下料问题的优化设计

1、题1、下料问题的优化设计某车间有一大批长130cm的棒料，根据加工 零件的要求，需要从这批棒料中成套截取70cm长的毛坯不少于100根，32cm 长的毛坯不少于100根,35cm长的毛坯不大于100根。要求合理设计下料方案, 使剩下的边角料总长最短。根据题目意义，运用优化设计理论和方法，完成设计全过程;工程问题分析: 数学模型建立及特征分析：优化方法选择；优化程序设计（解析优化）；计算结 果分析；结论及体会。基于MATLAB 一维优化下料问题分析0前言生产中常会通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小零件, 这种工艺过程，称为原料下料问题。在生产实践中，毛坯下料是中小企业的一 个重要

2、工序。怎样减少剩余料头损失是节约钢材、降低产品成本、提高企业经 济效益的一个重要途径。在毛坯下料中我们常会遇到毛坯种类多、数量大的情 况，如不进行周密计算则因料头而造成的钢材损失是相当可观的。为使料头造 成的钢材损失减少到最小程度，我们可依据预定的目标和限制条件统筹安排， 以最少的材料完成生产任务。1 一维优化下料问题的具体模型分析设原材料长度为L,数量充足。需要切割成n(nO)种不同规格的零件,根据既 省材料容易操作的原则，人们已经设计好了n种不同的下料方式，设第j种下料 方式中可下得第i种零件呦个，又已知第i种零件得需要量为勺个，勺表示第色 种下料方式所消耗得零件数目，勺表示第巧种下料方式

3、所得余料(j=l, 2 n,Z)。满足条件的切割方案有很多种,现在要求既满足需要又使所用原材料数量最少，即最优下料方案满足：U P二min (工勺。约束条件：刀竹 eZo线性规划数学模型根据线性规划算法，约束条件包括两部分：一是等式约束条件，二是变量 的非负性。出变量的非负要求外，还有其他不等式约束条件，可通过引入松弛 变量将不等式约束化成等式约束形式。如果是求最大值的，则松弛模型最优解对 应的目标函数值必大于或等于整数规划最优解对应的目标函数值；如果问题是 求最小值，则松弛模型最优解对应的目标函数值必于或等于整数规划最优解对 应的目标函数值。因此对于最优下料方案模型为：ft=min f =

4、xcJxJ土XjiXj e由式(1)的线性规划(LP)引入松弛变量“ = minf = cjxj佔pXj > 0如果得到的最优解是整数,则求解结束。该最优解也是式仃)的最优解。否则,得到的最优解只是式(1)的最优解的一个下界。这样可以把式(1)划分为两个子问题。n再对式(3)和式(4)继续上述过程。若在某一时刻得到了一个全整数解xm, 则xm为式(1)的一个上界。此时，若打算从子问题k开始分支，而这一问题的下界 为xk>xm,则这一分支不必再考虑了，因为在这一分支中不会找到小于xm的解。如 果xk<xm,则分支过程还要继续。MATLAB维优化算法求解整数线性规划MATLAB程

5、序：function x, y = ILp ( f, G, h, Geq, heq, lb, ub, x, id, options) global upper op t c xO A b Aeq beq ID if nargin < 10, options = optimset( options LargeScale = ' off' ; end<<<<<<options; ) ; options.Display = ' off'nargin nargin nargin nargin nargin nargin9, id

6、 = ones( size ( f)6 x 二;end7 ； isemp ty( ub) , ub = inf*ones( size6 isempty(5, heq =4, Geq =upper = inf; c = f; xO=id;ftemp = ILP ( lb (:)x = opt; y = upper;function ftemp = ILP ( global upper op t c xOlb) , lb = zeros ( size ( f) ;end;endx; A 二 G; b 二 h; Aeq = Geq;(f) ) ; end)；endbeq = heq; IDvlb,

7、vub)A b Aeq beq ID options;x, ftemp, how = linp rog ( c, A, b, Aeq, beq, vlb, vub, xO, options) ;if how < = 0return;end;if ftemp - upper > 0. 00005 % inreturn;end;ifmax( abs ( x*ID - round ( x*ID) if upper - ftemp > 0. 00005 % in op t 二 x ； upper = ftemp;return;elseop t 二op t; x ;return;end

8、;end;notintx = find ( abs( x - roundavoid errorintx = fix( x) ; tempvlb = vlb;order)< order(x)to0. toavoid error00005avoid error> 二 0. 00005) ; %tempvub = vub;in order toif vub ( notintx(l, 1) , 1) tempvlb (notintx(1, 1) , 1) ftemp = IntLP ( tempvlb, vub);end;if vlb ( notintx(l, 1) , 1)> =i

9、ntx( notintx(l, 1) , 1) + 1;=intx( notintx(l, 1) , 1) + 1;< =intx( notintx(l, 1) , 1)tempvub ( notintx(l, 1) , 1) = intx( notintx(l, 1) , 1) ftemp = IntLP ( vlb, tempvub);end;2线性规划实例分析某车间有一大批长130cm的棒料，根据加工零件的要求，需要从这批棒料 中成套截取70cm长的毛坯不少于100根，32cm长的毛坯不少于100根，35cm 长的毛坯不大于100根。要求合理设计下料方案，使剩下的边角料总长最短。分

10、析:对于一维下料问题都可以用组合最优化的方法给出合理的下料方式。 该题要求剩余边角料总长最短，可以转化为求使用原材料的量最少。设xl, x2,x3分别表示所需3种不同长度的棒料零件数，则70x1+32x2+35x3 130 (xi ez+, i 二 1,2, 3)o其中xlWl，表1给出下料方案。表1下料方案零件下料方式需要量类型B1B2B3B1B5B6A1110000$100(70)A2101240100(32)A3012103$100(35)余料28252831225由表1可列出目标函数及其约束条件min f = 28x 】+25x2 + 28x3 +31x4 + 2x5 + 25 x6x

11、+x2 > 100 + 2x4 +4x5 > 100(5)x2 + 2x3 + x4 < 100ez+j = (l,2,3,4,5,6)用上面的MATLAB程序求解方程组(5)> > c 二28, 25, 28, 31, 2,25;> >A = 1, 1, 0, 0, 0;1,0, 1, 2, 4; 0,1,2, 1,0； 0,0,3;> > b = 100; 100; 100 ;> > x, f = ILp ( c, , , A, b, 0, 0, 0, 0, 0,0,inf, inf, inf, inf, inf, inf,);x =