y m 的之间 . 函数 f(x)无界 , 就是说对任何m, 总存在 x1x, 使| f(x) | m. 例如(1)f(x) sin x 在(, )上是有界的 : |sin x| 1. (2)函数xxf1)(在开区间 (0, 1)内是无上界的. 或者说它在 (0, 1)内有下界 , 无上界 . 这是因为 , 对于任一m1, 总有 x1:1101mx, 使mxxf111)(, 所以函数无上界. 函数xxf1)(在 (1, 2)内是有

11、界的 . (2)函数的单调性设函数 yf(x)的定义域为d, 区间 id. 如果对于区间i 上任意两点x1及 x2, 当 x1x2时, 恒有f(x1) f(x2), 则称函数f(x)在区间 i 上是单调增加的. 如果对于区间i 上任意两点x1及 x2, 当 x1 f(x2), 则称函数f(x)在区间 i 上是单调减少的. 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数. 函数单调性举例: 函数 yx2在区间 (, 0上是单调增加的, 在区间 0, )上是单调减少的, 在（, ）上不是单调的. (3)函数的奇偶性设函数 f(x)的定义域d 关于原点对称 (即若 x d, 则 xd). 如果对于任一xd,

12、 有f( x) f(x), 则称 f(x)为偶函数 . 如果对于任一x d, 有f( x) f(x), 则称 f(x)为奇函数 . 偶函数的图形关于y 轴对称 , 奇函数的图形关于原点对称, 奇偶函数举例: y x2, y cos x 都是偶函数 . y x3, y sin x 都是奇函数 , y sin x cos x 是非奇非偶函数. (4)函数的周期性设函数 f(x)的定义域为d. 如果存在一个正数l , 使得对于任一x d 有(x l)d, 且f(x l) f(x) 则称 f(x)为周期函数 , l 称为 f(x)的周期 . 周期函数的图形特点: 在函数的定义域内, 每个长度为l 的区

13、间上 , 函数的图形有相同的形状 . 3反函数与复合函数反函数 : 设函数 f : df(d)是单射 , 则它存在逆映射f1: f(d)d, 称此映射 f1为函数 f的反函数. 按此定义 , 对每个 y f(d), 有唯一的x d, 使得 f(x) y, 于是有f1(y) x. 这就是说 , 反函数 f1的对应法则是完全由函数f 的对应法则所确定的. 一般地 , y f(x), xd 的反函数记成y f1(x), xf(d). 若 f 是定义在 d 上的单调函数, 则 f : df(d)是单射 , 于是 f的反函数 f1必定存在 , 而且容易证明f1也是 f(d)上的单调函数 . 相对于反函数

14、y f1(x)来说 , 原来的函数y f(x)称为直接函数 . 把函数 y f(x)和它的反函数y f1(x)的图形画在同一坐标平面上, 这两个图形关于直线y x 是对称的 . 这是因为如果p(a, b)是 y f(x)图形上的点 , 则有 b f(a). 按反函数的定义, 有 a f1(b), 故 q(b, a)是 y f1(x)图形上的点 ; 反之 , 若 q(b, a)是 y f1(x)图形上的点 , 则 p(a, b)是 y f(x)图形上的点 . 而 p(a, b)与 q(b, a)是关于直线y x 对称的 . 复合函数 : 复合函数是复合映射的一种特例, 按照通常函数的记号, 复合

15、函数的概念可如下表述. 设函数 y f(u)的定义域为d 1, 函数 u g(x)在 d 上有定义且g(d) d 1, 则由下式确定的函数y fg(x), xd称为由函数u g(x)和函数 y f(u)构成的复合函数, 它的定义域为d, 变量 u 称为中间变量 . 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为gf, 即(gf) fg(x). 与复合映射一样, g 与 f 构成的复合函数gf的条件是 : 是函数 g 在 d 上的值域 g(d)必须含在f 的定义域df内 , 即 g(d)df. 否则 , 不能构成复合函数. 例如 , y f(u) arcsin u, 的定义域为 1, 1, 212)

