2013年高考文科数学全国新课标卷2试题与答案

1、1 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（全国卷 ii新课标）第卷一、选择题 : 本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1) 已知集合mx| 3x1 ，n 3, 2， 1，0,1 ，则mn( ） a 2, 1,0,1 b 3， 2, 1,0 c 2， 1，0 d 3， 2，1 221i( ) a2 2 b2 c2 d 1 3设x,y满足约束条件10,10,3,xyxyx则z2x 3y的最小值是 ( ） a 7 b 6 c 5 d 3 4abc的内角a，b，c的对边分别为a，b,c, 已知b2，6b，4c，则abc的面积为 ( ）

2、a2 3+2 b3+1 c2 32 d315设椭圆c:2222=1xyab（ab0）的左、右焦点分别为f1，f2，p是c上的点，pf2f1f2，pf1f2 30，则c的离心率为（） a36 b13 c12 d336已知 sin 223，则2cos4( ) a16 b13 c12 d237执行下面的程序框图, 如果输入的n4, 那么输出的s（) a1111+234 b1111+232432c11111+2345 d11111+23243254328设a log32，blog52,clog23，则（） aacb b bca ccba dcab 9一个四面体的顶点在空间直角坐标系oxyz中的坐标分别

3、是(1，0,1 ） ， （1，1,0) ，(0,1 ， 1) ，（0， 0,0) ， 画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面， 则得到的正视图可以为 （) 10 设抛物线c：y24x的焦点为f， 直线l过f且与c交于a，b两点 若 |af| 3|bf| ， 则l的方程为 ( ) ayx1 或 y x1 by3(1)3x或 y3(1)3x2 cy3(1)3x或 y3(1)3x dy2(1)2x或 y2(1)2x11已知函数f(x）x3ax2bxc, 下列结论中错误的是（) a? x0r ，f （x0) 0 b函数 y f （x）的图像是中心对称图形c若 x0 是 f （x) 的极小值

4、点，则f （ x）在区间（ ,x0 ）单调递减d若 x0 是 f （x）的极值点，则f (x0) 0 12若存在正数x使 2x(xa） 1 成立，则a的取值范围是（) a( ，) b( 2, ) c （0，) d( 1, )第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分13从 1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是 _14已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则ae bd_. 15已知正四棱锥oabcd的体积为3 22，底面边长为3，则以o为球心，oa为半径的球的表面积为 _16函数ycos（2x） （） 的图像向右平移2个单位后， 与函数ysin23x的图像重

5、合 , 则 _. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17 （本小题满分12 分) 已知等差数列 an的公差不为零，a125，且a1，a11,a13成等比数列（1) 求an的通项公式；(2) 求a1a4a7a3n2. 18 （本小题满分12 分）如图，直三棱柱abca1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点3 19 ( 本小题满分12 分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内, 每售出 1 t该产品获利润500 元，未售出的产品，每1 t 亏损 300 元根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品以x（

6、单位： t,100 x150)表示下一个销售季度内的市场需求量，t（单位：元 ) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1 ）将t表示为x的函数 ; (2) 根据直方图估计利润t不少于 57 000 元的概率20 （本小题满分12 分）在平面直角坐标系xoy中，已知圆p在x轴上截得线段长为2 2在y轴上截得线段长为2 3. (1 ）求圆心p的轨迹方程；（2) 若p点到直线yx的距离为22，求圆p的方程21 （本小题满分12 分）已知函数f（x）x2ex。（1）求f（x）的极小值和极大值；(2) 当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围4 22 ( 本小题满分10 分

7、) 选修 4 1：几何证明选讲如图，cd为abc外接圆的切线 ,ab的延长线交直线cd于点d，e,f分别为弦ab与弦ac上的点，且bcaedcaf，b，e，f，c四点共圆23 ( 本小题满分10 分）选修 44：坐标系与参数方程已知动点p，q都在曲线c:2cos ,2sinxtyt（t为参数 ) 上，对应参数分别为t与t 2（02) ，m为pq的中点（1）求m的轨迹的参数方程；（2) 将m到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断m的轨迹是否过坐标原点24 ） （本小题满分10 分) 选修 4 5: 不等式选讲设a,b,c均为正数，且abc 1。证明 : （1）abbcca13；(2)222abc

