第四节数学概念的学习

1、第四节 数学概念的学习（一）数学概念的意义和结构数学概念是数学的“细胞”，一切数学内容基于数学概念之上，数学概念以及数学推理组成一切的数学形式因此，数学概念是数学学习的基本要素同时，学好数学概念也是学习数学基础知识、掌握数学思想方法的根本保证，是学会数学知识、提高数学能力、数学素养的关键所在1 数学概念及其意义（1） 概念的本质概念是指反映事物本质属性的思维形式所谓本质属性，客观事物中，存在着各种各样的个别事物，这些事物各有许多性质，如形状、颜色、气味、大小、在之间等，事物的性质和事物间的关系统称为事物的属性。属性可分为本质属性和非本质属性两种。所谓事物的本质属性，是指一个或一类事物内部所固有

2、的、具有规律性的性质，根据该性质可以将此事物和其它事物区分开。可见，事物固有的规定性和它与其它事物的区别性是本质属性的两大特点，缺一便不为本质属性。人们在实践中认识周围的事物（对象），一般是通过感觉、知觉形成观念(表象)，这是感性认识阶段再经过分析、比较、综合、抽象、概括等一系列思维活动，从而认识事物的本质属性，形成概念，这是理性认识阶段理性认识在实践的基础上不断深化，概念相应的也就进一步获得发展（感性认识理性认识实践达到发展）。如，人们对“圆”的概念的认识，从对太阳、满月等物体形状的感觉、直觉而形成了圆的观念、印象。在这个基础上，通过制造圆形工具或器具需要图形，进而逐步认识圆的本质属性，即图

3、上的点都在同一个平面上，这些点到某个定点（中心）的距离都是相等的，这个特性是别的图形所不具备的。当人们对具有“圆形”的这类对象，有了如上认识的飞跃后，便形成了“圆”的概念。至于半径的大小、圆心的位置、画图笔的颜色、构成图形线条的粗细等特征，从几何学的观点来看是非本质的。概念是人们头脑中的思维，它借助于有声有形的语词来表现，而表现概念的词叫做概念的名称。通常所说的名称的定义，就是指表达名称所代表的对象的本质属性的语词。概念是语词的思维内容，语词是概念的语言表达形式，概念在人类的思维活动中起着十分重要的作用，它是人类在一定阶段对客观世界认识的总结，是用压缩的形式表达大量知识的手段，是人们认识对象的

4、工具，它里面印下了人类许多世纪的实践的痕迹。（2） 数学概念什么是数学概念？恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系”现代的一些学者认为：“数学的学习过程，就是不断地建立各种数学概念的过程”数学概念是指反映事物在量或形方面本质属性的抽象思维形式一个数学概念通常用一个词（名称）或符号来表示。如用“”表示垂直，用Q、N、Z、R分别表示有理数集、自然数集、整数集和实数集。数学概念的产生与发展有各种不同的途径，有些数学概念是直接从反映客观事物的空间形式和数量关系得来的例如，自然数、点、线、面、体等概念就是这样然而，大多数数学概念是在一些数学概念的基础上，经过多次的抽象概括过程才形成和发展的例

5、如，无理数、复数的概念，分别是在有理数系和实数系的基础上产生的；而关系、映射、群、环、域等概念的产生与发展的过程就更复杂了（3）数学概念具有如下特点：其一，数学概念具有抽象性与具体性这是因为数学概念代表了一类事物的本质属性，决定了它的抽象性，已远远脱离具体现实，且抽象程度越高距离现实越远但是不管它如何抽象，又总是高层次的抽象以低层次的事物为具体内容的并且数学概念始终是数学命题、数学推理的基础成分，它必然落实到具体的数、式、形之中其二，数学概念具有相对性与发展性在某一科学体系或特定研究领域内，数学概念的意义始终是一致的例如，在小学里的数，始终是指正有理数；在初中里的直线，始终是指平面直线然而数、

6、形等概念本身处于不断发展之中例如，自然数有理数实数复数；直线上的点平面上的点空间中的点n维空间中的点；锐角任意角空间角等其三，数学概念的定义、名词、符号“三位一体”，处于一个完整的科学体系之中例如，三角形“”，平行“”，微分“”，积分“”，它们除了特定的定义外，还有相应特定的名词与符号，具有名词、定义、符号“三位一体”，这是其他科学所无法比拟的其四，数学概念是对被反映对象简明的本质属性的表述数学概念的定义是简洁明了的，只需表述出概念的本质属性。四边形 平行四边形 矩形 正方形；实数 有理数 自然数)如，定理的概念，比较下列两个关于“定理”的定义(关于定理的概念)“定理指经逻辑论证其真实性被确定