16、(xxgu在 1,2323, 1d上有定义 , 且 g(d) 1, 1, 则 g 与 f 可构成复合函数212arcsinxy, xd; 但函数y arcsin u 和函数u 2 x2不能构成复合函数, 这是因为对任x r, u 2 x2均不在y arcsin u 的定义域 1, 1内 . 多个函数的复合: 4. 函数的运算设函数 f(x), g(x)的定义域依次为d 1, d 2, d d 1d 2, 则我们可以定义这两个函数的下列运算 : 和(差 )fg : (fg)(x) f(x) g(x), xd; 积 f g : (f g)(x) f(x) g(x), xd; 商gf: )()()(

17、xgxfxgf, x d x|g(x) 0. 例 11 设函数 f(x)的定义域为 ( l, l), 证明必存在 ( l, l)上的偶函数g(x)及奇函数 h(x), 使得f(x) g(x) h(x). 分析如果 f(x) g(x) h(x), 则 f( x) g(x) h(x), 于是)()(21)(xfxfxg, )()(21)(xfxfxh. 证 作)()(21)(xfxfxg, )()(21)(xfxfxh, 则 f(x) g(x) h(x), 且)()()(21)(xgxfxfxg, )()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh. 5. 初等函数基本初等函数: 幂函数 :

18、 y x (r 是常数 ); 指数函数 : y ax(a 0 且 a 1); 对数函数 : y logax (a 0 且 a 1, 特别当 a e时 , 记为 y ln x); 三角函数 : y sin x, y cos x, y tan x, y cot x, y sec x, y csc x; 反三角函数 : y arcsin x, y arccos x, y arctan x, y arccot x . 初等函数 : 由常数和基本初等函数经过有限次 的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数. 例如21 xy, y sin2x, 2cotxy等都是初

19、等函数. 双曲函数 : 双曲正弦 : 2shxxeex; 双曲余弦 : 2chxxeex; 双曲正切 : xxxxeeeexxxchshth. 双曲函数的性质: sh(x y) sh x ch y ch x sh y; ch(x y) ch x ch y sh x sh y. ch2x sh2x 1; sh2x 2sh xch x; ch2x ch2x sh2x . 下面证明sh(x y) sh x ch y ch x sh y: 2222shchchshyyxxyyxxeeeeeeeeyxyx44)()(yxyxxyyxyxyxxyyxeeeeeeeey=chxy=shx1xyoy= e-x

20、12y= ex121-1oxyy=th x)(sh2)(yxeeyxyx. 反双曲函数 : 双曲函数y sh x, y ch x(x 0), y th x 的反函数依次为反双曲正弦 : y arsh x; 反双曲余弦 : y arch x; 反双曲正切 : y arth x . 反双曲函数的表示达式: y arsh x 是 x sh y 的反函数 , 因此 , 从2yyeex中解出 y 来便是 arsh x . 令 u ey, 则由上式有u 22x u 1 0. 这是关于u的一个二次方程, 它的根为12xxu. 因为 u ey0, 故上式根号前应取正号, 于是12xxu. 由于 y ln u,

21、 故得)1ln(arsh2xxxy. 函数 y arsh x 的定义域为 (, ), 它是奇函数 , 在区间 (, )内为单调增加的. 类似地可得)1ln(arch2xxxy, xxxy11ln21arth. 1 2 数列的极限一个实际问题如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆首先作内接正四边形它的面积记为a1；再作内接正八边形它的面积记为 a2；再作内接正十六边形它的面积记为a3；如此下去每次边数加倍一般把内接正82n1边形的面积记为an这样就得到一系列内接正多边形的面积a1a2a3an设想 n 无限增大（记为n读作 n 趋于穷大）即内接正多边形的边数无限增加在这个过程中内接正多边形无限接近

22、于圆同时an也无限接近于某一确定的数值这个确定的数值就理解为圆的面积这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列）a1a2a3an当 n时的极限数列的概念如果按照某一法则使得对任何一个正整数n 有一个确定的数xn则得到一列有次序的数x1x2x3xn这一列有次序的数就叫做数列记为 xn其中第 n 项 xn叫做数列的一般项数列的例子1nn2132431nn2n 2 4 8 2nn21214181n21(1)n1 11 1 ( 1)n1nnn 1) 1( 22134nnn 1)1(它们的一般项依次为1nn 2nn21 ( 1)n1nnn 1) 1(数列的几何意义数列 xn可以看作数轴上的一个动点它