8、bca 1。5 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类（全国卷 ii 新课标 ) 第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案： c 解析： 由题意可得，mn 2， 1,0 故选 c。2答案： c 解析： 21i1 i ，21i 1i 2。3答案： b 解析： 如图所示， 约束条件所表示的区域为图中的阴影部分，而目标函数可化为233zyx, 先画出l0：y23x，当z最小时，直线在y轴上的截距最大, 故最优点为图中的点c，由3,10,xxy可得c(3,4 ） ，代入目标函数得,zmin2334 6。4答案： b 解析

9、：a（bc) 76412，由正弦定理得sinsinabab，则72sinsin1262sinsin6baab，s abc112sin2(62)31222abc. 5答案 : d 解析： 如图所示，在rtpf1f2中, f1f2 2c, 设|pf2| x, 则pf1 2x，由 tan 30 212|3|23pfxf fc，得2 33xc. 而由椭圆定义得，pf1| pf2 2a3x, 332axc，333cceac. 6答案： a 解析 : 由半角公式可得，2cos46 21cos 211sin 21232226。7答案： b 解析 : 由程序框图依次可得，输入n4，t1，s1，k2; 12t,

10、11+2s，k3; 132t，s111+232,k4；1432t，1111232432s，k5；输出111123 24 32s。8答案： d 解析： log25log23 1，log23121log 321log 50，即 log231 log32log520，cab。9答案： a 解析： 如图所示，该四面体在空间直角坐标系oxyz的图像为下图: 则它在平面zox的投影即正视图为，故选 a。10答案： c 解析： 由题意可得抛物线焦点f(1 ，0) ，准线方程为x 1. 当直线l的斜率大于0 时, 如图所示， 过a,b两点分别向准线x 1 作垂线，垂足分别为m，n，则由抛物线定义可得，|am|

11、 af|,|bn| |bf|. 设am| af| 3t（t0）, bnbf| t，|bkx，而gf|2，在amk中，由|nbbkamak，得34txtxt，解得x2t, 则 cosnbk|1|2nbtbkx，nbk60, 则gfk60，即直线ab的倾斜角为60.斜率ktan 60 3，故直线方程为y3(1)x当直线l的斜率小于0 时 , 如图所示, 同理可得直线方程为y3(1)x，故选 c。7 11答案： c 解析： 若x0是f（x）的极小值点 , 则yf(x）的图像大致如下图所示, 则在 ( ,x0）上不单调，故c 不正确12答案： d 解析： 由题意可得，12xax（x 0） 令f（x)

12、12xx，该函数在（ 0，）上为增函数，可知f(x) 的值域为( 1， ), 故a 1 时，存在正数x使原不等式成立第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题第 24题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4 小题 ,每小题 5 分13答案： 0.2 解析：该事件基本事件空间 （1， 2）,（1,3) ，（1,4 ） ， （1，5) ， （2， 3）,(2,4 ） ， (2 ， 5) ， （3,4),(3,5),(4，5) 共有 10 个，记a“其和为5 (1 ，4),(2 ，3） 有 2 个,p（a) 2100.2. 14

13、答案： 2 解析 : 以,ab ad为基底，则0ab ad, 而12aeabad，bdadab，1() ()2ae bdabadadab22221122222abad。15答案： 24解析： 如图所示，在正四棱锥oabcd中，voabcd13s正方形abcd|oo1132(3)|oo13 22，8 |oo1| 3 22，ao162，在 rtoo1a中,oa2211|ooao223 26622，即6r，s球4r224.16答案：56解 析 :y cos(2x） 向 右 平 移2个 单 位 得 ,cos 22yx cos(2x ) sin 2 +=sin222xx, 而它与函数sin 23yx的图

