第十四章整式乘除与因式分解导学案

1、第十四章整式的乘法与因式分解14.1.1 同底数幂的乘法班级：姓名：一、学习目标1理解同底数幂的乘法法则。2. 运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.3. 通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，?使学生理解特殊到般再到特殊的认知规律。二、重点难点重点：正确理解同底数幂的乘法法则以及适用范围难点：正确理解和应用同底数幂的乘法法则 。三、导学过程问题：1an表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么 ? 2. 25表示什么？1010101010 可以写成 _形式3思考：式子 103102的意义是什么？这个式子中的两个因式有何特点？请同学们先根据自己的理解，解答下列各题.103102 =（1

2、01010）（ 1010）= _=10（） 2322 = =_ =2（）a3a2 = = _=a（）思考：请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有什么关系？103102 = 10（） 2322 = 2（） a3 a2 =a（）猜想：am an= (m、n 都是正整数 ) 4分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确. 同底数幂的乘法性质：am an = am+n (m 、n 都是正整数 ) 同底数幂相乘 ， 底数，指数。运算形式： （同底、乘法）运算方法：（底不变、指加法）想一想：当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也具有这一性质呢？怎样用公式表示？am an ap= （m、n、p 都是正整数）四

3、、学以致用1d、计算：（1）x7 x3（2）a a8 2d 、计算（3）2 22 24 （4）xm+2 x3m 3d 、计算：（1）32)()aa（2）25)()abab（3）35)bb（4d 、计算：（1）23)()abba（2）35101010（ 3）355 103 105d、下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？（1）b5 b5= 2b5（）（2）b5 + b5 = b10（）（3）x5 x5 = x25( ) （4）y5 y5 = 2y10( ) （5）c c3 = c3 ( ) （6）m + m3 = m4 ( ) 6d、填空：（1）x5 （）=x 8（2）a （）=a6（3）x x

4、3（）= x7（4）xm （）3m7d、填空：（1） 8 = 2x，则 x = ；（2） 8 4 = 2x，则 x = ；（3） 3279 = 3x，则 x = . 8d、计算（1）35(3)3(3)2( 2) a(a)4(a)3(3 ) xp(x)2p(x)2p+1 (p 为正整数 ) （4）32（ 2）2n( 2) （n 为正整数）9c、am an = am+n (m、n 都是正整数 ) 反过来得10c、若3ma，5na，求m na的值。11b、已知23a，25b，230c，求, ,a b c之间的关系。14.1.2 幂的乘方班级：姓名：一、学习目标1经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的

5、过程；2进一步体会幂的意义，培养推理能力和有条理的表达能力；3了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 二、重点难点重点：会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。难点：幂的乘方的运算的法则。三、导学过程1回顾同底数幂的乘法am an=am+n（m、n 都是正整数）2自主探索，感知新知64表示_个_ 相乘. (62)4表示_个_ 相乘. a3表示_个_ 相乘. (a2)3表示_个_ 相乘. 3推广形式，得到结论（am）n表示_个_相乘 =_ _ =_ 即 （am）n= _(其中 m 、n 都是正整数 ) 4通过上面的探索活动 , 发现了什么 ?幂的乘方 ,底数 _, 指数

6、_. 四、学以致用d、计算： （1） 、 （102）7（2） 、（32）34 （3） 、（6）34（4） 、 （x2）52d、计算： （5） 、（ a2）7（6） 、（ as）3（7） 、 （x3）4x2（8） 、2（x2）n（xn）23d、判断题，错误的予以改正。（1）a5+a5=2a10 （）（2） （s3）3=x6 （）（3） （3）2 （3）4=（3）6=36 （）（4）x3+y3=（x+y）3（）4d、填空：若（ x2）m=x8，则 m=_ 5d、填空：若 （x3）m2=x12，则 m=_ 6b、计算5（p3）4 （p2）3+2（p）24 （p5）27b、计算（1）m2n+1m-1+