23、依次取数轴上的点x1x2x3xn数列与函数数列 xn可以看作自变量为正整数n 的函数xnf (n)它的定义域是全体正整数数列的极限数列的极限的通俗定义： 对于数列 xn如果当 n 无限增大时数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值a 则称常数a 是数列 xn 的极限或称数列 xn收敛 a记为axnnlim如果数列没有极限就说数列是发散的例如11limnnn021limnn1) 1(lim1nnnn而2n (1)n1是发散的对无限接近的刻划xn无限接近于a 等价于 |xna |无限接近于0极限的精确定义定义如果数列 xn 与常 a 有下列关系对于任意给定的正数不论它多么小总存在正整数 n使得对

24、于n n 时的一切xn不等式|xna |0要使 |xn1|只要n1即1n证明因为0, 1nn当 n n 时有|xn1|nnnn1|1) 1(|1所以1) 1(lim1nnnn例 2证明0) 1() 1(lim2nnn分析|xn0|0) 1() 1(|2nn11) 1(12nn对于0要使 |xn0|只要11n即11n证明因为0 11nn当 n n 时有|xn0|11) 1(1|0) 1() 1(|22nnnn所以0) 1() 1(lim2nnn例 3设|q |0要使|xn0| | qn10| |q| n1log|q|1 就可以了故可取 n log|q|1。证明因为对于任意给定的 0存在 n lo

25、g|q|1当 n n 时有| qn10| |q| n1所以0lim1nnq收敛数列的性质定理 1(极限的唯一性 )数列 xn不能收敛于两个不同的极限证明假设同时有axnnlim及bxnnlim且 a0存在充分大的正整数n使当 nn 时同时有|xna|2ab及 |xnb|n 时的一切xn不等式|xna|n 时|xn| |(xna) a| | xna| |a|0nn+当 n n 时有|xna|取 k n则当 k k 时 nkk k n于是 |knxa|这就证明了axknklim讨论1对于某一正数0如果存在正整数n使得当 n n 时有 |xna|0是否有 xna(n)2如果数列 xn 收敛那么数列

26、xn 一定有界发散的数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛 ?3数列的子数列如果发散原数列是否发散? 数列的两个子数列收敛但其极限不同原数列的收敛性如何?发散的数列的子数列都发散吗？4如何判断数列11 11 ( 1)n 1是发散的？1 3 函数的极限一、函数极限的定义函数的自变量有几种不同的变化趋势x 无限接近x0 xx0 x 从 x0的左侧 (即小于 x0)无限接近x0 xx0 x 从 x0的右侧 (即大于 x0)无限接近x0 xx0 x 的绝对值 |x|无限增大xx 小于零且绝对值|x|无限增大xx 大于零且绝对值|x|无限增大x1自变量趋于有限值时函数的极限通俗定义如果当 x 无限接近于

27、x0函数 f(x)的值无限接近于常数a则称当 x 趋于 x0时f(x)以 a 为极限记作0limxxf(x) a 或 f(x)a(当 x0 x )分析在 xx0的过程中f(x)无限接近于a 就是 |f(x) a|能任意小或者说在 x与 x0接近到一定程度(比如 |x x0|为某一正数 )时 |f(x) a|可以小于任意给定的(小的 )正数即 f(x) a|反之对于任意给定的正数如果 x 与 x0接近到一定程度(比如 |x x0|为某一正数 )就有 |f(x) a|则能保证当xx0时 f(x)无限接近于a定义 1 设函数 f(x)在点 x0的某一去心邻域内有定义如果存在常数a对于任意给定的正数(

28、不论它多么小 )总存在正数使得当 x 满足不等式0|x x0|时对应的函数值 f(x)都满足不等式|f(x) a|那么常数 a 就叫做函数f(x)当 xx0时的极限记为axfxx)(lim0或 f(x)a(当 xx0)定义的简单表述axfxx)(lim000当 0 |x x0|时|f(x) a|函数极限的几何意义: 例 1证明ccxx0lim证明这里 |f(x) a| |c c| 0因为0可任取0当 0 |x x0|时有|f(x) a| |c c| 0所以ccxx0lim例 2证明00limxxxx分析 |f(x) a| |x x0|因此0要使 |f(x) a|只要 x x0|证明因为0当 0

