陕西省2020年高考理科数学质量检测试题及答案

1、1 陕西省 2020 年高考理科数学质量检测试题及答案（满分 150 分，考试时间120 分钟）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1. 设集合2|20ax xx，2|log0bxx，则aba. ( 1,2)b. (0,1)c. (,2)d. ( 1,1)2. 设11izi，z是 z的共轭复数，则z za. -1 b. ic. 1 d. 4 3. 已知向量2,1mx，,2nx，命题1:2p x， 命题:q0,使得mn成立，则命题p是命题q的a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件 d. 非充分非必要条件4.

2、 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为a. 3 b. 12xxc. 5d. 2 5. 已知随机变量服从正态分布(0,1)n，如果(1)0.8413p，则( 10)pa. 0.3413b. 0.6826c. 0.1587d. 0.07946. 已知点2 5,3 10a在双曲线2221010 xybb上，则该双曲线的离心率为a. 103b. 102 c. 10 d. 2 102 7. 若函数( )3sincos(0)f xxx，且( )2,()0,ff的最小值是2，则( )f x的单调递增区间是a. 52,2()66kkkzb. 22,2()33kkkzc. ,()36kkkzd.

3、 5,()1212kkkz8. 周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为 315 尺，前九个节气日影长之和为855 尺，则芒种日影长为a. 1 5 尺b. 2 5 尺c. 3 5 尺d. 4 5 尺9. 宋元时期数学名着算学启蒙 中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺， 竹长两尺， 松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为 5，2，则输出的na. 5 b. 4 c. 3 d. 2 10. 已知抛物线214yx的焦点f是

4、椭圆22221(0)yxabab的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于a、b两点，若fab是正三角形，则椭圆的离心率为a. 31b. 21c. 33 d. 2211. 已知三棱锥sabc所有顶点都在球o的球面上， 且sc平面abc，若1scabac，0120bac，则球o的表面积为3 a52 b5 c4 d5312. 已知为偶函数，对任意，恒成立，且当时，. 设函数，则的零点的个数为a. b. c. d. 二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。）13. 在锐角三角形abc中，a，b，c分别为角a、b、c所对的边， 且32 sinaca，7c，且abc的面积为3 32，ab的

5、值为 _14. 在三棱锥sabc中，90sabsacacb，2ac，13bc，29sb，则异面直线sc与ab所成角的余弦值为_15. 52xyxy的展开式中33x y的系数为 _（用数字填写答案）. 16. 已知椭圆c：2212xy，直线l：1yx与椭圆c交于a，b两点，则过点a，b且与直线m：43x相切的圆的方程为_三、解答题（共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共60 分）17. ( 本小题满分12 分) 已知数列na满足11a,12212nnaann，数列nb满足23n

6、nban. （1）求证数列nb是等比数列；（2）求数列na的前n项和ns. 18.( 本小题满分12 分) 每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25 天左右的梅雨季节， 如图是江南某地区20092018 年 10 年间梅雨季节的降雨量（单位：）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：4 （1）假设每年的梅雨季节天气相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过 350的概率；（2）老李在该地区承包了20 亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28 万元 . 而乙品种杨梅的亩产量（/ 亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的

7、单位利润为（元 /） ，请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润（万元）的期望更大？并说明理由. 降雨量亩产量500 700 600 400 19. （本小题满分12 分）如图，在四棱锥pabcd 中， ab/cd，ab 1，cd 3，ap 2，dp 2，pad 60，ab 平面 pad ，点 m在棱 pc上(1) 求证：平面pab 平面 pcd ；(2)若直线 pa/ 平面 mbd ，求此时直线 bp 与平面 mbd 所成角的正弦值20. （本小题满分12 分）已知p为抛物线2:2(0)cypx p上一点，点p到直线30 xy的最小距离为2（1）求抛物线c的方程；（2）过点