7、的命题”“有些命题是由已知定义、公理或已经证实了的真命题出发，通过推理的方法得到证实，并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理”作为“定理”概念的简洁明了，指出了定理的本质属性经逻辑论证而得到的真命题作为“定理”概念的中“并且可以进一步作为判断其它命题真假的依据”不是定理的本质属性(比如公理也有此属性)，因此在这里是多余的“由已知定义、公理或已经证实了的真命题出发，通过推理的方法”其实就是“逻辑论证”因此可以说，作为定理这一概念是恰当的，作为定理这一概念是不够恰当的2数学概念的内涵和外延（1）内涵与外延的含义 在一个科学体系中，任何一个概念都反映事物的一定范围和这个范围内

8、事物的共同本质把适合于该概念的所有对象的范围(或集合)，叫做这个概念的外延；这些事物的本质属性的总和（或集合）叫做这个概念的内涵它们分别是对这个事物集合的量和质的描述数学概念的学习实际上就是理解概念的内涵，尽可能把握概念的外延例 正偶数这一概念的外延是集合2，4，6，8，2n，内涵是“能被2整除的正整数”这个性质；例 平行四边形概念的内涵：两组对边分别平行的平面图形平行四边形概念的外延：一切平行四边形，包括矩形、菱形、正方形例 多项式概念的内涵：1，的线性组合，的系数非零时为n次多项式多项式概念的外延：一切n(n为正整数)次多项式，包括整系数多项式，有理系数多项式，实系数多项式等例 中位数概念

9、的内涵：距一组数的距离之和最小的数中位数概念的外延：一组奇数多个数按大小顺序排列时中间的那个数或一组偶数多个数按大小顺序排列时中间两个数之间的任意数(通常取中间两个数的平均数)例 概率概念的内涵：随机事件发生可能性大小的数字度量概率概念的外延：在日常生活中，可以通过随机事件发生的频率近似表示概率；在古典概型中可通过基本事件的等可能性求得随机事件的概率；在几何概型中可通过基本事件与几何区域点的一一对应性求得随机事件的概率（2）反变关系：在同类概念中，外延与内涵存在着反变关系即当外延扩大(或缩小)时，内涵反而缩小(或扩大)例如，就外延而言，四边形平行四边形矩形正方形；实数有理数自然数)；就内涵而言

10、，它们则依次扩大（3）概念的限制与概括 概念的限制与概括是明确概念的逻辑方法。概念的限制与概括是以概念的内涵和外延的反变关系为依据的。在数学中，为了对某一概念加深认识，或者为了用较一般的概念来说明特殊的概念，往往采取逐步增加概念的内涵，从而使概念的外延缩小的方法，来得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的限定例如，平行四边形若增加“有一内角为直角”这个性质后，就成为矩形反之，为了从一些特殊的概念认识一般的概念，或者为了认识同类概念的共同性质，有时又把某一概念的内涵逐步缩小，使概念的外延逐步扩大，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的概括例如，不考虑诸数系中元素的具体含义，

11、只考虑其运算性质，可概括成群、环、域等概念在数学中常用概念的限定与概括的方法，给出新的概念概念学习中，把握概念的内涵，理解概念所反映对象的本质属性是学习的核心；弄清楚概念的外延，明白概念中各种因素的内在联系是学习的基础数学概念学习时，往往通过对概念外延的奠基性学习，达到对概念的本质理解（二）概念间的关系这里我们只研究可比较概念间的关系。所谓可比较概念,就是指的在外延上具有某种可比较关系的概念。例如,“正数”和“整数”就是可比较的概念,而“正数”和“多边形”就是不可比较的概念。在可比较概念间,有相容关系和不相容关系。1相容关系（1）同一关系A=B两个外延完全相同的概念之间的关系，叫做同一关系同一

12、关系可由如图23所示，叙述上常用连接词“即”、“就是”等表示在一个判断过程中，具有同一关系的两个概念可 图2-3以互相代替例如，等边三角形与正三角形，等腰三角形底边上的高与顶角的平分线、底边的中线都是同一概念，它们在判断中可以互相代替，相互为用B（2）交叉关系A两个外延部分相同的概念之间的关系，叫做交叉关系，如图2-4所示，叙述上常用“有的”、“有些”等表示例如，等腰 图2-4 三角形与直角三角形，自然数与正整数等都是交叉关系，一个方程组是否有解就是判别各个方程的解集是否有交叉关系图24（3）从属关系AB两个外延具有包含关系的概念之间的关系，叫做从属关系（亦称包含关系），如图25所示其中外延范

13、围大的概念A叫做上位概念或种概念，外延范围小的概念 图2-5B叫做下位概念或类概念例如，等式与方程，方程与整式方程都是从属关系其中等式是方程的种概念，方程又是整式方程的种概念；方程是等式的类概念，整式方程又是方程的类概念2不相容关系（1）矛盾关系A B两个概念的外延互相排斥，但外延之和等于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做矛盾关系，如图2-6所示例如，有理数与无理数，直角三角形与非直角三角形，平面上的相交线与平行线等都是矛盾关系（图2-6） 图2-6 （2）对立关系 两个概念的外延互相排斥，但外延之和小于它们最邻近的种概念的外延，这样两个概念之间的关系，叫做对立关系，BAA