29、 |x x0|时有|f(x) a| |x x0|所以00limxxxx例 3证明1) 12(lim1xx分析 |f(x) a| |(2x 1) 1| 2|x 1|0要使 |f(x) a|只要2| 1|x证明因为0/22当0 |x 1|时有|f(x) a| |(2x 1) 1| 2|x 1|所以1) 12(lim1xx例 4证明211lim21xxx分析注意函数在x 1 是没有定义的但这与函数在该点是否有极限并无关系当 x 1 时 |f(x) a| 211|2xx|x 1|0要使 |f(x) a|只要 |x 1|证明因为0当 0 |x 1|时有 | f(x) a| 211|2xx|x 1|所以2

30、11lim21xxx单侧极限若当 xx0时f(x)无限接近于某常数a则常数a叫 做 函 数f(x) 当xx0时 的 左 极 限记 为axfxx)(lim0或 f(0 x) a若当 xx0时f(x)无限接近于某常数a则常数a叫 做 函 数f(x) 当xx0时 的 右 极 限记 为axfxx)(lim0或 f(0 x) a讨论 1 左右极限的定义如何叙述? yy x 1 1 1 y x 1 x2当 xx0时函数 f(x)的左右极限与当xx0时函数 f(x)的极限之间的关系怎样? 提示左极限的-定义：axfxx)(lim000 x x0 x x0有|f(x) a|axfxx)(lim000 x x0

31、 x x0有|f(x) a|x 时对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x) a|则常数 a 叫做函数f(x)当 x时的极限记为axfx)(lim或 f(x)a(x)axfx)(lim0x 0当 |x| x 时有|f(x) a|类似地可定义axfx)(lim和axfx)(lim结论axfx)(limaxfx)(lim且axfx)(lim极限axfx)(lim的定义的几何意义例 6证明01limxx分析|1|01|)(|xxaxf0要使 |f(x) a|只要1|x证明因为001x当|x| x 时有|1|01|)(|xxaxf所以01limxx直线 y 0 是函数xy1的水平渐近线一般地如果cx

32、fx)(lim则直线 y c 称为函数y f(x)的图形的水平渐近线二、函数极限的性质定理 1(函数极限的唯一性) 如果极限)(lim0 xfxx存在那么这极限唯一定理 2(函数极限的局部有界性) 如果 f(x)a(xx0)那么存在常数m 0 和使得当 0 |x x0|时有|f(x)| m证明因为 f(x)a(xx0)所以对于10当 0 |x x0|时有|f(x) a|1于是|f(x)| |f(x) a a| |f(x) a| |a| 1 |a|这就证明了在x0的去心邻域 x| 0 |x x0|内f(x)是有界的定理 3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)a(xx0)而且a 0(或a 0)那

33、么存在常数0使当0 |x x0|时有f(x) 0(或 f(x) 0)证明就 a 0 的情形证明因为axfxx)(lim0所以对于2a0当 0 |x x0|时有y f (x) aaxoxxya2|)(|aaxf)(2xfaa2)(axf0定理 3如 果f(x)a(xx0)(a 0)那 么 存 在 点x0的 某 一 去 心 邻 域在 该 邻 域 内有|21| )(|axf推论如果在 x0的某一去心邻域内f(x) 0(或 f(x) 0)而且 f(x)a(xx0)那么 a 0(或a 0)证明设 f(x) 0 假设上述论断不成立即设 a0那么由定理1就有 x0的某一去心邻域在该邻域内f(x) 0这与 f

34、(x) 0 的假定矛盾所以 a 0定理 4(函数极限与数列极限的关系) 如果当 xx0时 f(x)的极限存在 xn为 f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列且满足xnx0(n n )那么相应的函数值数列f(xn) 必收敛且)(lim)(lim0 xfxfxxnn证明设 f(x)a(xx0)则00当 0 |x x0|时 有|f(x) a|又因为 xnx0(n)故对0nn当 n n 时有|xnx0|由假设xnx0(n n )故当 n n 时0 |xnx 0|从而 |f(xn) a|即)(lim)(lim0 xfxfxxnn 1 4 无穷小与无穷大一、无穷小如果函数f(x)当 xx0(或 x)时的极

