2022年2022年初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑸

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载初一数学竞赛讲座第 5 讲 与年号有关的竞赛题在数学竞赛中, 常可以看到某些题目中显现了当年的年号,这类题我们称之为“年号题”；这类题趣味性强,时间性强,引起了参与竞赛的少年伴侣很大的 爱好；“年号题”一般可分成两类,一类为题目的条件中显现了当年的年号,另一类为题目答案中显现了当年的年号；下面我们分别举例说明这两类问题的解法；一.题目条件中显现年号的问题1题目在编制和解答中奇妙地运用了该年年号的数字特点,如年号数值的质因数分解式.为否质数.它的数的整除性等等；例 1 将 19 到 80 的两位数顺次排成数a192021227980；问：这个数a能否被 1980

2、 整除？解： 由于 1980=99×20,因此要考察a 能否被 1980 整除,只需要考察a 能否被 99 和 20 整除就行了； 能被 20 整除为明显的； 由于 99 除 100 的任何次方所得的余数都为 1,所以 a19×10061+20×10060+79× 100+80除以 99 的余数与 b=19+20+79+80=99×31 除以 99 的余数相同；由于 99|b ,所以 99|a ；于为 a 能被 1980 整除；例 2 用 s（ n）表示自然数n 的各位数字之和,又n+s（n）=1999,求自然 数 n；11x+2y89；留意到

3、 x 为奇数且 x, y 都为一位整数,不难求得x=7, y=6,从而 n=1976；例 3 在 3× 3 的九宫格中, 填上 9 个不同的自然数, 使得每行三数相乘, 每列三数相乘所得的6 个乘积都等于 p；试确定 p 能取 1996,1997, 1998 ,1999,2000,2001 这 6 个数中的哪些值；解： 所填的 9 个数应为 p 的 9 个不同约数,又p 不能填入九宫格内,故p的不同约数的个数应不小于10；1996=22×499,有 6 个约数；1997 和 1999 为质数,各有2 个约数； 1998=2×33×37,有 16 个约数；

4、2000=24×53,有 20 个约数； 2001=3×23× 29,有 8 个约数；明显 p 不能取 1996,1997,1999 和 2001；当 p=1998和 2000 时,有下图的填法（填法不唯独）,故p 可取 1998 和 2000；例 4 有 1999 块边长为 1 的正方块,求满意下述条件的有盖箱子的尺寸：（1）长.宽.高均大于1；（2）将正方块放入箱子中时,能合上盖子,并且使间隙最小；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）在保证（ 1）（ 2）的前提下,使箱子的表面积最小；解： 由于 1999 为质数且 2000=24×

5、53,故间隙最小的箱子的体积应为2000；表面积最小的箱子应为各边长相差尽量小的长方体；将2000 分解成三个尽量接近的三个数的乘积为：200010× 10×20,所以表面积最小的箱子的长.宽.高应为10,10,20； 2题目中的年号数为可以换成任意的自然数n 的,它只不过为编制时仅仅用详细的年号数来代替n；对于这种情形要善于透过表面看本质,做过后要将特别推广到一般；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5 如两个不相等的自然数的倒数的和的一半等于解： 设这两个自然数为x,y,且 xy；1,求这两个自然数；1999精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载比

6、较两式,取n=1999,有 2x=1999× 2000,2y=1999+1,于为 x=1999000,y=1000；例 6 有一张 1949×2000 的长方形方格纸,方格边长为1；问：这个长方形的一条对角线穿过多少个方格？解：由于 1949 与 2000 为互质数,故对角线在长方形内不经过任何一个格点；对角线与纵向的 1950 条线有 1950 个交点,与横向的 2001 条线有 2001 个交点；去掉重复运算的对角线两个端点,它与纵横线共有1950+2001-2=3949（个） 交点,交点间有3948 条线段,即对角线穿过3948 个小方格；例 7 有两个容器 a 和

7、b,a 中装有 1 升水,b 为空的；先将容器 a 中的水的 12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载倒入容器 b,然后将容器 b 中的水的1 倒入容器 a,再将容器 a 中的水的31 倒入4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载容器 b如此连续,这样倒了1999 次以后, a 中仍有水多少升？解： 设 an 和 bn 分别表示倒了 n 次以后 a 中和 b 中水的升数,明显an+bn=1； 列表观看如下：说明：假如求倒了2000 次以后, a 中仍剩多少水,那么可进一步运算如下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 8 从自然数列 1,2,3,4,中依次划去3

8、的倍数和 4 的倍数,保留5的倍数（例如15,20 都不划去）,将剩下的数依次写成数列a11,a2 2, a3 5, a4=7,求 a2000 ；解： 3, 4, 5 的最小公倍数为 60,在连续的 60 个自然数中, 3 的倍数有 60÷ 3=20（个）, 4 的倍数有 60÷ 4=15（个）, 12 的倍数有 60÷ 12=5（个）, 15 的倍数有 60÷15=4（个）, 20 的倍数有 60÷20=3（个）, 60 的倍数有 1 个；于为由容斥原理得到,连续60 个自然数中,按题设要求划去各数后仍剩下60- （20+15）+（ 5+4+