14、像重合，令2x22x32k，kz，得5+2 6k，k z. 又，56。三、解答题 : 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解： （ 1）设 an的公差为d. 由题意，211aa1a13，即(a110d)2a1(a1 12d） 于是d(2a125d） 0。又a125，所以d0（舍去 ) ，d 2。故an 2n27。（2）令sna1a4a7a3n 2。由(1 ）知a3n2 6n31, 故a3n2是首项为25，公差为 6 的等差数列从而sn2n（a1a3n 2）2n（ 6n56) 3n2 28n. 18（1）证明 :bc1平面a1cd; (2) 设aa1accb2，ab22, 求三棱锥ca1d

15、e的体积解： (1 ）连结ac1交a1c于点f，则f为ac1中点又d是ab中点 , 连结df，则bc1df。因为df? 平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1平面a1cd. (2 ）因为abca1b1c1是直三棱柱，所以aa1cd。由已知accb,d为ab的中点，所以cdab. 又aa1aba，于是cd平面abb1a1。由aa1accb2，22ab得acb90，2cd，16ad，3de,a1e 3，故a1d2de2a1e2，即dea1d. 所以vca1de11632321. 19解： （ 1) 当x100 ，130）时，t500x 300(130 x） 800x39 000 。当x130

16、 ，150时，t500130 65 000. 9 所以80039000,100130,65000,130150.xxtx（2）由 (1) 知利润t不少于 57 000 元当且仅当120x150。由直方图知需求量x120,150 的频率为0.7 ，所以下一个销售季度内的利润t不少于 57 000 元的概率的估计值为0。7。20解： （ 1) 设p(x，y） ，圆p的半径为r. 由题设y22r2，x23r2。从而y22x23。故p点的轨迹方程为y2x21. （2) 设p(x0，y0) 由已知得00|222xy。又p点在双曲线y2x21 上，从而得002210| 1,1.xyyx由0022001,1

17、xyyx得000,1.xy此时，圆p的半径r错误 ! . 由0022001,1xyyx得000,1.xy此时，圆p的半径3r. 故圆p的方程为x2(y1）23 或x2（y 1)23. 21解： (1 ）f(x）的定义域为(, ),f（x） exx(x2） 当x（， 0) 或x(2 ，）时 ,f(x) 0；当x(0 ，2）时 ,f（x） 0. 所以f（x)在（， 0) ， （2, ) 单调递减 , 在（ 0，2）单调递增故当x0 时，f(x)取得极小值，极小值为f（0） 0；当x2 时,f（x）取得极大值,极大值为f(2) 4e2。(2 ）设切点为 (t，f（t） ） ，则l的方程为yf(t)(

18、xt）f(t） 所以l在x轴上的截距为m(t) ( )223( )22f tttttfttt。由已知和得t（， 0) (2 ， ) 令h(x）2xx（x 0） ，则当x(0 ，）时 ,h（x）的取值范围为2 2，）；当x（，2）时，h(x) 的取值范围是（，3) 所以当t（， 0) (2 ， ) 时 ,m（t) 的取值范围是（，0）2 23， ) 综上，l在x轴上的截距的取值范围是（，0）2 23， ) 请从下面所给的22、23、 24 三题中选定一题作答，并用2b铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分; 不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分22解： （ 1）因为cd为abc外接圆的切线，所以dcba. 由题设知bcdcfaea, 10 故cdbaef，所以dbcefa。因为b，e，f，c四点共圆，所以cfedbc，故efacfe90。所以cba90，因此ca是abc外接圆的直径（2) 连结ce, 因为cbe90,所以过b，e，f，c四点的圆的直径为ce, 由dbbe，有cedc，又bc2dbba2db2，所以ca24db2bc26db2. 而dc2dbda3db2，故过b，e,f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值为12。23解： (1) 依题意有p(2cos ,2sin ）,q(2cos 2，2sin 2） ，因此