35、限为零那么称函数f(x)为当 xx0(或 x)时的无穷小特别地以零为极限的数列 xn称为 n时的无穷小例如因为01limxx所以函数x1为当 x时的无穷小因为0) 1(lim1xx所以函数为x 1 当 x1 时的无穷小因为011limnn所以数列 11n 为当 n时的无穷小讨论很小很小的数是否是无穷小？0 是否为无穷小？提示无穷小是这样的函数在 xx0(或 x)的过程中极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中其极限就是这个常数本身不会为零无穷小与函数极限的关系定理 1在自变量的同一变化过程xx0(或 x)中函数 f(x)具有极限 a 的充分必要条件是 f(x) a其

36、中是无穷小证明设axfxx)(lim00 0使当 0 |x x0|时有|f(x) a|令f(x) a 则是 xx0时的无穷小且f(x) a这就证明了f(x)等于它的极限a 与一个无穷小之和反之设 f(x) a其中 a 是常数是 xx0时的无穷小于是|f(x) a| | |因是 xx0时的无穷小0 0使当 0 |x x0|有| |或|f(x) a|这就证明了a 是 f(x) 当 xx0时的极限简要证明令f(x) a则|f(x) a| | |如果0 0使当 0 |x x0|有 f(x) a|就有 | |反之如果0 0使当 0 |x x0|有| |就有 f(x) a|这就证明了如果a 是 f(x)

37、当 xx0时的极限则是 xx0时的无穷小如果是xx0时的无穷小则 a 是 f(x) 当 xx0时的极限类似地可证明x时的情形例如因为333212121xxx而021lim3xx所以2121lim33xxx二、无穷大如果当 xx0(或 x)时对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大就称函数f(x)为当xx0(或 x)时的无穷大记为)(lim0 xfxx(或)(limxfx)应注意的问题当 xx0(或 x)时为无穷大的函数f(x)按函数极限定义来说极限是不存在的但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大”并记作)(lim0 xfxx(或)(limxfx)讨论无穷大的精确定义如何叙述？

38、很大很大的数是否是无穷大? 提示)(lim0 xfxxm 00当0 |x0 x |时有|f(x)| m正无穷大与负无穷大)(lim)(0 xfxxx)(lim)(0 xfxxx例 2 证明11lim1xx证 因为m 0m1当 0 |x 1|时有mx|11|所以11lim1xx提示要使mxx| 1|1|11|只要mx1| 1|铅直渐近线如果)(lim0 xfxx则称直线0 xx是函数 y f(x)的图形的铅直渐近线例如直线 x 1 是函数11xy的图形的铅直渐近线定理 2 (无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中如果 f(x)为无穷大则)(1xf为无穷小反之如果 f(x)为无穷小且

39、 f(x) 0则)(1xf为无穷大简要证明如果0)(lim0 xfxx且 f(x) 0那么对于m10当 0 |x0 x |时有mxf1| )(|由于当 0 |x0 x |时f(x) 0从而mxf|)(1|所以)(1xf为 xx0时的无穷大如果)(lim0 xfxx那么对于1m0 当 0 |x0 x |时有1| )(|mxf即|)(1|xf所以为 xx 时的无穷小简要证明如果 f(x)0(xx0)且 f(x) 0则00当 0 |x x0|时有|f(x)|即所以 f(x)(xx0)如果 f(x)(xx0)则m 00 当 0 |x x0|时有|f(x)| m即所以 f(x)0(xx0) 1 6 极限

40、运算法则定理 1有限个无穷小的和也是无穷小例如当 x0 时 x 与 sin x 都是无穷小x sin x也是无穷小简要证明设及是当xx0时的两个无穷小则010 及20使当0 |x x0|1时有| |当 0 |x x0|2时有| |取min12则当 0 |x x0|时有| | | | | 2这说明也是无穷小证明考虑两个无穷小的和设及是当 xx0时的两个无穷小而任意 给 定的0因 为是当xx0时 的无 穷 小对 于20 存 在着10当0 |x x0|1时不等式| |2成立因为是当 xx0时的无穷小对于20 存在着20当 0 |x x0|2时不等式| |2成立取min12则当 0 |x x0|时|