14、（亦称反对关系）如图2-7所示例如，正数与负数，锐角三角形与直角三角形，空间中的相交线与平行线等都是对立关系 图2-7 概念的矛盾关系和对立关系是数学中反证法、穷举法的依据之一，用处较多。（三）数学概念的定义什么叫给概念下定义，就是用已知的概念来认识未知的概念，使未知的概念转化为已知的概念，叫做给概念下定义概念的定义都是由已下定义的概念(已知概念)与被下定义的概念(未知概念)这两部分组成的例如，有理数与无理数(下定义的概念)，统称为实数(被下定义的概念)；平行四边形(被下定义的概念)是两组对边分别平行的四边形(下定义的概念)其定义方法有下列几种1、直觉定义法直觉定义亦称原始定义，凭直觉产生的原

15、始概念，这些概念不能用其它概念来解释，原始概念的意义只能借助于其它术语和它们各自的特征给予形象的描述如几何中的点、直线、平面、集合的元素、对应等原始概念是人们在长期的实践活动中，对一类事物概括、抽象的结果，是原创性抽象思维活动的产物直觉定义为数不多2、“种+类差”定义法种+类差”定义法：被定义的概念=最邻近的种概念(种)+类差。这是下定义常用的内涵法。“最邻近的种概念”,就是被定义概念的最邻近的种概念,“类差”就是被定义概念在它的最邻近的种概念里区别于其它类概念的那些本质属性。例如,以“平行四边形”为最邻近的种概念的类概念有“矩形”、“菱形”,“菱形”的“邻边相等”是区别于“矩形”的本质属性,

16、“邻边相等”就是“菱形”的类差。我们先看几个用“种+类差”定义的例子:等腰梯形是两腰相等的梯形直角梯形是有一个底角是直角的梯形等腰三角形是两边相等或两角相等的三角形逻辑上还可以通过总结外延给出定义例如：“有理数和无理数统称为实数”等由上述几例可看出,用“种加类差”的方式给概念下定义,首先要找出被定义概念的最邻近的种概念,然后把被定义概念所反映的对象同种概念中的其它类概念所反映的对象进行比较,找出“类差”,最后把类差加最邻近的种概念组成下定义概念而给出定义。种加类差定义法在形式逻辑中也称为实质定义,属于演绎型定义,其顺序是从一般到特殊。这种定义,既揭示了概念所反映对象的特殊性,又指出了一般性,是

17、行之有效的定义方法。由于概念本身的类别特点及类差性质的不同,在叙述形式上也有差异。这种定义方法，能用已知的种概念的内涵来揭示被定义概念的内涵。揭示了概念的内涵，既准确又明了，有助于建立概念之间的联系，使知识系统化，因此，在中学数学概念的定义中应用较多3、发生式定义法发生定义法(也称构造性定义法):通过被定义概念所反映对象发生过程，或形成的特征的描述来揭示被定义概念的本质属性的定义方法称发生定义法。这种定义法是“种+类差”定义的一种特殊形式。定义中的类差是描述被定义概念的发生过程或形成的特征,而不是揭示被定义概念的特有的本质属性。例如，平面(空间)上与定点等距离的点的轨迹叫做圆(球)此外，中学数

18、学中对圆柱、圆锥、圆台、微分、积分、坐标系等概念也都是采用的发生式定义法又如：平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹叫做椭圆围绕一中心点或轴转动，同时又逐渐远离的动点轨迹称为螺线一直杆与圆相切作无滑动的滚动，此直杆上一定点的轨迹称为圆的渐开线设是试验E中的一个事件，若将E重复进行n次，其中A发生了次，则称为n次试验中事件A发生的频率在一定条件下，当试验次数越来越多时，事件A出现的频率逐步稳定于某一固定的常数P，称P为事件A出现的概率由此可知，只要有人类的数学活动，就有概念的发生式定义4、逆式定义法这是一种给出概念外延的定义法，又叫归纳定义法例如，整数和分数统称为有理数；正弦、余弦、正切和

19、余切函数叫做三角函数；椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；逻辑的和、非、积运算叫做逻辑运算等等，都是这种定义法5、约定性定义法由于实践需要或数学自身发展的需要而被指定的数学概念在实践活动中，人们发现一些概念非常重要，便指明这些概念，以便数学活动中使用比如一些特定的数：圆周率、自然对数的底e等；某些重要的值：平均数、频数、方差等；某类数学活动的概括：比如代数指研究有限多元素有限次运算的数学活动；几何指研究空间及物体在空间结构中结构与形式的数学活动；随机事件指在社会和自然界中，相同条件下，可能发生也可能不发生，但在大量重复试验中其出现的频率呈现稳定性的事情；概率指随机事件发生的可能性大小的数学度量；