7、02002（1）1990 8c、若 xm x2m=2，求 x9m的值。9c、若 a2n=3，求（ a3n）4的值。10b、已知 am=2,an=3,求 a2m+3n的值. 11a、已知 a=255，b=344，c=533，d=622，那么 a,b,c,d从小到大的顺序是（）a.abcd b.abdc c.bacd d.adbc 14.1.3 积的乘方班级：姓名：一、学习目标1经历探索积的乘方的运发展推理能力和有条理的表达能力；2学习积的乘方的运算法则，提高解决问题的能力；3进一步体会幂的意义理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题二、重点难点重点：积的乘方运算法则及其应用难点：幂的运算法则的灵

8、活运用。三、导学过程1同底数幂的乘法：。2幂的乘方：。创设情境，引入新课1问题：已知一个正方体的棱长为2103cm ，?你能计算出它的体积是多少吗？提问：体积应是 v=（2103）3cm3 ，结果是幂的乘方形式吗？底数是2 和 103的乘积，虽然 103是幂，但总体来看，它是积的乘方。积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？?有前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥秒【课堂探究 】1填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？（1） （ab）2=（ab） （ab）=（a a） （b b）=a( )b( ) （2） （ab）3=_=_=a( )b( ) （3）

9、（ab）n=_=_=a( )b( )（n 是正整数）2分析过程：（1） （ab）2 =（ab） （ab）= （a a） （b b）= a2b2，（2） （ab）3=（ab） （ab） （ab）=（a a a） （b b b）=a3b3；（3） （ab）n=() ()()abababn个ab=()a aan个a()b bbn个b=anbn 3得到结论：积的乘方：（ab）n= （n 是正整数）把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积4积的乘方法则可以进行逆运算即：an bn=（ab）n（n 为正整数）an bn=()a aan个a()b bbn个b 幂的意义=()

10、()()a ba ba bn个(ab) 乘法交换律、结合律（a b）n 乘方的意义同指数幂相乘，底数，指数四、学以致用1d、计算下列各题：（1）666(_)(_)(ab（2）_(_)(_)2(333m（3）_(_)(_)(_)52(2222pq（4）_(_)(_)(5552yx2d、计算下列各题：（1）_)(3ab（2）_)(5xy（3）_)43(2ab（4）_)23(32ba（5）_)102(22（6）_)102(323d、计算下列各题：（1）223)21(zxy（2）3)32(mnba（3）nba)4(32（4）2242)(32abba4c、计算下列各题：（1）32332)(3)2(bab

11、a（2）222)2()3()2(xxx（3）232324)3()(9nmnm（4）422432)(3)3(aabba5b、计算：21) 1(5.0220031001006b、已知32m，42n求nm 232的值14.1.4 整式乘法单项式乘以单项式班级：姓名：一、学习目标1探索并了解单项式与单项式相乘的法则，并运用它们进行运算2让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力二、重点难点重点：单项式与单项式相乘的法则和计算。难点：灵活运用单项式与单项式相乘的法则解决一些简单的实际问题。三、导学过程（一）知识回顾：1下列整式中哪些

12、是单项式？哪些是多项式？如果是单项式，请说出它的系数；如果是多项式，请说出它的各项。22xxyy，a， 2 r ，21x，-6（二）创设情境，引入新课1问题：光的速度约为 3105千米/ 秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗? 21-3x y325xby2问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5 bc2，如何计算？试一试。3类似地，请你试着计算：(1)2352xx；(2) 25324) ( 3)a xa bx（三）交流与讨论，得到新知怎样计算单项式与单项式相乘？四、学以致用1d 、 计算：(1)233( 2)x yxy； (2) 232

13、-5a) ( 4)bb c（；2d 、 计算：（1）836 10 )(810 )（; (2)2232( 2) ( 3)xyx yx y3d 、 计算：（1）2223311-)()(12)23ab cabca b（2） 、4c、判断正误（如果不对应如何改正) (1)4a3 2a2=8a6 ( ) (2)2x4 3x4=5x8 ( )(3)-6x2 3xy=18x3y ( )(4)(-2ab2)(-3abc)=-6a2b3 ( )5d、计算：（1）263xxy；（2）22( 3)abab；231( 8) ()2xyx6a、先化简，求值：32233222-10)()(2)()a b cbcabca

14、b c（，其中5,0.2,2abc14.1.4 整式乘法单项式乘以多项式班级：姓名：一、学习目标1探索并了解单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算2让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力二、重点难点重点：单项式与多项式相乘的法则和计算。难点：灵活运用单项式与多项式相乘的法则解决一些简单的实际问题。三、导学过程（一）知识回顾：单项式乘以单项式的运算法则（二）创设情境，引入新课1问题：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品， 它们在一个月内的销售量(单位：瓶)，分别是 a,b,c 。你能用不同方法计算它