41、|2及| |2同时成立从而 | | | | | | |22这就证时了也是当 xx0时的无穷小定理 2有界函数与无穷小的乘积是无穷小简要证明设函数u 在x0的某一去心邻域x|0 |x x0|1 内有界即m 0使当0 |x x0|1时有 |u| m又设是当xx0时的无穷小即0存在20使当0 |x x0|时有| |取min12则当 0 |x x0|时 有|u|m这说明 u也是无穷小例如当 x时x1是无穷小 arctan x 是有界函数所以x1arctan x 也是无穷小推论 1常数与无穷小的乘积是无穷小推论 2 有限个无穷小的乘积也是无穷小定理 3 如果 lim f (x) a lim g (x)

42、b那么(1) lim f (x) g(x) lim f (x) lim g (x) ab(2) lim f (x) g(x) lim f (x) lim g (x) a b(3)baxgxfxgxf)(lim)(lim)()(lim(b 0)证明 (1)因为 lim f (x) a lim g (x) b根据极限与无穷小的关系有f (x) ag (x) b其中及为无穷小于是f (x) g (x) (a ) (b ) (ab) ()即 f (x) g (x)可表示为常数 (ab)与无穷小 ()之和因此lim f (x) g (x) lim f (x) lim g (x) ab 推论 1 如果 l

43、im f (x)存在而 c 为常数则lim c f (x) c lim f (x)推论 2如果 lim f (x)存在而 n 是正整数则lim f (x)nlim f (x)n定理 4 设有数列 xn和 yn如果axnnlimbynnlim那么(1)bayxnnn)(lim(2)bayxnnn)(lim(3)当0ny(n 1 2)且 b 0 时bayxnnnlim定理 5 如果(x)(x)而 lim (x) a lim (x) b那么 a b例 1求) 12(lim1xx解11121lim21lim2lim) 12(lim1111xxxxxxx讨论若nnnnaxaxaxaxp1110)(则?)

44、(lim0 xpxx提示nxxnxxnxxnxxxxaxaxaxaxp00000lim)(lim)(lim)(lim)(lim1110nxxxxnnxxnxxaxaxaxa0000limlim)(lim)(lim1110)lim()lim(11000nnxxnxxaxaxaa0 x0na1x0n 1anp(x0)若nnnaxaxaxp)(110则)()(lim00 xpxpxx例 2求351lim232xxxx解)35(lim) 1(lim351lim2232232xxxxxxxxx3limlim5lim1limlim2222232xxxxxxxx325)lim(1)lim(2232xxxx3

45、731021223提问如下写法是否正确？35lim1lim351lim2232232xxxxxxxxx3731021223) 35(lim) 1(lim351lim2232232xxxxxxxxx37) 3102(lim) 12(lim2232xx例 3求93lim23xxx解31lim)3)(3(3lim93lim3323xxxxxxxxx61)3(lim1lim33xxx例 4求4532lim21xxxx解031241513245lim221xxxx根据无穷大与无穷小的关系得4532lim21xxxx提问如下写法是否正确？01)45(lim)32(lim4532lim21121xxxxxx

46、xxx讨论有理函数的极限?)()(lim0 xqxpxx提示当0)(0 xq时)()()()(lim000 xqxpxqxpxx当0)(0 xq且0)(0 xp时)()(lim0 xqxpxx当 q(x0) p(x0) 0 时先将分子分母的公因式(x x0)约去例 5求357243lim2323xxxxx解先用 x3去除分子及分母然后取极限73357243lim357243lim332323xxxxxxxxxx例 6求52123lim232xxxxx解先用 x3去除分子及分母然后取极限020512123lim52123lim332232xxxxxxxxxxx例 7求12352lim223xxx

47、xx解因为052123lim232xxxxx所以12352lim223xxxxx讨论有理函数的极限?lim110110mmmnnnxbxbxbaxaxa提示mnmnbamnbxbxbaxaxammmnnnx0lim00110110例 8求xxxsinlim解当 x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用因为xxxxsin1sin是无穷小与有界函数的乘积所以0sinlimxxx定理 8(复合函数的极限运算法则)设函数 y fg(x)是由函数 y f(u)与函数 u g(x)复合而成fg(x)在点 x0的某去心邻域内有定义若0)(lim0uxgxxaufuu)(lim0且在 x0