20、等等同时，数学概念有时是数学发展所需要约定的如零次幂的约定，模为零的向量规定为零向量，模为1的向量规定为单位向量又如矢量积的方向由右手法则规定数学教学中应向学生灌输这样一种观念，即数学概念是可以约定的(其更深刻的含义是数学可以创造)约定是简约思想的结果，它使得数学因为有了这样的约定而运算简便约定不是惟一的，但应具有合理性或符合客观事物的规律如规定矢量积的方向按左手法则也不是不可以的约定不是随意针对的，一般只约定那些有重要作用的概念，如约定当n趋于无限大时的极限为自然对数的底e，因为这个数对计算十分重要6、刻画性定义 刻画性定义法亦称描述性定义法，数学中那些体现运动、变化、关系的概念经严格地给予

21、表述(逾越直觉描述阶段)，这些概念即属于刻画性定义比如等式函数、数列极限、函数极限等概念函数概念：设D是实数集的子集，如果对D内每一个，通过给定的法则，有惟一一个实数y与此对应，称是定义在D上的一元实值函数，记为概念中刻画了变量y与变量的关系 数列极限概念：对于数列和一个数，如果对任意给定的正数，都存在一个自然数，对一切自然数n，成立，称数n是数列当n趋于无限大时的极限，记为概念中刻画了与 “要多么接近就可以多么接近(只要)”的程度，使“无限接近”的直觉说法上升到严格水平函数极限概念：对于在附近有定义的函数和一个数A，如果对任意给定的正数，都存在一个正数，对定义域中的x只要，成立，称数是当趋近

22、于时的极限，记为，概念中刻画了与A“要多接近就可以有多接近（只要）”的程度，是严格的数学概念。7、过程性定义有些复杂的数学概念是由在实践基础上的数学活动造就的，这样的概念由过程来引导例如：导数：设y=在点附近有定义当自变量取得改变量(0)，函数取得相应改变量，比值，当时的极限存在，这个极限值就称作的导数，记作导数概念通过“作改变量作商求极限”的过程获得定积分：设有界函数定义在上在中插入分点：取，作和令当时，和的极限存在，这个极限值称作在上的定积分定积分概念通过“分割(插入了分点)一作和一求极限”的过程获得此外，数学中的概念还有其他给出方式如n维向量空间的定义：“n为有序实数组()的全体，并赋予

23、加法与数乘的运算()+”它是二维向量空间的类比推广再如“群”和“距离空间”的概念，则是用一组公理来定义的公理法定义的方式多用于高等数学，中学中涉及得很少此外，中学数学中还有递推式定义法(如"阶行列式、n阶导数、n重积分的定义)，借助另一对象来进行定义(如借助指数概念定义对数概念)等等上述分类是大致的，学习概念的定义，并不在于区分它究竟属于那种定义方式，而在于理解概念的内涵，把握概念的外延，应用它们去学习数学知识和解决有关问题。为了正确地给概念下定义，定义要符合下列基本要求：(1)定义应当相称即定义概念的外延与被定义概念的外延必须是相同的，既不能扩大也不能缩小即应当恰如其分，既不宽也不

24、窄例如，无限不循环小数，叫做无理数而以无限小数来定义无理数(过宽)，或以除不尽方根的数来定义无理数(过窄)显然，这都是错误的(2)定义不能循环即在同一个科学系统中，不能以A概念来定义B概念，而同时又以B概念来定义A概念例如，的角叫做直角，直角的九十分之一，叫做1度，这就发生循环了(3)定义应清楚、简明，一般不用否定的形式和未知的概念例如，笔直笔直的线，叫做直线(不清楚)；两组对边互相平行的平面平行四边形(不简明)；不是有理数的数，叫做无理数(否定形式)；对初中生来说，在复数a+i中，虚部60的数，叫做实数(应用未知概念)等，这些都是不妥的（四）概念的系列在一个科学系统中，有些概念可依一定顺序构

25、成一个逻辑链，组成一个概念系列例如， 量 极限-导数微分梯度其中不定义的概念，叫做原始概念（就是前面所说的直觉定义的概念）例如，数、量、点、线、面、体、集合、元素、对应等都是原始概念对数学中的原始概念有的是用描述法或抽象化法，有的是以直观说明或指明对象的方法来明确其意义的（五）概念的分类概念的分类是揭示概念外延的逻辑方法一般的，把被分类的概念作为种概念，根据一定的属性把它的外延分成若干个对立的类概念其中那个属性叫做分类的依据，按一、两个属性分类的，又分别叫做一重分类与二重分类例如，三角形按角分类为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；按边分类为不等边三角形和等腰三角形 正整数整数 有理数 非正整

26、数 正分数实数 分数 负分数 正无理数复数 无理数 负无理数 纯虚数虚数 非纯虚数 数学中的连续分类，常用二分法，如 春叙述 正确的分类应符合下列几点要求：(1)分类应按照同一标准；(2)分类应逐级进行；(3)分类应不重复、不遗漏；(4)分类后分得的各子类应不相容正确理解与运用数学概念，是解数学题的关键其中正确运用分类方法也很重要例 已知zR，求证：证明 本题按通常方法是难以完成证明的但不难发现，当=O时，>0，于是很自然地考虑当O时，值的情况显然，当时，>0，转而考虑当>0时，值的情况又当=1时，>O，进而再行考虑当1时的情况因当>1时，有，故>O，当O&

