1994考研数三真题解析

1、1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(1)【答案】In 3【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数时，积分为0;被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分所以知-_2x2x22 1. 22dx2 x22=In (2 x )2In 6 -1n 2 = In 3.0【答案】1【解析】根据导数的定义，有 f (x。)"所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式Iim f (X0 _2x) _ f (x° _x)x 0Xf(x° 2x) f(x°) f (x

2、76; x)+ f (X0) =limx_0f (Xo ：X)- f(X。)LX，从而求得极限值由于x= (-2)Iimf(xo2x)-f(xo)lim 住0一"一住0)一2f(X。)f(x。)'T_2xT-2x-xx1所以 原式=lim-=1.XT f(X0 2x) f(X0 X) 1【答案】ye+si nxy _ xexy 2y【解析】将方程exy y2二cosx看成关于x的恒等式，即y看作x的函数.方程两边对x求导，得xyyesinxey(y xy) 2yy = sinx= yxe +2y【相关知识点】两函数乘积的求导公式：f(x) g(x/- f (x) g(xp f

3、(x) g (x).Illan【答案】aiIIIIIIa2III29【解析】由分块矩阵求逆的运算性质；0 A0 B1a0 一,有公式a1a2an所以，本题对A分块后可得9【答案】 64【解析】已知随机变量1aia2IIIIIIAJ =a2IIIanV丄ananX的概率密度，所以概率P X乞12 2xdx二-I 2J "04,求得二项分1布的概率参数后，故YB(3, ).42由二项分布的概率计算公式，所求概率为P丫 = 2 = C； '1 i14丿14厂64【相关知识点】二项分布的概率计算公式:若 Y、B(n,p),则 pfY 二 k .；=C：pk(仁 p)nJsk =0,1

4、，川，n,二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】本题是关于求渐近线的问题由于2x1 2 亠 x T 二lim ex arctanx(x 1)(x -2)4, n故y蔦为该曲线的一条水平渐近线1arcta n2x2x 1(X 1)(x-2)故x = 0为该曲线的一条垂直渐近线，所以该曲线的渐近线有两条. 故本题应选(B).【相关知识点】水平渐近线：若有lim f (x) = a ,则y = a为水平渐近线;铅直渐近线：若有lim f (x)二：，则x = a为铅直渐近线; x_.a斜渐近线：若有a = limf(x)xf (x) - ax存在且不为近线.

5、【答案】(C)【解析】考查取绝对值后的级数 因Unin212n2又'、 a；收敛，2收敛,(此为p级数:n dn T 2nJ 2当p 1时收敛；当P乞1时发散.) n t n(T)n|ani收敛.oO 11旳所以v丄an收敛，由比较判别法，得anm 22nn#故原级数绝对收敛，因此选(C).【答案】(C)【解析】由公式r(AB)乞min(r(A),r(B),若A可逆,则r(AB) Er(B) =r(EB) =rA_(AB)乞 r(AB).从而r( AB)二r(B),即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩，所以选(C).(4)【答案】(D)【解析】事实上，当0 ： P(B) ：:1时,P(A

6、|B) =P(A| B)是事件A与B独立的充分必要条件,证明如下：P(AB) P(AB)P(B) 一1 -P(B)若 P(A|B)二 P(A|B),则P(AB) _P(B)P(AB)二 P(B)P(AB),P(AB)二 P(B) P(AB) P(AB)二 P(B)P(A),由独立的定义，即得A与B相互独立.若A与B相互独立，直接应用乘法公式可以证明 P(A| B)二P(A|B).P(A|B)=1-P(A|B) =P(A|B).由于事件B的发生与否不影响事件所以本题选(D).【答案】(B)【解析】由于X1,X2|,Xn均服从正态分布用模式可知X _ 4N(0,1), 'nn2'

7、(Xi -X) G 22(n -1),aA发生的概率,直观上可以判断 A和B相互独立.NC12),根据抽样分布知识与t分布的应1 n其中X二x Xi ,n i吕t(n -1).(Xi -X)21.n(n -1)n' (Xi -X)2i =1仝 t(n-1).S2因为t分布的典型模式是：设XL|N(O,1),YL 2( n),且X,Y相互独立，则随机变量T X 服从自由度为n的t分布，记作TUt(n). 、Y/n因此应选(B).三、(本题满分6分)(1 ( 1 ” 2 3 【解析】方法1:由x2 y2 - x y 1,配完全方得i xy.I 2丿L 2丿2令X-1二rcosy-1二r s

