试验五Z变换实用教案

1、u1 1、学会运用、学会运用MATLABMATLAB求离散时间信号的求离散时间信号的z z变换变换和和z z反变换；反变换；u2 2、学会运用、学会运用MATLABMATLAB分析离散时间系统的系分析离散时间系统的系统函数统函数(hnsh)(hnsh)的零极点分布与时频特性的零极点分布与时频特性分析；分析；一、实验一、实验(shyn)目的目的第1页/共39页第一页，共39页。二、实验二、实验(shyn)设备设备2 2、MATLAB6.5 MATLAB6.5 软件软件(run jin)(run jin)1 1、计算机、计算机第2页/共39页第二页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理0

2、)()()(nnznxnxZzX (1) 序列(xli)的正反Z变换其中，符号表示取其中，符号表示取z变换，变换，z是复变量。是复变量。相应相应(xingyng)地，单边地，单边z变换定义为：变换定义为：nnznxnxZzX)()()(第3页/共39页第三页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理a. a. 使用使用(shyng)ztrans(shyng)ztrans和和iztransiztransMATLABMATLAB符号符号(fho)(fho)数学工具箱提供了计算离散时间信号单边数学工具箱提供了计算离散时间信号单边z z变换的函数变换的函数ztransztrans和和z z反变换

3、函反变换函数数iztransiztrans，其语句格式分别为，其语句格式分别为Z=ztrans(x)Z=ztrans(x)x=iztrans(z)x=iztrans(z)上式中的上式中的x x和和Z Z分别为时域表达式和分别为时域表达式和z z域表达式的符号表示，可通过域表达式的符号表示，可通过symsym函数来定义。函数来定义。1. 1. 求求z z变换变换第4页/共39页第四页，共39页。 【例1】 试用(shyng)ztrans函数求下列函数的z变换。 x=sym(an*cos(pi*n);Z=ztrans(x);simplify(Z)ans=z/(z+a)()cos()(nunanxn

4、% simplify(S) 对表达式S进行(jnxng)化简 第5页/共39页第五页，共39页。 【例2】 试用iztrans函数(hnsh)求下列函数(hnsh)的z反变换。 Z=sym(8*z-19)/(z2-5*z+6);x=iztrans(Z);simplify(x)ans=-19/6*charfcn0(n)+5*3(n-1)+3*2(n-1)3|65198)(2zzzzzXcharfcn0(n)charfcn0(n)是是(n)(n)函数函数(hnsh)(hnsh)在在MATLABMATLAB符号工具箱中的表示，反变换符号工具箱中的表示，反变换后的函数后的函数(hnsh)(hnsh)形

5、式为：形式为：)()2335()(619)(11nunnxnn第6页/共39页第六页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理 如果信号的如果信号的z z域表示域表示(biosh)(biosh)式是有理函数，式是有理函数，进行进行z z反变换的另一个方法是对反变换的另一个方法是对X(z)X(z)进行部分分式进行部分分式展开，然后求各简单分式的展开，然后求各简单分式的z z反变换反变换. .如果如果X(z)X(z)的有的有理分式表示理分式表示(biosh)(biosh)为：为：)()(1)(221122110zAzBzazazazbzbzbbzXnnmmrkkikrMkkknNMnnzzC

6、zzAzBzX111101 1)(b. b. 使用部分分式展开使用部分分式展开(zhn ki)(zhn ki)求逆求逆z z变换变换第7页/共39页第七页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理MATLABMATLAB信号处理工具箱提供了一个对信号处理工具箱提供了一个对X(z)X(z)进行部分分式展开进行部分分式展开(zhn ki)(zhn ki)的函数的函数residuezresiduez，其语句格式为：，其语句格式为： R,P,K=residuez(B,A) R,P,K=residuez(B,A)其中其中: B: B，A A分别表示分别表示X(z)X(z)的分子与分母多项式的系数向

7、量，分子与分母多项式按照的分子与分母多项式的系数向量，分子与分母多项式按照 升幂排列，从升幂排列，从z0z0的系数开始的系数开始R R为部分分式的系数向量；为部分分式的系数向量；P P为极点向量；为极点向量；K K为多项式的系数。若为多项式的系数。若X(z)X(z)为有理真分式，则为有理真分式，则K K为零。为零。1z 1111( )11nnRRX zKP zP z第8页/共39页第八页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理例例3 3 用用MATLABMATLAB命令进行命令进行(jnxng)(jnxng)部分分式展开，并求部分分式展开，并求出其出其z z反变换。反变换。解：MATL