27、lt;<1时，有从而>O，这样，对的取值经过连续四次分类(二分法)，即 的值以上，均证明了，故原不等式成立（六）影响数学概念学习的原因分析由于数学是从大量的各类复杂的活动中抽象出来的空间形式与量的科学。因此数学概念就具有多样性，然而数学概念的多样性体现了数学概念思维的复杂性，从而决定了数学概念学习不是简单的学习，它的学习需要经历曲折的过程数学概念学习要经历“感知一认知冲突一认知稳定”的不断发展过程随着学习进程的深入，概念在学习者的大脑中不断发展突破认知冲突，进入认知稳定阶段，就必须摒弃许多限制，扩大认知范围然而，由于学生先期的认知模式已经稳定在大脑中，根深蒂固两者的矛盾冲突便会导致

28、错误产生，这种错误有时是学生学习数学概念过程中必不可少的环节与内容此外，在概念学习过程中，如果向学生的认知结构中加入不恰当或不充分的信息，就会加剧认知冲突的非概念一方，导致错误概念的产生在数学概念形成过程中，各个阶段、各个层次都有可能导致错误概念的产生由于产生错误的环节、背景不同，因而错误的形式以及呈现方式也有区别影响数学概念学习的原因大致有以下几个方面：1数学概念意象化概念意象指与概念相关的认识轮廓，概念意象中包含较多与概念接近但与概念本质无关的特征，概念意象是直观的、模糊的、可变的数学概念意象是数学概念的萌芽，在数学概念形成、理解、运用中有着重要作用学生在记忆、表征、运用数学概念时，多是与

29、概念意象相联系因此，概念意象的贫乏、不恰当会导致错误概念的产生，更为经常的甚至会产生概念意向化，即用概念意象代替概念，也会造成常见的错误错误主要集中在：用日常生活概念代替数学概念许多数学概念是从日常生活概念中抽象出来的，学生在接触某数学概念之前，与之相联的日常概念已在他们的意识中潜伏，但由于日常概念是宽泛的、易变的、多义的，这就容易造成学习抽象数学概念时发生错误例如“垂直”概念，在日常生活中，通常是以地平面为参照，学生在学习几何概念“互相垂直”时，习惯用日常的“垂直”概念代替“互相垂直”的概念又例如日常生活中的角多为锐角或直角(如图2-8)，因此，学习“角”的概念时，学生很容易理解锐角和直角，

30、而在理解“平角”或“任意角”时，就会出现许多错误(如图2-9) 图28易理解的“角”概念 图29不易理解的“角”概念用概念的典型性代替概念学习者在概念学习初期阶段，往往是借助于对典型概念的观察、分析，获得概念的本质特征的然而也正是这种典型性使学生在获得概念的同时，也将与概念无关的特征加以强化，在运用概念时不仅运用概念的相关特征，也运用概念的无关特征，造成对概念的错误理解例 有些学生认为数列的极限是0；而数列的极限是0；数列的极限不是0在学生潜意识中，有极限的数列是呈单调性变化的，这是受典型数列和的影响 例 有些学生认为“常数不是函数”因为在学生学习函数概念初期，往往研究等这样的非常数函数，受典

31、型性的影响，就认为常数不是函数例 由，类推到。这都是把概念的相关特征，运用到无关概念的特征上了。上式用形象代替数学概念数学概念意象中有许多意象是通过学生自己的言语符号描述的学生在描述一个概念时，他是通过实例、实物、图形，运用自已的语言组织的，这种组织有时出现“异化”情况学生在表述概念时的语言是一种图、符号的混合描述，而非明确的定义在这个环节中，学生对于描述的语言、符号使用不准确就容易造成概念错误，包括变异、修正、遗漏、添加等例 在对问题“是整式的代数式有”的回答中，相当一部分学生认为B与D的内容不是整式而C的内容是整式原因在于学生将整式概念表征为“几个单项式，代数和，没有分母”，由于B、D与所

32、描述的“整式形象”有差异，因而被排除在外，而C与心中的“形象”较接近，因而认为是整式例 多数学生认为“有理数比无理数多”平常学生在数的运算中接触的几乎全是有理数，而见到用到的无理数却廖廖无几，像等因此，学生认为有理数比无理数多对这类概念错误，就需要用相关的数学思想来澄清2直觉的影响对具体事物的直接感觉称为直觉，它有别于科学的实验活动，也不需要推理与抽象灵感往往来自直觉但是由于直觉未经深入思考，仅凭直觉容易产生概念错误 几何概念的学习最易受直觉的影响而产生错误 例 有些学生认为，双杠的两条杠平行，而高低杠的两条杠不平行(图210、图211)因为在他们的视觉中，双杠的两条杠在同一个水平平面上，而高

