一次函数(专题精讲)讲义

1、【知识点梳理】1 一次函数和正比例函数的概念若两个变量x，y 间的关系式可以表示成y=kx+b（ k，b 为常数， k0）的形式，则称y 是 x 的一次函数（ x 为自变量） ，特别地，当b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数. 例如： y=2x+3，y=-x+2 ，y=21x 等都是一次函数，y=21x，y=-x 都是正比例函数 . 【说明】（1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b（k，b 为常数， b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量 x 的次数为1，一次项系数k 必须是不

2、为零的常数，b 可为任意常数 . （3）当 b=0，k0 时， y= kx 仍是一次函数 . （4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数. 2 函数的图象把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线3 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（ k，b 为常数， k0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点

3、（ 0，b） ，直线与 x 轴的交点（ -kb，0）. 但也不必一定选取这两个特殊点. 画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0，0） ， （1， k）即可 . 4 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数， k0）的性质（1）k 的正负决定直线的倾斜方向；k0 时， y 的值随 x 值的增大而增大；ko时， y 的值随 x 值的增大而减小（2）|k| 大小决定直线的倾斜程度，即|k| 越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k| 越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置；当 b0 时，直线与y 轴交于正半轴上；当 b0 时，

4、直线与y 轴交于负半轴上；当 b=0 时，直线经过原点，是正比例函数（4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；当 k0，b 0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；当 k0，b o时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；当 ko ，b 0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；当 ko ，b o时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）（5）由于 |k| 决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的 另外， 从平移的角度也可以分析，例如：直线 y=x 1 可以看作是正比例

5、函数y=x 向上平移一个单位得到的【例题解析】例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-21x；（2）y=-x2；（3）y=-3-5x ；（4）y=-5x2；（5）y=6x-21（6）y=x(x-4)-x2. 例 2当 m为何值时，函数y=- （m-2）x32m+（ m-4）是一次函数？【小结】某函数是一次函数应满足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0而某函数若是正比例函数，则还需添加一个条件：常数项为0例 3一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂1kg 的物体，弹簧就伸长05cm ，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的

6、质量x(kg ）之间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是 x的一次函数例 4 某物体从上午7 时至下午4 时的温度m （）是时间t（时）的函数： m=t2-5t+100 （其中 t=0 表示中午12 时，t=1表示下午 1 时） ，则上午10 时此物体的温度为例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且x=2 时， y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值跟踪练习：已知y 与 x+1 成正比例，当x=5 时， y=12，则 y 关于 x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与 x+1 成正比例，表

7、示y=k(x+1) ，不要误认为y=kx+1. 例 6 若正比例函数y= （1-2m）x 的图象经过点a （x1，y1）和点 b （ x2，y2） ，当 x1x2时，y1y2，则 m的取值范围是 （）am o b m 0 cm 21d m m 例 7求图象经过点（2，-1 ） ，且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式例 8已知 y+a 与 x+b（ a，b 为是常数）成正比例（1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y 是 x 的正比例函数？例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先交50 元月租费，然后每通话1 分，再付电话费04元； “神州行”

8、使用者不交月租费，每通话1 分，付话费06元（均指市内通话）若1 个月内通话x 分，两种通讯方式的费用分别为y1元和 y2元（1）写出 y1，y2与 x 之间的关系；（2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？（3）某人预计一个月内使用话费200 元，则选择哪种通讯方式较合算？例 10已知 y+2 与 x 成正比例，且x=-2 时， y=0（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观察图象，当x 取何值时， y0？（4）若点（ m ，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点 p在 y 轴负半轴上， （2）中的图象与x 轴、 y 轴分别交于a，b两点，且sab

9、p=4，求 p点的坐标例 11已知一次函数y=（3-k ） x-2k2+18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2 ） ? （3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x ？（5）k 为何值时， y 随 x 的增大而减小？例 12判断三点a（3， 1） ，b（ 0，-2 ） ，c（4， 2）是否在同一条直线上 分析 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立，说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上【课后习题】1. 如图，你能找

10、出下列四个一次函数对应的图象吗？请说出你的理由.（1）12xy； （2）13xy；（3）xy；（4）xy32xyoxxxyyyooo2. （1）判断下列各组直线的位置关系：xy与1xy；213xy与2131xy（2）已知直线532xy与一条经过原点的直线l平行， 则这条直线l的函数关系 _ ；若直线a与直线l垂直且过点（0，-2） ，则直线a的函数关系式为3. （1）一次函数xy3的图象经过 _ 象限，y随x的增大而 _；（2）一次函数nmxy的图象如图所示，则下列结论正确的是（） a0,0 nmb0,0 nmc0,0 nmd0,0 nm4在下列四个函数中，y值随x值的增大而减小的是（） ax

11、y2b63xyc52xyd73xy5如图，已知一次函数kkxy的图象大致是（） abcd6直线32xy与x轴正方向所成的锐角为，直线13xy与x轴正方向所成的锐角为，则与的关系为（） abcd无法确定7已知一次函数kkxy，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（） a第一、二、三象限b第一、二、四象限c第二、三、四象限d第一、三、四象限8如图，某装满水的水池按一定的速度放掉水池的一半水后，停止放水并立即按同样速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按同样的速度放完水池的水若水池的存水量为v（3m） ，放水或注水的时间为t（min） ，则v与t的关系的大致图象只能是（） o x y abcd9函数3)2(1mxmy的图象是一条直线，则m10如果直线2kxy，y随x的增大而增