8、AB源程序为B=18;A=18,3,-4,-1;R,P,K=residuez(B,A)5 . 0|431818)(321zzzzzXB，A X(z)的分子(fnz)与分母多项式的系数向量R为部分分式的系数向量；P为极点向量；K为多项式的系数。第9页/共39页第九页，共39页。P=0.5000-0.3333-0.3333K=从运行结果(ji gu)可知32pp 表示系统有一个二重极点。所以，X(z)的部分分式(fnsh)展开为2111)3330.314 . 03333. 0124. 05 . 0136. 0)(zzzzX（)()3333. 0)(1( 4 . 0)3333. 0(24. 0) 5

9、 . 0(36. 0)(nunnxnnn三、实验三、实验(shyn)原理原理R=0.36000.24000.4000第10页/共39页第十页，共39页。2( )341zX zzz13z 例4 用部分分式(fnsh)法求逆z变换： 1212( )34134zzX zzzzzb=0,1;%初始输入(shr)分子多项式的项数a=3,-4,1;%初始输入(shr)分子多项式的项数r,p,k=residuez(b,a); MATLAB程序(chngx)：得到r =0.5, -0.5p =1, 1/3k =110.50.5( )11(1 3)X zzz( )0.5(1)0.5(1/3)(1)nx nunu

10、n 结合其ROC，可以得到信号为三、实验原理三、实验原理第11页/共39页第十一页，共39页。2( )(2)(1)zX zzz31222( )1(2)(1)21(1)cccX zzzzzzz12( )(2)1zX zczz221121( )1(1)1(21)!(2)zzdX zczdzzz 23111( )1(1)1(22)!(2)zzX zczzz 2( )21(1)zzzX zzzz例5用部分分式(fnsh)法求逆z变换：解：即( )21 ( )nx nn u n 三、实验三、实验(shyn)原理原理第12页/共39页第十二页，共39页。 221 21( )(2)(1)(1) (12)zz

11、X zzzzzb=0,0，1;%初始输入(shr)分子多项式的项数a=poly(1,1,2);%初始输入(shr)分子多项式的项数r,p,k=residuez(b,a);%求三个系数r,p,k得到(d do) r = 1.0000 -0.0000 + 0.0000i -1.0000 + 0.0000ip = 2.0000 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000ik = 111 2101( )(12)1(1)X zzzz对比一下两种分解方式(fngsh)，二者是等价的。用matlab求其部分分式 第13页/共39页第十三页，共39页。MATLAB中提供了多项式乘法和除法

12、函数：conv(b, a)和deconv(b, a) C=conv(b, a)：其中b、a是两个向量。如果是两个多项式的系数，则完成多项式的乘法；如果是任意(rny)两个数组，则完成的是卷积b*a；返回结果c。q,r=deconv(b, a)：其中b、a是两个向量。如果是一个有理分式的分子、分母多项式的系数，则完成多项式的除法b/a；如果是任意(rny)两个数组，则完成的是解卷积b/a；返回结果q为商，r为余数。c.c.用长除法用长除法(chf)(chf)法求逆法求逆Z Z变换变换第14页/共39页第十四页，共39页。在z变换应用时，要求b, a是X(z)中按照z-1的升幂排列的分子分母(fn

13、m)的系数。111 2111 0 0 00012111计算 ，商的精度要求达到4位若要求序列(xli)x(n)的长度为Nq 即 商的长度为Nq 当分子的长度b小于分母a的长度时，补0的长度为 (Na-Nb)+(Nq-1)计算序列(xli)x(n)的长度：第15页/共39页第十五页，共39页。例6用长除法(chf)求逆z变换：P53例2-6111( )1410.25X zzzNq=7;%待求解x(n)的项数b=-1;%初始(ch sh)输入分子多项式的系数Nb=length(b); %分子多项式的项数a=poly(4,0.25); % poly() 求解多项式的系数，Na=length(a);%

14、分母多项式的项数b=b, zeros(1,Nq+Na-Nb-1);% 将b补零成为长度为Nq+Na-1的多项式Nb=length(b);%分子多项式的项数q,r=deconv(b,a)%求二个系数q,rstem(0:Nq-1,q);title(x(n);xlabel(n);ylabel(x(n);第16页/共39页第十六页，共39页。第17页/共39页第十七页，共39页。例7用长除法(chf)求逆z变换： 2111( )10.910.7X zzzNq=100;%待求解x(n)的项数b=1;%初始输入(shr)分子多项式的系数Nb=length(b);%分子多项式的项数a=poly(0.9,0.