33、低杠的两条杠在不同的水平面上 图210双杠图 图2-11高低杠图DBA例 有些学生难以确定三角形边上的高AD(图212)ACDADCBCB图212例 有些学生难以判断下列命题的真假：“和是同位角”“和是同位角”“和是内错角”(图213) 1 3 2 4 56图2133游离于概念本质每一个概念都有内涵，概念的内涵是所反映对象的特有属性或本质属性学习概念必须抓住概念的本质不能抓住概念本质，必然掌握不住概念例 有些学生认为与不是同一个函数；y=与是同一个函数前一个错误的原因在于，只看到函数的外在(符号)形式，而游离于函数的本质后一个错误的原因则在于遗漏了函数本质特征的一些细节例 此处的错误在于，没有

34、真正理解绝对值和算术平方根的意义，只抓住了概念的形式，却丢掉了概念的本质例 都是一元二次方程这里出现了定义理解的错误第一个问题的错误在于没有把握本质属性中的“同一个未知数”第二个问题的错误在于没有对字母的使用加以限制或者以为m非零例 英国学者格里安做过一个测验：（格劳斯：数学教与学研究手册上海：上海教育出版社，1999）如图214，从A箱中还是从B箱中取出黑弹子的机会多?很多学生都错误地认为从B箱中比从A箱中取出黑弹子的机会多 图2-14错误产生的原因是学生将概率概念中的“事件发生次数与样本数的比”与“事件发生的次数”混为一谈，根本在于游离了概念的本质4认知惯性在认识新概念的过程中，思维惯性是

35、经常发生的惯性指在新情境中用原有的思维模式进行思维，使新内容不自觉地受到限制，归入原有的范围内学生在受到限制的领域内试图建立新问题的各种联系，导致错误结果的产生具体来说，从“感知一概念意象一概念定义一概念运用”的认识阶段转换中，学生容易把前一阶段所形成的概念带入后一阶段中，比如感知到的实例直接进入概念意象，把概念意象当作概念定义，概念定义生硬运用，各种惯性就会产生概念错误例 概率知识学习中的经验惯性错误：“掷3枚硬币，2个正面朝上的概率是”错误的理由是认为一共有3个正面，2个正面在3个正面中所占比例是这是一个典型的惯性错误，把“比例”概念运用到“基本事件与发生事件”的关系上事实上，根据概率思想

36、，掷3枚硬币的所有可能结果是8种，其中有3个结果为2个正面1个反面，由图39可以清楚地看出这一事实掷3枚硬币，2个正面朝上的概率是（图2-15） 2个正面一个反面图2-15例 将一枚硬币随机掷100次，出现50次正面的概率是多少?对于这个问题，经常会出现惯性的误解，认为掷一枚硬币出现正面的概率为，那么掷100次硬币出现50次正面是必然的，或者这个事件发生的概率很大然而，事实上这是一个服从二项分布的概率问题如果令X为硬币正面出现的次数，则服从=100，P=的二项分布 由此可以得到：“随机掷100次硬币出现50次正面”的概率为 认知惯性还表现在，按照过去的经验方法对概念作“合理”的推广由于忽略了知

37、识的新层次与原来层次之间的差异，这些“合理”往往是错误的例 由导致出现的错误这是由有限情形“合理”推广到无限情形所造成的错误例 在复数集合内由得这一错误也是由于实数集合内由得 “合理”推广而发生例 由“有理数+有理数=有理数”的推广导致出现“无理数+无理数=无理数”的错误事实上“无限不循环”与“无限循环”存在质的差别，两个无限不循环小数之和可以是无限循环小数推广是数学研究与学习中重要的方式方法，其结论是似真的，因而利用推广容易导致错误5概念僵化数学概念学习时，如果不去建立概念内部及概念之间的联系，而仅仅记忆其表达形式，概念就不能被真正理解这种学习方式获得的概念就是孤立的，所知的概念内部对象就是

38、僵化的这种孤立僵化看待概念而产生的错误，不仅会出现在位置固定上，也会出现在各种概念交织的一个复杂背景中在这种背景中，学生往往同时接触多个概念，只有恰当地建立这些概念之间的联系，才能解决问题然而，由于孤立僵化地运用每一个概念，就会出现对每一个概念都很熟悉，但问题却终究解决不了，或者概念定义背得很熟，运用时却不知所措的情况C例 已知函数的图象（如图216所示）若，求，c之间的关系 由于一些学生概念学习是僵化 的，不能建立方程的根与函数的零 点间的内在联系，同时没有掌握函数的一些有关性质，对此问题就打 图2-16不开解决的思路 从以下的解法中，我们可以体会到解决问题需要灵活掌握概念 解 因为点C是抛