48、的某去心邻域内g(x) u 0则aufxgfuuxx)(lim)(lim00定理 8(复合函数的极限运算法则)设函数 y fg(x)是由函数 y f(u)与函数 u g(x)复合而成fg(x)在点 x0的某去心邻域内有定义若 g(x)u0(xx0)f(u)a(uu0)且在 x0的某去心邻域内g(x) u0则aufxgfuuxx)(lim)(lim00简要证明设在 x|0 |x x0|0内 g(x) u0要证00当 0 |x x0|时有 |fg(x) a|因为 f(u)a(uu0)所以00当 0 |u u0|时有|f(u) a|又 g(x)u0(xx0)所以对上述010当 0 |x x0|1时有

49、|g(x) u0|取min01则当 0 |x x0|时0|g(x) u0|从而|fg(x) a| |f(u) a|注把定理中0)(lim0uxgxx换成)(lim0 xgxx或)(limxgx而把aufuu)(lim0换成aufu)(lim可类似结果把定理中g(x)u0(xx0)换成 g(x)(xx0)或 g(x)(x)而把 f(u)a(uu0)换成 f(u)a(u)可类似结果例如例 9 求39lim23xxx解392xxy是由uy与392xxu复合而成的因为639lim23xxx所以6lim39lim623uxxux 1 7 极限存在准则两个重要极限准则 i 如果数列 xn、yn及 zn满足

50、下列条件(1)ynxnzn(n 1 2 3)(2)aynnlimaznnlim那么数列 xn的极限存在且axnnlim证明因为aynnlimaznnlim以根据数列极限的定义0n 10当 n n1时有|yna|又n 20当 n n2时有 |zna|现取 n max n 1n 2则当 n n 时有|yna|zna|同时成立即aynaazna同时成立又因 ynxnzn所以当n n 时有aynxnzna即|xna|这就证明了axnnlim简要证明由条件 (2)0n0当 n n 时有|yna|及|zna|即有aynaazna由条件 (1)有aynxnzna即|xna|这就证明了axnnlim准则 i如

51、果函数f(x)、 g(x)及 h(x)满足下列条件(1) g(x)f(x)h(x)(2) lim g(x) a lim h(x) a那么 lim f(x)存在且 lim f(x) a注 如果上述极限过程是xx0要求函数在x0的某一去心邻域内有定义上述极限过程是x要求函数当 |x| m 时有定义准则 i 及准则 i称为夹逼准则下面根据准则i 证明第一个 重要极限1sinlim0 xxx证明首先注意到函数xxsin对于一切x0 都有定义参看附图图中的圆为单位圆 bcoa daoa圆心角aob x (0 x2)显然sin x cb xab tan x ad因为saobs扇形aobsaod 所以21s

52、in x21x21tan x即sin x x tan x不等号各边都除以sin x就有xxxcos1sin1或1sincosxxx注意此不等式当2x 0 时也成立而1coslim0 xx根据准则 i1sinlim0 xxxo c a d b 1 x简要证明参看附图设圆心角aob x (20 x)显然bcabad因此sin xx tan x从而1sincosxxx(此不等式当x 0 时也成立 )因为1coslim0 xx根据准则i1sinlim0 xxx应注意的问题在极限)()(sinlimxx中只要(x)是无穷小就有1)()(sinlimxx这是因为令 u(x)则 u0于是)()(sinlim

53、xx1sinlim0uuu1sinlim0 xxx1)()(sinlimxx( (x)0)例 1求xxxtanlim0解xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim01cos1limsinlim00 xxxxx例 2求20cos1limxxx解20cos1limxxx220220)2(2sinlim212sin2limxxxxxx2112122sinlim21220 xxx2112122sinlim21220 xxx准则 ii单调有界数列必有极限如果数列 xn 满足条件x 1x 2x 3xnxn 1就称数列 xn是单调增加的如果数列 xn满足条件x 1x 2x 3xnxn 1就称数列 x