15、9,-0.7);% poly()可以求解多项式的系数，初始输入(shr)分母多项式的项数Na=length(a);%分母多项式的项数b=b, zeros(1,Nq+Na-Nb-1);% 将b补零成为长度为Nq+Na-1的多项式Nb=length(b);%分子多项式的项数q,r=deconv(b,a)%求二个系数q,rstem(0:Nq-1,q);xlabel(n)ylabel(x(n)第18页/共39页第十八页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理2 2、系统函数、系统函数(hnsh)(hnsh)的零极点分析的零极点分析离散离散(lsn)(lsn)时间系统的系统函数定义为系统零状态响

16、应的时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z z变换与变换与激励的激励的z z变换之比变换之比: : )()()(zXzYzH如果系统函数如果系统函数)(zH的有理函数表示式为的有理函数表示式为11211121)(nnnnmmmmazazazabzbzbzbzH第19页/共39页第十九页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理在在MATLABMATLAB中系统函数的零极点就可通过中系统函数的零极点就可通过(tnggu)(tnggu)函数函数rootsroots得到，也可借助得到，也可借助DSPDSP工具工具箱中的函数箱中的函数tf2zptf2zp得到，得到，tf2zptf2zp的语句

17、格式为：的语句格式为：R,P,K=tf2zp(B,A)R,P,K=tf2zp(B,A)其中，其中，B B与与A A分别表示分子与分母多项式的系数向量。分别表示分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将它的作用是将H(z)H(z)的有理分式表示式转换为零极点增益形式：的有理分式表示式转换为零极点增益形式：)()()()()(2121nmpzpzpzzzzzzzkzHMATLABMATLAB实现实现(shxin)(shxin)第20页/共39页第二十页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理例例8 8 已知一离散因果已知一离散因果LTILTI系统系统(xtng)(xtng)的系统的系统(xt

18、ng)(xtng)函数为：函数为：16. 032. 0)(2zzzzH试用试用MATLABMATLAB命令求该系统命令求该系统(xtng)(xtng)的零极点。的零极点。 第21页/共39页第二十一页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理2121216. 0132. 016. 032. 0)(zzzzzzzzHB=1,0.32;B=1,0.32;A=1,1,0.16;A=1,1,0.16;R,P,K=tf2zp(B,A)R,P,K=tf2zp(B,A)R=R= -0.3200 -0.3200P=P= -0.8000 -0.8000 -0.2000 -0.2000K=K= 1 10.3

19、2z 极点极点(jdin)为：为：10.8p 20.2p 因此(ync)，零点为：第22页/共39页第二十二页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理若要获得系统函数的零极点分布图，可直接应用若要获得系统函数的零极点分布图，可直接应用zplanezplane函数，其语句格式为：函数，其语句格式为：zplane(B,A)zplane(B,A)其中，其中，B B与与A A分别表示的分子和分母分别表示的分子和分母(fnm)(fnm)多项式的系数向量。多项式的系数向量。它的作用是在它的作用是在Z Z平面上画出单位圆、零点与极点。平面上画出单位圆、零点与极点。第23页/共39页第二十三页，共39

20、页。三、实验三、实验(shyn)原理原理例例9 9 已知一离散因果已知一离散因果LTILTI系统系统(xtng)(xtng)的系统的系统(xtng)(xtng)函数为：函数为：试用试用(shyng)MATLAB(shyng)MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。命令绘出该系统的零极点分布图。68. 052. 136. 0)(22zzzzH21210.36( )11.520.68zH zzz B=1,0,-0.36;B=1,0,-0.36;A=1,-1.52,0.68;A=1,-1.52,0.68;R,P,K=tf2zp(B,A)R,P,K=tf2zp(B,A)zplane(B,A),gri