39、物线与y轴(x=0)的交点， 所以c>0又因为点A在轴的负半轴上，由已知，所以=-c，即点A的坐标(-c，0)因为图象与轴的交点就是函数的零点，所以即 因为c0所以，由此获得之间的关系6概念简单化对概念的本质属性把握较浅，难以建立有关概念之间的联系，有时会排斥与新概念有联系的现象，在认识复杂的概念时，由于思维简单化而出现错误例 在有6个孩子的家庭中，认为依次为“男，女，女，男，女，男”比依次为“男，男，男，男，女，男”或依次为“男，男，男，女，女，女”的可能性更大这种认识的根源是，现实中男、女之比为50：50且分布均匀，“男，女，女，男，女，男”符合对现实的感觉，而其余两种不符合对现实的

40、感觉 错误产生的根源在于，将问题简单化为现实中男女的比例与分布，而没有正确理解“6个孩子”是什么样本空间中的一个结果“甲孩子诞生”与“乙孩子诞生”是彼此独立的试验结果，每个性别的概率是因此6个孩子的性别排列共有=64种，其中各种都是等可能的所以6个孩子性别上无论如何排列，可能性都是一样的，它们的概率都是例 有三张卡片，其中一张卡片两面都是蓝色，一张卡片两面都是绿色，第三张卡片的一面是蓝色另一面是绿色从中摸出一张，看到一面是蓝色，问另一面也是蓝色的概率为几 人们常会误认为第二面是蓝色的概率是理由是，只有两张卡片能显示一面是蓝色，而其中有一张蓝色的背面是绿色这一问题并不是简单的，其数学分析如图2-

41、17：卡片： I 两面： ，： 蓝 蓝 绿 绿 蓝 绿 图217由蓝色一面构成的基本事件为 ，其中、的另一面都仍是蓝色，因此，所说事件的概率是例 三扇门问题：“一个争取得奖的游戏节目：有三扇关着的门，其中一扇门后面有大奖，其余两扇门后面是空的节目主持人要求参赛者指定一扇门，然后打开一个空门这时再给参赛者一次选择机会，可以重新选另一扇门，也可以坚持原来的选择哪一个选择得奖的可能性大?”对这一问题的回答进行过广泛调查，包括对中学生、大学生，甚至数学教师大多数人确信，只要节目主持人打开一扇空门，剩下两扇门得奖的机会就是一样的，它们都是，因此不必要重新选择，可以维持原选择这里也出现了对问题简单化的理解

42、主持人在参赛者第一次选定之前还是选定之后打开空门的意义是不一样的如果主持人先打开空门，则剩下两扇门有奖的概率各为，但是如果参赛者选一扇门后(这个门有奖的机会是)，另两门有奖的机会是，主持人这时再打开一扇空门，则有奖的机会全给予第三扇门了数学原理如下： 设事件A。：第一次选择中奖；A：重新选择中奖；：坚持原选择中奖 。由全概率公式 .因此，主持人打开一扇空门后，重新选择得奖的机会大从上述分析我们可以了解到，数学概念学习中是容易出现这样或那样错误的，错误产生的原因又是多方面的作为数学教师应该很好地了解学生在概念学习中容易出现哪些错误，有针对性地设计教学法，在教学中对学生的学习给予恰当指导，必要时给

43、出善意忠告同时要注意通过课堂观察、实验、作出分析等方式，记录学生在学习数学概念时所犯的错误案例，分析学生出错的心理，从学生的认知特点出发，有效地开展数学教学（五）数学概念学习的两种基本方式·概念形成的方式：主体对客观事物反复感知，进行思维探索，概括出一类事物的本质属性 刺激反应一感知一发现本质一概念·概念同化的方式：接受他人以定义方式给出的概念，主体进行认知磨合，得其要领，掌握概念定义一思考一把握要领一理解概念·两种学习方式的辩证关系：从对数学知识的认识方式上，两种学习方式是有区别的两种方式结合起来使用，数学概念学习才能达到理想效果数学概念的学习过程中，学习方式是

44、有区别的为了达到理想的学习效果，对于不同类型的数学概念以及不同年龄的学生，应采取不同的学习方式学习数学概念的基本方式有两种：概念形成和概念同化 1概念形成概念形成是人们在对客观事物的反复感知和进行分析、比较、抽象的基础上，概括出某一类事物关键本质属性的过程就数学概念而言，概念形成是以学生的直接经验为基础，通过对各种实例的分析，学生以归纳的方法概括出一类事物的本质属性，从而获得概念的学习方式简单的说，概念形成是“探索发现”的学习方式概念形成过程可概括如下： (1)辨别各类刺激模式 学生学习时首先面对各种事例，称为刺激模式这些模式常常来自学生自己生活中的经验或事实，或者教师提供的有代表性的事例对于