8、i nr,引入极坐标系(rj),则区域为2 2=J(r,T) 0兰日兰2兀，0兰r <11(x y)dxdy dr o 2 (1 r cost r sin r) rdrD方法2:dr1+2(cos： sin n)dr034由x2 yx y 1,配完全方得弓I入坐标轴平移变换:u = x-2,v = y-丄，则在新的直角坐标系中区域D变为圆域2 2Di(u,v)|u2 v2 _32而x y =u v 1,则有dxdy = dudv，代入即得I i(x y)dxdy 二 (u v 1)dudv 二 ududv 亠 i ivdudv 亠 11 dudv .DD1D1D1D1由于区域D1关于v轴

9、对称，被积函数u是奇函数，从而.ududv二0.D1同理可得iivdudv=0,又D1JJdudv = D1D1!(x y)dxdy =D四、(本题满分5分)【解析】先解出 y(x),此方程为常系数二阶线性齐次方程，用特征方程法求解.方程y ' 4y ' 4y =0的特征方程为 2 -二0 ,解得 '2 -2.故原方程的通解为 y =(G C2x)e'X.由初始条件 y(0) =2, y(0) = -4 得 G =2,C2 =0,因此，微分方程的特解为y =2ex.再求积分即得y(x)df2xdx=lim exdf2x= lim _e'x» =

10、1.【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程y ： py qy =0 :首先写出方程 y、py'qy=0的特征方程：亠pr亠q = 0,在复数域内解出两个特征根ri,r2 ；分三种情况：(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y = C1erXl C2e'2X;(2) 两个相等的实数根 斤=r2,则通解为y二G C2x erXl;(3) 对共轭复根 ri,2=a±iP,则通解为 y (G cos0x + C2 sin3x).其中Ci,C2为常数 五、(本题满分5分)Ff【解析】由复合函数求导法 ，首先求,由题设可得CXfy2xarcta n :xx2

11、y2 x2y3yy2 = 2x arctan y .x yx再对y求偏导数即得2x2x2x2-12 2x yx2y2【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u 二(x, y),v=(x, y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数，函数z = f (u, v)在对应点(u, v)具有连续偏导数则复合函数z = f ( (x, y)(x, y)在点(x, y)的两个偏导数存在,且有:z:z.:u；z.:vu一V+:f1f2:x；:u.XjxX；:z:uJzu- T1f2卫:u.:v六、(本题满分5分)【解析】运用换元法U,则F(x)X 11 xnjtn f(xn-tn)dtr。f (u)du

12、= F (x) = xn，f (xn).由于 lim F(x)X2n x为“0”型的极限未定式，又分子分母在点。处导数都存在，运用洛必达 。法则，可得由导数的定义，有lim F(X)x_0x2n仆上需limX 刃 2nxx_p2n x2nJn A n、x f(x )2n x2nJ二丄 lim 埠二丄 lim f(xn) f(。)x2n x72nnx 2n1原式2n【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:若 F (t)二丨(t).，f(x)dx (t)均一阶可导，则f (t)工"(t) f丨 n： (t)i.七、(本题满分【解析】利用(x(5，y。)在两条曲线上及两曲线在 (xo，y

13、。)处切线斜率相等列出三个方程 ，由此，b 2可求出a，x°，y。，然后利用旋转体体积公式二.f (x)dx求出Vx.a(1)过曲线上已知点(Xo,y°)的切线方程为y -y° = k(x -Xo),其中，当y(Xo)存在时，k 二 y(X。).由y=a仮知y" =.由y = I n jx知由于两曲线在(X。，y。)处有公共切线，可见a，得 x .a2、x。2x。将沧二*分别代入两曲线方程，有y。二 a I 二 ln= y° = 1 = In从而切点为(e2 *,1).(2)将曲线表成y是x的函数，V是两个旋转体的体积之差，套用旋转体体积公式，