15、们在这个月内销售这种商品的总收入吗？3. 分析：得到结果：一种方法是先求三家连锁店的总销售量，再求总收入，即总收入为： _ 另一种方法是先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和即总收入为： _ 所以： m(a+b+c)= ma+mb+mc 3提出问题：根据上式总结出单项式与多项式相乘的方法吗？（三）交流与讨论，得到新知怎样计算单项式与单项式相乘？单项式与多项式相乘 ：就是用去乘的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)= 。四、学以致用1d、计算：（1）ababab21)232(2?（2） (-4x2) (3x+1); 2c 、若(-5 am+1b2n-1)(2anbm)=-1 0a4b4

16、，则 m-n的值为 _。3c、计算：(1)、(a3b)2(a2b)3（2） 、 ( 3a2b)3+(-2ab)(-4a3b) 4b、 计算：（1） 、)34232()25- (2yxyxyxy ?（2） 、)227(6)5)(3-(2222yxyxyxxy5b、已知,3,2 ba求)232()(32222aabaabababbaab的值6a、解不等式：12)23()1(222xxxxxx14.1.4 整式乘法多项式乘以多项式班级：姓名：一、学习目标1探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算2让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和

17、初步解决问题的愿望与能力。二、重点难点重点：多项式与多项式相乘的法则和计算。难点：灵活运用多项式与多项式相乘的法则解决一些简单的实际问题。三、导学过程（一）知识回顾：单项式乘以单项式和单项式乘以多项式的运算法则（二）创设情境，引入新课1问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a 米，宽 m米的长方形绿地增长b 米，加宽 n 米，求扩地以后的面积是多少？2. 提问：用几种方法表示扩大后绿地的面积?不同的表示方法之间有什么关系? 3学生分析4得出结果：方法一：这块花园现在长 (a+b) 米，宽 (m+n)米，因而面积为方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：米2、米2、米2、米2

18、，故这块绿地的面积为米2(a+b)(m+n) 和(am+an+bm+bn) 表示同一块绿地的面积，所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn三）交流与讨论，得到新知1. 引导观察：等式的左边(a+b)(m+n) 是两个多项式 (a+b) 与(m+n)相乘 ，把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式 (a+b) 与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做2学生动手：3. 过程分析： (a+b)(m+n) =a(m+n)+b(m+n) -单多=am+an+bm+bn -单多4. 得到结论：多项式与多项式相乘 ：【课堂探究 】1d、计算：

19、（1）)32)(2(22yxyxyx（2）)65)(52(2xxx2c 、化简求值：)32)(12()1)(1(3)3)(2(xxxxxx，其中 x=543d 、一块长 m米，宽 n 米的玻璃，长宽各裁掉 a 米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小 ) ，问台面面积是多少 ? 4c 、已知 x2-2x=2，将下式化简，再求值(x-1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1) 5b、 计算： (x+2y-1)26a、求证：对于任意自然数n，)2)(3()5(nnnn的值都能被 6 整除14.1.5 同底数幂的除法班级：姓名：一、学习目标1、理解并掌握同底数幂除法的运算性质2、能熟

20、练运用这一性质进行计算或解决一些实际问题。3、培养学生观察解决问题的能力二、重点难点重点：公式的实际应用。难点：a01 中 a0 的规定。三、导学过程1、计算：24aa_,12mmaa_ 2、由358101010知83( )1010103、由63aa_知96()aaa【课堂探究】1、思考：一种数码照片的文件大小是82 k，一个存储量为62 m（1m=102 k）的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？列式为_ 这是一个什么运算？如何计算呢？2、根据除法的意义填空，看下列计算结果有什么规律。（1）53( )555（2）75()101010从上述运算中我发现：mnaa_( 0am、n 都是正整数，