45、这些刺激模式，学生通过比较，在知觉水平上进行分析、辨认，根据事物的外部特征进行概括例如，形成矩形概念，先让学生辨认他们所熟悉的实例，像桌面、墙壁、黑板、书本表面等又如，形成函数概念，学生首先要感知“一个量依赖于另一个量的变化而变化”的现实例子，像一天内的气温随时间的变化而变化童年时期身高随年龄的增长而增长等(2)分化出各种刺激模式的属性为理解该类刺激模式的本质属性，就需要对各种刺激模式的各个属性予以分析例如，桌面是木制的，可看成四边形，两组对边分别平行且相等，四个角相等又如，一天内的时间是变化的，这个变化是固有的，每一时刻的温度也可能是变化的，这个变化是受时辰(时间)影响的(3)类化找出各个具

46、体的刺激模式的共同属性各个具体的刺激模式的属性不一定是都具有的属性，数学学习需要找出它们的共同属性，就是要把从具体刺激模式中分化出来的属性进行比较，找出共同的属性例如，桌面与墙壁的质材没有共同属性，但是它们的外围形状有共同属性又如，气温与身高没有共同属性，但是它们各自的变化都有依赖对象，这一点算是共同属性等(4)抽象出各个刺激模式的共同属性，并提出它们的共同属性的各种假设 一般来说，事物的共同属性不一定就是本质属性，因此要提出各个刺激模式的本质属性的假设，这个过程实质上是对本质属性的抽象过程前面例子中，共同属性有的可抽象地看成平面四边形、四个角相等、两组对边分别平行、两组对边相等共同关键属性可

47、假设为：两组对边分别平行并且四个角都是直角的四边形是矩形；两组对边分别相等并且四个角都是直角的四边形是矩形；四个角都是直角的平面四边形是矩形等而这里提出关键属性假设的方法是一条或几条共同属性的结合(5)检验在特定的情境中检验所提出该类事物的本质属性的假设，从而确认出事物的本质属性检验的方式常采用变式如上例中通过变式可以发现，三个假设在各种变式中均出现，因而都可确认为关键属性(6)概括并形成概念验证了假设以后，把关键属性抽象出来，并区分出有重叠关系的关键属性，使新概念与已有认知结构中的相关观念分化，用语言概括成为概念的定义例如“两组对边分别平行”、“一个角为直角”是彼此独立的，不可缺少的一些图形

48、的关键属性，于是将矩形定义为“两组对边分别平行并且有一个角为直角的四边形”又如“在某个变化过程中”与“如果给定的一个值，相应地可确定一个值”是一些关系的关键属性，于是将函数定义为“在某个变化过程中，有两个变量和y，如果给定一个值，相应地就确定了一个y值，称y是的函数”(7)把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去 这个过程本质上是明确概念外延的过程，也是把新概念同已知的其他概念相区别的过程这既是在更大范围内检验和修正概念定义的过程，又是一个概念应用的过程，从中可以了解概念的本质特征是否被真正理解在这个过程中，指导者常用一些概念的等值语言来让学生进行判断和推理例如“对角线相等并且平分”就是矩形概

49、念的等值语言，“在的变化范围内，y依赖于x的变化而变化”就是函数概念的等值语言这个过程是使新概念与已有认知结构中比较稳定的相关观念建立起牢固的实质性联系的过程，这是概念形成的非常重要的一个步骤（8)用形式符号表示新概念数学形式是由数学符号表示的，用数学符号将获得的概念表示出来是概念形成的最后一个步骤通过概念形成的上述步骤，学生比较全面地了解了概念的内涵，掌握了概念的一些具体例证，并且也能识别概念变式情况下的一些例证，这就表明学生已经掌握了数学概念，可以引进数学符号，把所理解的概念的实质内容用数学符号表示出来在今后学习时，学生看到符号就能联想起符号所代表的概念及其本质特征对数学概念的符号表示与符

50、号理解，是学生抽象概括能力的反映如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，就反映出学习者具备抽象概括能力把握数学中的逻辑推理关系就在于能够合理、恰当地应用符号，而这又要依靠对符号实质意义的把握在概念学习中，形式地记忆符号而不懂得符号本质含义的情况是时有发生的，这时符号将使学习产生困难，导致数学概念的错误例如在函数概念学习时，由于对函数符号不理解，经常会出现类似于的错误函数概念生成案例 （赵徽：高中新课程数学教学案例与评析新华出版社，2005） 师：例如（图2-18）所示。一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标，炮弹的射高为845m，问：炮弹距离地面的高度(单位：m)随时间(单位：s

51、)变化的规律是什么?当分别取l s，5s，10s，20s时，对应的分别是多少?其中的变化范围是多少?生：由初中所学知识我们知道，炮弹的轨迹是一条开口向下的抛物线，可以设为，由于这条曲线过(0，0)，(26，0)和(13，845)三个点，代入可得生：的取值分别为125m，525m，800m，600m的取值范围是A=师：对于的每个值，都有几个值和它对应?生：惟一确定的值师：的取值范围是一个集合，的所有值是B=0845，A和B分别为一个集合，你能描述他们之间的对应关系吗?生：在集合26中任取一个值，通过式子。可以看出，有惟一确定的值和对应 9008007006005004003002001005 10 15 20 25 3