14、可得旋转体体积为e2 1 eVx(i.x)2dx ： ! (ln x)2dx 二eMe26 ln2 xdx1二 2 ：2_严1e2xln2 x24e2T 兀2兀一2 ln xdx = e 一x12 2【相关知识点】由连续曲线y = f (x)、直线x = a,x = b及x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周所得的旋转体体积为:b 2V f 2(x)dx.八、(本题满分6分)【解析】方法1：1(x)二 f (x)(xa)f (x) f (a)(xa),'(x) = f (x)(x-a) f (x) - f (x) = (x-a) f (x)0(xa), (x)在a,= 上单调上升，于是(

15、x)(a) = 0.F(x)£ 0.所以F(x)在a,：内单调增加.方法2： F (x)二f (x)(x -a) - If (x) - f (a)丨=1 八 x-a $x - a _f(xj(x)-f(a).-x a由拉格朗日中值定理知f (x) - f (a)xa二 f( ), (a ：: x).于是有1 KF (x)f (x)-f ().x -a由f (x)0知f (x)在a,：上单调增,从而f (x) f (),故F (x)0 .于是F(x)在a, ：内单调增加【相关知识点】1.分式求导数公式:2.拉格朗日中值定理：如果函数f (x)满足在闭区间a,b上连续；在开区间 a,b内

16、可导,那么在 a,b内至少有一点 (a < ' :：: b),使等式f (b) 一 f (a)二f ( J(b _a)成立.九、(本题满分11分)【解析】(1)因为增广矩阵 A的行列式是范德蒙行列式，印，a2,a3,a4两两不相等，则有A = (a2 a!)(比一aJ( a4 - a1)( a3 a2 )(a4 a2 )(a4 - a3)式 0 ,故 r(A) =4.而系数矩阵A的秩r(A) =3,所以方程组无解.(2)当ai = a3 = k,a2 =印-k(k=O)时，方程组同解于|x1 kx2 k2x3 二 k3,23Xj -kx2 k x3 二-k .1k“因为=2k 式

17、0,知 r(A) = r(A) =2.1-k由n-r(A)=3-2=1,知导出组Ax = 0的基础解系含有 1个解向量，即解空间的维数 为1.由解的结构和解的性质r-n一-2片+心=1+ k 0J 一I .2于是方程组的通解为其中k为任意常数【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵，线性方程组 Ax二b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A二Ab的秩，即r(A)=r(A).(或者说，b可由A的列向量，川，线表出，亦 等同于:“:川，-与?1/'2JH/ n,b是等价向量组)设A是m n矩阵,线性方程组Ax=b,则(1)有唯一解r(A) = r (A)

18、= n(2)有无穷多解r(A) = r(A) ： n.(3)无解r(A) r(A).b不能由A的列向量1，2，l|，n线表出2. 解的结构：若冷、2是对应齐次线性方程组 Ax =0的基础解系，知Ax = b的通解形 式为K 1 k2 2，其中1, 2是Ax = 0的基础解系是Ax二b的一个特解.3. 解的性质：如果 1, 2是Ax = 0的两个解，则其线性组合 ki 1 k2 2仍是Ax = 0的 解；如果是Ax =b的一个解，是Ax=0的一个解，则； 仍是Ax=b的解十、(本题满分8分)【解析】由A的特征方程，按照第二列展开，有&0丸 E A = x丸一1-102=' -1)

19、2( 1) = 0,得到A的特征值为 2 =1，-3 - -1.由题设有三个线性无关的特征向量，因此=1必有两个线性无关的特征向量从而r(E -A) =1.这样才能保证方程组(E -A)X =0解空间的维数是2， 即有两个线性无关的解向量.由初等行变换，将E - A第一行加到第三行上，第一行乘以x后加到第二行上有-'1 0 -1'1 0 -1 E A =_x 0_ yT00_x _ y-10 1 一L0 0 0由r(E-A)=1,得 x和y必须满足条件 x 0.(本题满分8分)【解析】记Y1 = X1X4,Y2 = X2X3,则X =y-Y2,随机变量Y1和Y2相互独立且同分布由A与B独立可得出P(AB) = P(A)P(B),故PY； =V = P：X1X4 =1 二P”X =1,X4 =1 二 p1x1 =1 p1x4 =1 = 0.16,P So J -Pg仁=0.84.由行列式的计算公式,随机变量X-Y2,有三个可能取值：-1,0,1.p