21、并且mn) 3、先根据除法的意义计算，再利用mnm naaa计算，你发现了什么规律？3333( )331010( )( )mmaa从上述运算中我们发现：()01,mmmmn maaaaaa而，所以01,(0)aa归纳：同底数幂的除法法则：一般的，我们有：(0,mnm naaaamnmn且、 都是正整）即：同底数幂相除，底数 _，指数 _ 根据同底数幂的除法法则，上述思考题的计算结果为16822_ 四、学以致用1d、计算： （1）4aa（2）62()()abab2d、计算：(1)、11464（2） 、5()()mnnm3c、计算：（1） 、112()nnnxxx=_ （2） 、7()()()ab

22、baab4c、填空 : (1)若0(1)1x，则 x 的取值范围是 _ (2) 若2331x，则2x_ (3) 0( 4893)5b、已知：,mnxa xb求23mnx6d、计算(1)5466_; 63()()xx_ (2) 4211()()33；53()()abab14.1.6整式除法班级：姓名：一、学习目标1、理解单项式除以单项式的意义和法则，会进行单项式与单项式的除法与运算；2、理解多项式除以单项式的意义和法则，会进行多项式除以单项式的除法运算；3、进一步体会运算中的转化、互逆和整体的思想。二、重点难点重点：运用法则计算单项式除法。难点：法则的探索。三、导学过程1、计算： （1）2223

23、xyx y_; 2()m abc_ 2、一个长方形面积为（ am+bm）,宽为 m，则长为 _【课堂探究】（1） 、因为233234312a bxaba b x，所以32312a b x3ab_ (2 )、你能利用（ 1）中的方法计算下列各式吗？382aa363x yxy3232123a b xab（3） 、观察（ 2）中几个式子的运算，它们有哪些共同特征？你能用语言描述单项式除以单项式的运算法则吗？单项式相除，把 _与_ 分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 _作为商的一个因式。（4） 、计算，说说你是怎样算的：()ambmm_ 2()aaba_ 22(42)2x

24、yxyxy_ 总结：多项式除以单项式：先把这个多项式的_除以这个单项式，再把所得的商_ 四、学以致用1d、计算（1）423328x yx_ (2)534412a ba b_ 2c、计算（1） 、522245(21287)( 7)x yx yx yxy（2） 、32222(0.4)(0.2)x yx y3a、已知：311nm能被 10 整除，求证：42311nm也能被 10整除。4d、计算：（1） 、63328aa（2） 、342520 x y zxy5c、计算：（1） 、32(241648 )4xxxx（2） 、54222311()()4312a ba ba b6b、计算：（1） 、2()()

25、()2xyxyxyx（2） 、3342( 2 )(612)3xxxx14.2.1 乘法公式平方差公式班级：姓名：一、学习目标1经历探索平方差公式的过程2会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算，培养学生观察、归纳、概括的能力3在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美二、重点难点重点：平方差公式的推导和应用难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式。三、导学过程1. 计算下列多项式的积（1） （x+1） （x-1 ）= （2） （m+2 ） （m-2）= （3） （2x+1） （2x-1 ）= （4） （x+5y） （x-5y ）= 2提出问题：（1）观察上述算式，

26、你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？(2)猜想：()()abab。（3）你能验证你的猜想是正确的么？四、学以致用1d 、计算：运用平方差公式计算：（1） （5x+3） （5x-3）（2） （b+2a） （2a-b）（3） （-x+y ） （-x-y ）2d 、计算：（1）10397 （2） （y+2） （y-2 ）- （y-1 ） （y+1）3d、下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？能用的请写出结果)32)(32(baba)32)(32(baba)32)(32(baba)32)(32(baba)(cbacba)(cbacba4d 、计算：（1） （a+b） （-b+a） ；（2）

27、（-a-b ） （a-b）（3） （3a+2b） （3a-2b）（4） （a5-b2） （a5+b2）5c 、计算：（1） （a+2b+2c） （a+2b-2c）（2） （a-b） （a+b） （a2+b2）6a、如果(221)(221)63abab，求 ab 的值。14.2.2 乘法公式完全平方公式班级：姓名：一、学习目标1完全平方公式的推导及其应用。2. 完全平方公式的几何解释，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力. 3. 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力4添括号法则，利用添括号法则灵活应用完全平方公式二、重点难点重点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，理

