超详细二项式展开式性质实用教案

1、对于对于(duy)(duy)（a+ba+b）n =n =的展开式有哪些项？的展开式有哪些项？()()()nab abab 个个(a+b)n = an+ an-1b+ an-2b2+ an-rbr+ bn0nC1nC2nCrnCnnC二项式定理二项式定理(dngl)右边右边(yu bian)的多项式叫做的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式的二项展开式,它一共有它一共有 n+1 项项.其中各项系数其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, , n)叫做二项式系数二项式系数式中的项式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的叫做二项展开式的通项通项,是第是第r+1 项项,记作记作 Tr+1

2、即即 Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n)称为称为二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式 (1)展开式展开式各项中各项中a、 b的指数及各项系数的递变规律的指数及各项系数的递变规律.但指数和为但指数和为n (2)通项公式通项公式中中a、 b的指数及其系数和所在项数之间的关系的指数及其系数和所在项数之间的关系.试一试：试一试：写出写出 (1+x)n 的展开式及其通项公式。的展开式及其通项公式。第1页/共12页第一页，共13页。011()nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b 总结总结(zngji)1.二项式系数(xsh)规律：012nnnnn

3、CCCC 、 、2.指数(zhsh)规律：（1）各项的次数均为n；（2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n.3.项数规律：两项和的n次幂的展开式共有n+1个项定理特征定理特征二项式定理：二项式定理：4.通项公式：Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n)*()nN ()nab 右边的多项式叫做的右边的多项式叫做的 展开式展开式第2页/共12页第二页，共13页。解解: :412233444444111111)1()()()()CCCCxxxxx （23446411.xxxx 第三项的二项式系数为第三项的二项式系数为2615C ，第三项的系数，第三

4、项的系数(xsh)为为240.rnC项的系数：该项所有项的系数：该项所有(suyu)(suyu)常数因子的积常数因子的积. .二项式系数二项式系数(xsh)(xsh)：xxxxxCTT24012256)1()2(242426123 的展开式的展开式例：求（例：求（4)x项的系数项的系数及第及第项的二式系项数项的二式系项数展开式中第展开式中第例：例：33)12(6xx 第3页/共12页第三页，共13页。例： 的展开式常数项 93()3xx1999219931( )()( )333rrrrrrrrrxTCCxx 06.rr1由9-r-得269 66791( )322683TC解解:通项公式(gng

5、sh)：Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, , n)的的项项展展开开式式中中含含变变式式：求求（392)1xxx 第4页/共12页第四页，共13页。练习练习(linx)：1 1、求 的展开式的中间两项 93()3xx解解:展开式共有展开式共有(n yu)10项项,中间两项是第中间两项是第5、6项。项。49 44354 193( )()423xTTCxx359 55265 193( )()423xTTCxxnxx)2. 22 已知（已知（的展开式中，第项的二项式系数(xsh)与第项的二项式系数(xsh)之比是：，求展开式中的第项第5页/共12页第五页，共13页。因此，当因此

6、，当n n为偶数为偶数(u sh)(u sh)时，中间一项的二项式系数时，中间一项的二项式系数2Cnn取得取得(qd)(qd)最大值；最大值；当当n为奇数为奇数(j sh)时，中间两项的二项式系数时，中间两项的二项式系数 、12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。011 1()()nnnrn rrn nnnnna bC aC abC abC b nN （1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 二项式系数二项式系数前前半部分是半部分是逐渐增大逐渐增大的，的，由对称

7、性可知它的由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。 （3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 012CCCC2nnnnnn 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1第6页/共12页第六页，共13页。解解:例：已知（例：已知（x)n展开式中展开式中x2 的系数的系数(xsh)等于等于x的系数的系数(xsh)的倍，求二项式系数的倍，求二项式系数(xsh)最大的项最大的项第7页/共12页第七页，共13页。解解:例例2：已知（：已知（x)n展开式中二项式系数展开式中二项式系数(xsh)和和及所有项的系数及所有项的系数(xsh)

8、之和之和变式：已知变式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6， 求求 ( 1 )奇次项的二项式系数奇次项的二项式系数(xsh)之和之和（2）a0+a1+a2+a3a4+a5a6的值的值（3）a1+a2+a3a4+a5a6第8页/共12页第八页，共13页。因此，当因此，当n n为偶数为偶数(u sh)(u sh)时，中间一项的二项式系数时，中间一项的二项式系数2Cnn取得取得(qd)(qd)最大值；最大值；当当n为奇数时，中间为奇数时，中间(zhngjin)两项的二项式系数两项的二项式系数 、12Cnn 12Cnn 相等，且同时取得最大值。相等，且同时取

9、得最大值。011 1()()nnnrn rrn nnnnna bC aC abC abC b nN （1 1）对称性）对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等（2 2）增减性与最大值）增减性与最大值 二项式系数二项式系数前前半部分是半部分是逐渐增大逐渐增大的，的，由对称性可知它的由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。 （3 3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 012CCCC2nnnnnn 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1第9页/共12页第九页，共13页。特值思想特值

10、思想(sxing)(sxing)、不可忽视不可忽视二项式定理对任意的数二项式定理对任意的数a、b都成都成立，当然立，当然(dngrn)对特殊的对特殊的a、b也成立！也成立！010101(1);(1 1);(1)( 1)( 1);nrrnnnnnnnrnnnnnnrrrnnnnnnnxCC xC xC xCCCCxCC xC xC x 第10页/共12页第十页，共13页。 考察(koch)在 n=1, 2, 3, 4 时，(a+b) n 的展开式的系数规律. (a+b)1= , (a+b)2= , (a+b)3= , (a+b)4= .a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3我国古

11、代我国古代(gdi)(gdi)优秀成果优秀成果介绍：介绍：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 列出上述列出上述(shngsh)(shngsh)各展开式的系数：各展开式的系数： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 规律规律: (1)表中每行两端都是表中每行两端都是1 (2)其它各数都是它肩上两数的和其它各数都是它肩上两数的和.1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11杨辉三角形试一试试一试：你能根据杨辉三角形：你能根据杨辉三角形写出写出(a+b)5的展开式吗？的展开式吗？a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5(a+b) 5=第11页/共12页第十一页，共13页。感谢您的观看(gunkn)！第12页/共12页第十二页，共13页。NoImage内容(nirng)总结对于（a+b）n =。(1)展开式各项中a、 b的指数及各项系数的递变(d bin)规