21、d on;zplane(B,A),grid on;legend(legend(零点零点,极点极点););title(title(零极点分布图零极点分布图););MATLAB源程序为：第24页/共39页第二十四页，共39页。在离散系统中，在离散系统中，z z变换建立了时域函数变换建立了时域函数 与与z z域函数域函数之间的对应关系。因此，之间的对应关系。因此，z z变换的函数变换的函数 从形式从形式(xngsh)(xngsh)可以可以反映反映 的部分内在性质。的部分内在性质。我们通过讨论我们通过讨论H(z)H(z)的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。的一阶极点情况，来

22、说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。三、实验三、实验(shyn)原理原理)(zH3 3、系统函数的零极点分布与其、系统函数的零极点分布与其(yq)(yq)时域特性的关系时域特性的关系 )(zH)(nh)(nh第25页/共39页第二十五页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理MATLABMATLAB求解单位抽样求解单位抽样(chu yn(chu yn) )响应响应 可利用函数可利用函数filterfilter， filter filter函数的常用语句函数的常用语句格式为：格式为：y=filter(b,a,x)y=filter(b,a,x)表示由向量表示由向量b b和和a a

23、组成的系统对输入组成的系统对输入x x进行滤波，系统的输出为进行滤波，系统的输出为y;y; )(nh第26页/共39页第二十六页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理MATLABMATLAB另一种求单位抽样响应另一种求单位抽样响应 的方法的方法(fngf)(fngf)是利用控制系统工具箱提是利用控制系统工具箱提供的函数供的函数impzimpz来实现。来实现。impzimpz函数的常用语句格式为函数的常用语句格式为impz(b,a,N)impz(b,a,N)其中，参数其中，参数N N通常为正整数，代表计算单位抽样响应的样值个数。通常为正整数，代表计算单位抽样响应的样值个数。)(nh第2

24、7页/共39页第二十七页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理例例10 10 试用试用MATLABMATLAB命令画出系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位抽样命令画出系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位抽样(chu yn(chu yn) )响应响应 的波形。的波形。 )(nh18 . 0118 . 0)(ZzzzHb1=1;a1=1,-0.8;subplot(121)zplane(b1,a1)title(极点(jdin)在单位圆内的正实数)subplot(122)impz(b1,a1,30);grid on;第28页/共39页第二十八页，共39页。三、实验三、实验(shy

25、n)原理原理第29页/共39页第二十九页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理4 4、离散、离散(lsn)(lsn)时间时间LTILTI系统的频率特性分析系统的频率特性分析 离散时间离散时间(shjin)(shjin)系统的频率响应定义为：系统的频率响应定义为：)(| )(|)(jjjeeHeH| )(|jeH)(其中:称为离散时间系统的幅频特性称为离散时间系统的相频特性 (z)()jjzeHH e 是关于是关于 的的以以2 2 为周期的连续信号为周期的连续信号()jH e 第30页/共39页第三十页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理MATLAB提供了求离散时间系统频响

26、特性的函数freqzfreqz的调用格式(g shi)1:其中: B与A表示系统函数的分子和分母多项式的系数向量；N为正整数，表示对频域离散化的点数，默认值为512； 返回值w: 包含 范围内的N个频率等分点；返回值H: 是离散时间系统频率响应。0格式(g shi)2 ：20H,w=freqz(B,A,N)H,w=freqz(B,A,N,whole)与第一种方式不同之处在于角频率的范围扩展到第31页/共39页第三十一页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理例例11 11 试用试用(shyng)MATLAB(shyng)MATLAB命令绘制以下系统的频率响应曲线。命令绘制以下系统的频率响应曲线。 8109. 056. 19028. 096. 0)(22zzzzzH解：利用函数(hnsh)freqz计算出)(jeH利用函数abs和angle分别求出幅频特性与相频特性最后利用plot命令绘出曲线第32页/共39页第三十二页，共39页。三、实验三、实验(shyn)原理原理b=1-0.960.9028;a=1-1.560.8109;H,w=freqz(b,a,400,whole);Hm=abs(H);Hp=angle(H);subplot(