28、解添括号法则.难点：完全平方公式的灵活应用。三、导学过程1、计算下列各式，你能发现什么规律？（1）21)(1)(1)ppp（_ ； （3）2-1)(-1)( -1)ppp（_ ；（2）22)m（_ ；（4）2-2)m（=_ ；【自主梳理 】(a+b)2=a2+2ab+b2 1、完全平方公式2、用语言表述完全平方公式：。3、你能根据图（ 1）和图（ 2）中的面积说明完全平方公式吗？3、去括号：)abc（；()abc；反过来，添括号得：abca （）()abca4、总结添括号法则：四、学以致用1d、运用完全平方公式计算：（1）2)4(yx（2）222)43(cabba2d、运用完全平方公式计算：（

29、4）2)1(xx（5）2)1(xx3c 、若 9x2kxy4y2是一个完全平方式，则k 的值是 _。4b、化简求值： (2a3b)2(3b2a)2，其中 a14，b3 5d、在等号右边的括号内填上适当的项：（1）a+b-c=a+（）（2）a-b+c=a- （）（3）a-b-c=a- （）（4）a+b+c=a-（）6c、计算：（1）2)2(cba（2）22)()(cbacba14.3.1 因式分解（第一课时）班级：姓名：一、学习目标1、了解因式分解的意义，了解因式分解和整式乘法的相互联系；2、会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式，会利用因式分解进行简便计算。3、培养学生运算中运算

30、规律相互转化以及运算处理问题能力二、重点难点重点： 用提公因式法分解因式。难点： 公因式的确定。三、导学过程1、请同学们完成下列计算，看谁算的又快准。(1)220( 3)60( 3)(2)2210199(3) 22572574343(4) (1)(1)xx【课堂探究 】1、 把下列各式改写成因式乘积的形式（1）2xx（2）21x= 2、想一想什么叫因式分解3、因式分解与整式乘除有什么区别和联系？探究 2： （1） 、把多项式 mambmc分解因式（说出你的想法）（2） 、什么是多项式各项的公因式？什么叫提公因式法？（3） 、练习：找出下列各组多项式的公因式23412aba bc与2225()1

31、5xyz 与 （x+y）z2393(m-n) 与（n-m)四、学以致用1d、下列代数式变形中，哪些是因式分解，哪些不是？为什么？231(3)1xxx x22()22m mnmmn()()()()()()mn abmn xymn abxy22441(21)xxx2363 (2)aaa a2b、求证：201120102009343103能被 7 整除3c、已知226xyyxy，xy=-3 则x_ 4d、因式分解：2()3()xyxy_ 5c、简便运算：（1）22200920092010（2）2009200820072526220106b、因式分解：（1）222(1)()aaa（2）2112188n

32、nnaaa14.4.2 因式分解（第二课时）班级：姓名：一、学习目标1、理解应用平方差公式进行因式分解的意义，能正确应用平方差公式进行因式分解2、能正确运用提公因式法和平方差公式进行较复杂的因式分解3、培养学生综合运用知识的能力二、重点难点重点： 把符合公式形式的多项式写成平方差的形式，并分解因式。难点： （1）确定多项式中的a、b;（2）分解彻底 ; 三、导学过程1、计算：()()xyxy()()baab= ()()xyzxyz= 2、因式分解：32232718ax ybcx y23()27()xyxy3、用符号表示整式乘法中的平方差公式：_ 【课堂探究】1、试着将多项式24x与多项式225

33、y因式分解2、上述两个多项式有什么特点，向同伴交流3、把乘法的平方差公式22()()ab abab反过来，你得到了什么？4、分解因式的基本步骤以及注意的事项：四、学以致用1d、分解因式：（1）32aab（2）33416m nn m2d、分解因式：（1）22()()abab（2）222()4()xxyyx3c、计算：22181814、已知20ab，15ab，则22ab5、分解因式：（1）3()abab（2）2(2)(4)4xxx6、分解因式：（1）2acbcaab（2）3223xx yxyy14.4.3因式分解（第三课时 ）班级：姓名：一、学习目标1、理解应用完全平方公式进行因式分解的意义，能正确运用完全平方公式进行因式分解：2、能正解运用平方差公式和完全平方公式进行较复杂的因式分解，培养学生综合运用知识的能力二、重点难点重点：把多项式写成符合完全平方公式的形式，并分解因式。难点： （1）辨认多项式中的“ a”与“ b” ； （2）分解到底。三、