54、n是单调减少的单调增加和单调减少数列统称为单调数列如果数列 xn 满足条件xnxn 1n n在第三节中曾证明收敛的数列一定有界但那时也曾指出有界的数列不一定收敛现在准则ii 表明如果数列不仅有界并且是单调的那么这数列的极限必定存在也就是这数列一定收敛准则 ii 的几何解释单调增加数列的点只可能向右一个方向移动或者无限向右移动或者无限趋近于某一定点a而对有界数列只可能后者情况发生根据准则ii可以证明极限nnn)11 (lim存在设nnnx)11 (现证明数列 xn是单调有界的按牛顿二项公式有nnnnnnnnnnnnnnnnnnnx1!) 1() 1(1! 3) 2)(1(1! 2) 1(1! 1

55、1)11 (32)11()21)(11(!1)21)(11 (! 31)11(! 2111nnnnnnnn)111 ()121)(111 (!1)121)(111 (! 31)111 (! 21111nnnnnnnnxn)11()121)(111()!1(1nnnnn比较 xnxn 1的展开式可以看出除前两项外xn的每一项都小于xn 1的对应项并且 xn 1还多了最后一项其值大于 0因此xnxn 1这就是说数列xn 是单调有界的这个数列同时还是有界的因为 xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1 代替得3213211211121212111!1! 31! 2111112nnnnnx根据准则ii

56、数列 xn必有极限这个极限我们用e 来表示即ennn)11 (lim我们还可以证明exxx)11 (lime 是个无理数它的值是e 2 718281828459045指数函数y ex以及对数函数y ln x 中的底 e 就是这个常数在极限)(1)(1limxx中只要(x)是无穷小就有exx)(1)(1lim这是因为令)(1xu则 u于是)(1)(1limxxeuuu)11 (limexxx)11 (limexx)(1)(1lim( (x)0)例 3求xxx)11(lim解令 tx则 x时 t于是xxx)11 (limttt)11 (limettt1)11 (1lim或) 1()11 (lim)

57、11(limxxxxxx11)11(limexxx 1 8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量设变量 u从它的一个初值u1变到终值 u2终值与初值的差u2u1就叫做变量u 的增量记作u即uu2u1设函数y f(x)在点 x0的某一个邻域内是有定义的当自变量x 在这邻域内从x0变到x0 x 时函数 y 相应地从f(x0)变到 f(x0 x)因此函数y 的对应增量为y f(x0 x) f(x0)函数连续的定义设函数 y f(x)在点 x0的某一个邻域内有定义如果当自变量的增量xx x0趋于零时对应的函数的增量y f(x0 x) f(x0)也趋于零即0lim0yx或)()(lim00 x

58、fxfxx那么就称函数y f(x)在点 x0处连续注0)()(limlim0000 xfxxfyxx设 x x0+ x则当x0 时 xx0因此0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx函数连续的等价定义2 设函数 y f(x)在点 x0的某一个邻域内有定义如果对于任意给定义的正数总存在着正数使得对于适合不等式|x x0|的一切 x对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) f(x0)|那么就称函数y f(x)在点 x0处连续左右连续性如果)()(lim00 xfxfxx则称 y f(x)在点0 x 处左连续如果)()(lim00 xfxfxx则称 y f(

59、x)在点0 x 处右连续左右连续与连续的关系函数 y f(x)在点 x0处连续函数 y f(x)在点 x0处左连续且右连续函数在区间上的连续性在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续连续函数举例1如果 f(x)是多项式函数则函数 f(x)在区间 ()内是连续的这是因为f(x)在()内任意一点x0处有定义且)()(lim00 xpxpxx2函数xxf)(在区间 0)内是连续的3函数 y sin x 在区间 ()内是连续的证明设 x 为区间 ()内任意一点则有y sin(xx) sin x)2co

60、s(2sin2xxx因为当x0 时y 是无穷小与有界函数的乘积所以0lim0yx这就证明了函数y sin x 在区间 ()内任意一点x 都是连续的4函数 y cos x 在区间 ()内是连续的二、函数的间断点间断定义设函数f(x)在点 x0的某去心邻域内有定义在此前提下如果函数f(x)有下列三种情形之一(1)在 x0没有定义(2)虽然在 x0有定义但0limxxf(x)不存在(3)虽然在 x0有定义且0limxxf(x)存在但0limxxf(x) f(x0)则函数 f(x)在点 x0为不连续而点 x0称为函数f(x)的不连续点或间断点例 1正切函数y tan x 在2x处没有定义所以点2x是函