8、（ 1，0）作两条互相垂直的直线12ll、，与抛物线c分别交于abde、 、，求四边5 形adbe的面积s的最小值21. ( 本小题满分12 分) 已知11( )lnexef xxx. （1）求函数( )f x 的极值；（2）设( )ln(1 )xg xxax e，对于任意10,)x，21,)x，总有122eg xfx成立，求实数a的取值范围 . （二）选考题（共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。）22 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系xoy 中，曲线c1的参数方程为（ 为参数）以坐标系原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建

9、立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为=2sin （ 1）写出曲线c1的极坐标方程和曲线c2的直角坐标方程；（ 2）设点 p在 c1上，点 q在 c2上，且 poq= ，求 poq的面积的最大值23 选修 45：不等式选讲 （10 分）已知函数. （1）求不等式的解集；（2）若存在实数，使得成立的的最大值为，且实数， 满足，证明：. 6 参考答案一、选择题1.a 2.c 3.a 4.a 5.a 6. c 7.b 8.b 9.b 10.c 11.b 12.c 二、填空题13. 5 14. 1717 15. 40 16. 2211639xy三、解答题17. 解： （）当1n时，11a，故16b. 当2

10、n时，1221nnaan，则12322123nnnbanann112212213nnanan，12nnbb，数列nb是首项为6，公比为2的等比数列 . （）由（）得32nnb，23nnabn3223nn，23 2222 123nnsnn2 1231312nn nn，123246nnsnn. 18. 解: （1）频率分布直方图中第四组的频率为该地区在梅雨季节的降雨量超过的概率为所以该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为（或. ）（2）据题意，总利润为元，其中. 所以随机变量（万元）的分布列如下表：27 35 31.2 22.4 0.2 0.4 0.3 0.1 故总利润（万元）的期

11、望（万元）7 因为，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大19. 解： （）因为ab 平面 pad ，所以 ab dp ，又因为， ap=2 ，pad=60 ，由，可得，所以 pda=30 ，所以 apd=90 ，即dp ap ，因为，所以 dp 平面 pab ，因为，所以平面pab 平面 pcd （）由ab 平面 pad 以点 a为坐标原点，ad所在的直线为y 轴， ab所在的直线为z 轴，如图所示建立空间直角坐标系. 其中，. 从而，设，从而得，设平面 mbd 的法向量为，8 若直线 pa/ 平面 mbd ，满足，即，得，取，且，直线 bp与平面 mbd 所成角的正弦值等于

12、：. 20 解： （ 1）设200(,)2ypyp，则点p到直线30 xy的距离200322yypd若0，则min0d不合题意，所以0即06p所以当0yp时，min3222pd，解得2p即抛物线c的方程为24yx；（2）因为抛物线c的方程为24yx，所以（ 1，0）是焦点设1l交抛物线c于1122(,),(,)a xyb xy，2l交抛物线c于3344(,),(,)d xye xy由题意1l的斜率k存在且不为0，设1l的方程为(1)yk x，由22221222(1)4(24)024yk xk xkxkxxyxk则12244abxxpk，同理得23444dexxpk故22221148(4)(44

13、)81622sab dekkkk即2282 81632skk，当且仅当22881kkk即时，等号成立，所以min32s9 21. (1)221111xexeeefxxxx所以fx的极小值为：12fee，极大值为：2fee；(2) 由(1) 可知当1,x时，函数fx的最大值为2e对于任意120,1,xx，总有122eg xfx成立，等价于1g x恒成立，11xgxeax2a时，因为1xex，所以1112011xgxeaxaaxx，即g x在0,上单调递增，01g xg恒成立，符合题意. 当2a时，设11xh xeax，222111011xxxehxexx，所以gx在0,上单调递增，且020ga，则存在00,x，使得0gx所以g x在00,x上单调递减，在0,x上单调递增，又001g xg，所以1g x不恒成立，不合题意. 综合可知，所求实数a的取值范围是,2. 22. （1）曲线 c1的参数方程为（ 为参