9、3）-1=36 （个）；2000÷36=5520；由于在 134 中可以剩下 20 个数,所以剩下的第 2000个数为 a2000=60×55+34 3334；二.题目答案中显现年号的题这类问题和一般的数学题没有什么区分,都要运用数字运算的规律和特点,借助规律推理求得问题的解决；例 9 将我家门牌号码倒置着看为一个四位数,它比原先的号码大7875,我家门牌号码为多少？解： 倒置后仍有意义的数有0,1,6,8,9；设门牌号码正着看为于为门牌号码为 1986；例 10 有一个小于 2000 的四位数,它恰好含有14 个因数,其中有一个质因数的末位数字为1,求这个四位数；解： 由

10、于 14=2×7,所以这个四位数的质因数分解式为由于 46=40962000,所以 p2 3；故 p1 的末位数为 1；如 p2=3,就 m=p1× 36 11×36 2000,舍去；故 p2=2；如 p1=11,就 m=64×11=704,不为四位数；如 p141,就 m64× 412000,与题设不符；当 p1=31 时, m=64×31=1984；这为此题的唯独解；例 11 在 20 世纪的最终 10 年中,恰有一年年号的不同约数的个数比1990的约数个数少 2,求该年号全部不同正约数的积；精品学习资料精选学习资料 - - -

11、欢迎下载解： 用 t（a）表示 a 的不同约数个数；1990=2×5×199,t（1990）=（1+1）×（ 1+1）×（ 1×1）=8；199111× 181, t（ 1991） =（ 1+1）×（ 1+1）=4；199223×3×83, t（ 1992） =（ 3+1）×（ 1+1）×（ 1×1）=16；1993 为质数, t（1993）=2；19942×997,t（1994）=（1+1）×（ 1+1）=4；19953×5×7

12、15; 9,t（ 1995）=（1+1）×（ 1+1）×（ 1+1）×（ 1+1）=16；199622× 499, t（ 1996）（ 2+1）×（ 1+1） 6；故所求年号数为 1996,其全部不同正约数之积为1×2×22×499×（ 2× 499）× 199619962；例 12 平面上有 1001 个点,假如每两点连一条线段,并把中点染成红色, 那么平面上至少有多少个红点？解： 在全部点中,找出距离最大的两点a 和 b,分别以 a,b 为圆心,以 ab的长度的一半为半径作两个圆；

13、对余下的999个点中的任一点p,由于1 ap 1 ab,所以 ap的中点在 a 内,或在圆周上；又由于余下的 999 个点为不22同的的点,它们与a 的中点也互不相同,所以在a（含圆周）中至少有999 个红点,这 999 个红点与 ab的中点不重叠；同理,在b 中也至少有 999 个红点；再加上 ab 的中点,平面上至少有2×999+1=1999（个）红色的点；练习 5；22001 个棱长为 1 厘米的正方体可以垒成多少种不同长方体？3梯形的上底.下底及两腰的长分别为1,9,8,8；这个梯形的四个角的大小分别为多少？4将四位数的数字次序重新排列后,可以得到一些新的四位数；现有一个四位

14、数 m,它比新数中的最大数小7983,比新数中的最小数大99,求这个四位 数；5有一个四位数 n,它小于 3000,且满意以下条件：（1） n中含有两个质因数3,且只含有两个质因数3；（2） n1 中含有两个质因数2,且只含有两个质因数2；（3） n和 n1 都不含质因数 5；（4） n的十位数字比个位数字小1；求这个四位数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6设 p 和 q 为自然数, 已知 pq1999 的倍数；111231132311324,判定 p 为否为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7自 1986 开头写下一串数字： 1 9 8 6 4 7 5 2 8 2

15、 7 9 6其中前四个数字后的每一个数字等于它前面四个数字之和的末位数字；问：在这一串数字中会不会显现连续四个数,恰好为1,9,9,8？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8规定一种运算“”,ab 表示两个数 a 和 b 的差（大减小）；例如：53=2, 7 10=3,66=0；已知 x1,x2,x2000,为 1,2,2000 的一个排列,求（ x1 1）+（x22）+（x2000 2000）的最大值；练习 5 答案：24 种；解： 2001=3×23× 29=1× 69×29=1×23×871×3×6

16、67；360°, 60°, 120°, 120°；解：如右图,将梯形分割成一个平行四边形和一个三角形,明显这个三角形为等边三角形,它的每个角都为 60°,从而梯形的各个角分别为60°, 60°, 120°, 120°；41998；由上式知, a=9, d=1,b-c=1；这个四位数等于这个四位数为 1998；51989；知d 5且 d 1,从而d可能为3, 7 或 9,于为c 可能等于2, 6或 8 ；a+b-1为 9 的倍数；如 a=2,就 b=8,此时 n=2889,n-1=2888 为 8 的倍数,

17、与（ 2）冲突；如 a=1,就 b=0 或 9,此时 n=1089 或 1989；当 n 1089 时, n 为 27 的倍数与（ 1）冲突；体会算,仅1989 符合题意；所以这个四位数为1989；6为；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在等式的两边同时乘以1332！ 1×2×3××1332,由于 1999 为质数, 且 13321999,故在 1332！中没有一个大于 1 的约数能整除 1999,因此只有 p 能被 1999 整除；7不会；解：将这串数按奇偶性写出来为：1986 偶奇奇偶偶偶奇奇偶简单看出,其中每连续五个数字中有两奇三偶, 而且三个偶数为连在一起的,故在这一串数字中不会显现连续四个数,恰好为1,9,9,8；82000000；解：每一个（ xnn）变成一般减法后为将xn 和 n 中较大的一个减较小的一个,故在 x