中国石油大学华东线性代数5-7教辅资料

1、一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩实际上，当我们限定所用的变换为实变换实际上，当我们限定所用的变换为实变换时，二次型的标准形还有如下一些性质二次型的标准形还有如下一些性质2211Tnnf Pyyyyy （）证明：证明： 由上面定理知，存在正交矩阵P，使得11,0.rrnfr 设二次型 的秩为 不妨设 ，

2、，不等于零，()yKzf Py作变换，则化为1() ,0,0TTTTrf PKzzKK zzK diagK z（）为规范型。为规范型。使使可逆变换可逆变换总有总有任给二次型任给二次型 , ),( 1f(cz)czxaaxxafjiijni,jjiij 结论：结论：且且11diag,0,0TrrKK22111rrrf PKzzz（）CPKxCz记，则可逆变换即为上述规范形。1r11K =11令令则则K 可逆可逆22211222221 12211 , 0 , 0 ,.Trrirrirrfx AxrxCyxPzfk yk yk ykfzzzkk设实二次型它的秩为 有两个实的可逆变换及使及则中正数的个

3、数与中正数的个数相等定定理理1 1 这个定理称为惯性定理，这里不予证明。这个定理称为惯性定理，这里不予证明。 二次型的标准形中，正系数的个数称为二次型二次型的标准形中，正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。222164zyxf 为为正定二次型正定二次型22213xxf 为为负定二次型负定二次型 ., , 0)(0;,00 0, 0,)( 1是是负负定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵为为负负定定二二次次型型则则称称都都有有如如果果对对任任何何是是正正定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵次次型型为为正正定定二二则则称称显显然然都都有有如

4、如果果对对任任何何设设有有实实二二次次型型定定义义AfxfxAffxfxAxxxfT 例如例如证明证明使使设设可可逆逆变变换换Cyx .21iniiykCyfxf 充分性充分性01,.iin 设 k0,0,xx则任给-1yC故故 . 021 iniiykxf :.Tfx Axnn实二次型为正定的充分必要条件是 它的标准形的 个系数全为正,即它的正惯性指数等于定定理理2 2必要性必要性 用反证法。, 0 sk假设有假设有, )(时时单单位位坐坐标标向向量量则则当当sey . 0 sskCef, 0 sCe显显然然.为正定相矛盾为正定相矛盾这与这与 f故故 ., 10niki 推论对称矩阵推论对称

5、矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正的特征值全为正AA, 011 a, 022211211 aaaa,; 01111 nnnnaaaa ., 2 , 1, 011111nraaaarrrrr 这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即AA对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即A正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单

6、性质;,A, . 1 1T定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA., . 2 矩阵矩阵也是正定也是正定则则阶正定矩阵阶正定矩阵均为均为若若BAnBA 例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式它的顺序主子式, 05 , 011225 , 01524212425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次

7、型的矩阵为二次型的矩阵为,502040202 A用用特征值判别法特征值判别法.0 AE 令令. 6, 4, 1321 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，A例例3 3 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f, 0511 a, 026622522211211 aaaa, 080 A.13为负定为负定知知根据定理根据定理f,402062225 A2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大负定二次型（负定矩阵）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导.00, 是否为正定矩阵是否为正定矩阵矩阵矩阵试判定分块试判定分块阶正定矩阵阶正定矩阵阶阶分别为分别为设设 BACnmBA. 是正定的是正定的C解解于于是是量量不不同同时时为为零零向