《高中试卷》2018-2019学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（理科）

1、2018-2019学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知集合，集合，则abcd2（5分）有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个卖出热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为，如果某天气温为，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是a140b143c152d1563（5分）已知为虚数单位，复数满足，则复数等于abcd4（5分）等差数列的前项和为，若，则等于a52b54c56d585（5分）“直线，不相交”是“直线，为异面直线”的a充分不必

2、要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件6（5分）执行如图的程序框图，若输出的结果为10，则判断框中的条件是abcd7（5分）非零向量，满足；，则与夹角的大小为abcd8（5分）一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图，其中一部分几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是a8bcd9（5分）如图，在圆心角为直角的扇形区域中，、分别为、的中点，在、两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以、为直径的圆，在扇形内随机取一点，则此点无信号的概率是abcd10（5分）已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范

3、围abcd11（5分）曲线的左、右焦点分别为，以为圆心，为半径作，若点关于直线的对称点落在上，则该双曲线的离心率为a3bc2d12（5分）长方体中，是的中点，设过点、的平面与平面的交线为，则直线与直线所成角的正切值为a1b2c3d4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13（5分）若变量、满足约束条件，则的取值范围是14（5分）要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到、四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到班，则共有分配方案的种数为15（5分）已知函数，则的解集为16（5分）已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，则三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4、17（10分）已知等差数列的前项和为，且，（1）求与；（2）设数列满足，求的前项和18（12分）已知函数（1）若的三个内角、的对边分别为、，锐角满足，求锐角的大小（2）在（1）的条件下，若的外接圆半径为1，求的面积的最大值19（12分）如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，（1）证明：；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值20（12分）每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续25天左右的梅雨季节，如图是江南某地区年10年间梅雨季节的降雨量（单位：的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，解答下列问题：（1）假设每年的梅雨季节天气相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节

5、的降雨量超过的概率（2）老李在该地区承包了20亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为28万元而乙品种杨梅的亩产量亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨梅的单位利润为（元，请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总利润（万元）的期望更大？并说明理由降雨量，亩产量50070060040021（12分）椭圆的离心率是，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在异于点的定点，使得直线变化时，总有？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由22（12分）已知函数，是常数且（1）若曲线在处的切线

6、经过点，求的值；（2）若是自然对数的底数），试证明：函数有两个零点，函数的两个零点，满足2018-2019学年江西省宜春市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【解答】解：，或；故选：【解答】解：热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为，某天气温为时，即，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数故选：【解答】解：由，即，得，故选：【解答】解：等差数列中，解得，故选：【解答】解：“直线、不相交”时，“直线、为异面直线或平行直线”，故“直线、不相交”是“直线、为异面直线或平行直线”的必要不充

7、分条件，故选：【解答】解：模拟程序的运行，可得，满足判断框内的条件，执行循环体，满足判断框内的条件，执行循环体，满足判断框内的条件，执行循环体，满足判断框内的条件，执行循环体，由题意，此时应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为10可得判断框内的条件为？故选：【解答】解：根据题意，设，则，若，即，且，则为等腰直角三角形，则与的夹角为，故选：【解答】解：根据几何体的三视图：转换为几何体为圆柱的一半，故：圆柱的外接球的半径为：，故球的表面积为：故选：故选：【解答】解：的中点是，则，半径为，两个圆的弧围成的阴影部分的面积为，图中无信号部分的面积为，无信号部分的概率是：故选：【解答】解：函数，其

8、图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则时，求得，综合可得，故选：【解答】解：的圆心为，半径为，若点关于直线的对称点落在上，设，可得，解得，由，结合，化简可得，则故选：【解答】解：延长，交延长线于点，延长，交延长线于点，连结，则是过点、的平面与平面的交线，是直线与直线所成角（或所成角的补角），设，是的中点，即，解得，直线与直线所成角的正切值为4故选：二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。【解答】解：画出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；由得，即直线的截距最大，也最大；平移直线，即直线经过点时，截距最大，此时最大，为；经过点时，截距最小，由，得，即，此时最小，为；，即的取值范围

9、是，故答案为：，【解答】解：根据题意，分2步进行分析：，先安排甲，由于甲不能分配到班，则甲可以分到、班，有3种情况，将乙、丙、丁全排列，分配到剩下的三个班级，有种情况，则一共有种分配方案；故答案为：18【解答】解：由，即当时，可得，可得：；当时，可得，显然恒成立综上可得的解集为，；故答案为：，；【解答】 解：函数的图象关于对称，直线过，所以的图象与直线直线在恰有三个公共点如图所示，且内相切，其切点为，由于，所以，即则故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【解答】解：（1）等差数列的公差设为，由，可得，解得，则；（2），则前项和【解答】解：（1），又为锐角，（2）的外接圆

10、半径为1，由正弦定理得，得，所以，即，即则三角形的面积，时取等号）故三角形面积最大值为【解答】解：（1）取的中点为，连接，为等边三角形，底面中，可得四边形为矩形，平面，平面，又，所以（6分）（2）由面面，知，平面，两两垂直，直线与平面所成角为，即，由，知，得分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，1，0，设平面的法向量为，则（8分）设平面的法向量为，则（10分），二面角的余弦值为（12分）【解答】解：（）频率分布直方图中第四组的频率为，则江南镇在梅雨季节时降雨量超过的概率为，所以镇未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超过的概率为（或；（）根据题意，总利润为（元，其中，700，600，400；所以随机变量（万元）的分布列如下图所示； 273531.222.40.20.40.30.1则总利润（万元）的数学期望为（万元），因为，所以老李来年应该种植乙品种杨梅，可使总利润的期望更大【解答】解：（1），解得，所以椭圆的方程为：；（2）当直线斜率存在时，设直线方程：，由得，设，假设存在定点符合题意，上式对任意实数恒等于零，即，当直线斜率不存在时，两点分别为椭圆的上下顶点，显然此时，综上，存在定点满足题意【解答】（1）解：切线的斜率（1）（1），即，解得；（2）证明：由，得，当时，；当时，在处取得最大值，（1），在区间有零点，在