AHP层次分析法

1、层次分析法 层次分析法（The analytic hierarchy process,简称AHP，也称层级分析法什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process ）简称 AHP 在 20 世纪 70年代中期由美国运筹学家 托马斯塞蒂（L.Saaty ）正式提出。它是一种定性 和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医 疗和环境等领域。层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大

2、体上是一样的。不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点.首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经 济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会 优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次， 你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低， C次之；C居住等条件较好等等。最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合， 在A B、C中确定哪个作为最佳地点。层次分析法的基本步骤1建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上

3、，将有关的各个因素 按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因 素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最 上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有 一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时 （譬如多于9个）应进一 步分解出子准则层。2、构造成对比较阵。从层次结构模型的第 2层开始，对于从属于（或影响） 上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和19比较尺度构追成对比较 阵，直到最下层。3、计算权向量并做一致性检验。对于每一个成对比较阵计算最大特征根及 对应特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性

4、比率做一致性检验。 若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量：若不通过，需重新构追成对比 较阵。4、计算组合权向量并做组合一致性检验。计算最下层对目标的组合权向 量，并根据公式做组合一致性检验，若检验通过，则可按照组合权向量表示的 结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对 比较阵。层次分析法的优点运用层次分析法有很多优点，其中最重要的一点就是简单明了。层次分析 法不仅适用于存在不确定性和主观信息的情况，还允许以合乎逻辑的方式运用经验、洞察力和直觉。也许层次分析法最大的优点是提出了层次本身，它使得 买方能够认真地考虑和衡量指标的相对重要性。建立层次结构模型将问题包含

5、的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目 标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。也可称策略层、约束层、准则层等）； 最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。把各种所要考虑的因素放在适 当的层次内。用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。例2选拔干部模型对三个干部候选人yi、y2、y3,按选拔干部的五个标准：品德、才能、资 历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人y、y2、 y3,按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下 层次分析模型谨校干祁准则层漬 厉 辺丫丄构造成对比较矩阵比较第i个元素与第j个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用

6、数 量化的相对权重aij来描述。设共有n个元素参与比较，则J - 称为 成对比较矩阵。成对比较矩阵中aj的取值可参考Satty的提议，按下述标度进行赋值在1-9及其倒数中间取值。«aij<4二=1，兀素i与元素j对上一层次因素的重要性相同;*aij=3，儿糸i比元素j略重要；aj=5，兀素i比元素j重要；=7 , 兀素i比元素j重要得多；*aij=9，兀素i比元素j的极其重要；© = 2 n, n=1,2,3,4，元素i与j的重要性介于aj = 2 n - 1与 aij = 2 n + 1 之间；1=*，n=1,2,9，当且仅当 aji = n。1Qij > O

7、jOij = l5Oij =成对比较矩阵的特点：。（备注：当i=j时候,aij = 1 ）对例2 ,选拔干部考虑5个条件：品德Xi,才能X2,资历X3,年龄X4,群众关系X5。某决策人用成对比较法，得到成对比较阵如下：/f一0 CO 1 - 27 4 12 32 1 1-41-31-3ai4 = 5表示品德与年龄重要性之比为5 ,即决策人认为品德比年龄重 要。作一致性检验从理论上分析得到：如果 A是完全一致的成对比较矩阵，应该有a（j Ojk =3ik。但实际上在构造成对比较矩阵时要求满足上述众多等式是不可能的。因此 退而要求成对比较矩阵有一定的一致性，即可以允许成对比较矩阵存在一定程 度的不

8、一致性。由分析可知，对完全一致的成对比较矩阵，其绝对值最大的特征值等于该 矩阵的维数。对成对比较矩阵 的一致性要求，转化为要求：的绝对值最大的特征值和该矩阵的维数相差不大。检验成对比较矩阵A 一致性的步骤如下：计算衡量一个成对比矩阵 A （ n>1阶方阵）不一致程度的指标 CI:CI =其中入max是矩阵A的最大特征值。注解从有关资料查出检验成对比较矩阵A 一致性的标准Rl: RI称为平均6#随机一致性指标，它只与矩阵阶数 有关。按下面公式计算成对比较阵 A的随机一致性比率CR：判断方法如下：当CRvO.1时，判定成对比较阵A具有满意的一致 性，或其不一致程度是可以接受的；否则就调整成对

9、比较矩阵 A，直 到达到满意的一致性为止。例如对例2的矩阵2 1 1-41-31-31 1-21-71-rl-nno oo 1 -27 4 12 3=5.072 C7 =入旳 - §5-1"册查得 Rl=1.12，CIcr-r10.0181.12= 0.016 <01这说明A不是一致阵，但A具有满意的一致性，A的不一致程度是可接 受的。此时A的最大特征值对应的特征向量为U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。这个向量也是问题所需要的。通常要将该向量 标准化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于1。该特征向量标准化后变成

10、 U=(0.4759,0.2636,0.0538,0.0981,0.1087)Z。经过标准化后这个向量称为权向量。这里它反映了决策者选拔干部时，视品德条件最重要，其次是才能，再次是群众关系，年龄因素，最后才是资历。各因素的相对重要性由权向量U的各分量所确定。求A的特征值的方法，可以用MATLAB语句求A的特征值：Y,D二eig(A), Y为成对比较阵 的特征值，D的列为相应特征向量。在实践中，可采用下述方法计算对成对比较阵A=(a_ij)的最大特征值入ma(A)和相应特征向量的近似值。定义U* =可以近似地看作A的对应于最大特征值的特征向量计算1 A呼弟n匕堀nEL如阳可以近似看作A的最大特征

11、值。实践中可以由 入来判断矩阵A的一致性。层次总排序及决策现在来完整地解决例2的问题，要从三个候选人yi,y2,y3中选一个总体上 最适合上述五个条件的候选人。对此，对三个候选人 y二yi, y2, y3分别比较他 们的品德(Xi)，才能(X2)，资历(X3)，年龄(X4)，群众关系(X5)。先成对比较三个候选人的品德，得成对比较阵/?.1-UT-31经计算，B的权向量3 xi(Y) = (0.082,0.244,0.674)zE) = 3.002Q = 0.001, =牆 < 01故B的不一致程度可接受。3xi(Y)可以直观地视为各候选人在品德方面的得分。类似地，分别比较三个候选人的才

12、能，资历，年龄，群众关系得成对比较阵103 3 111 1-311 1- 1 -3=B31-41-4 14 1111通过计算知，相应的权向量为心 Y) = (0.606,0.265,0129)z助(F) = (0.429,0.429,0.143)z3立(F) = (0.636,0.185,0.179)心 y) = (0.167,0.167,0.667)'它们可分别视为各候选人的才能分，资历分，年龄分和群众关系分。经检验知B2, B3, B4, B5的不一致程度均可接受。最后计算各候选人的总得分。yi的总得分训如)=5j = 1 吗必沏i) = M574082+0郎 3x0 朋6+0.0

13、51x0 竝 9+()104x(L6366+(Ll(52x067030613从计算公式可知，y的总得分3( yi)实际上是y各条件得分3 xi(yi) , 3 x2(yi)，3 x5(yi),的加权平均，权就是各条件的重要性。同理可得y Y3的得分为3 z( y2) = 0.243,3 z( y3) = 0.452比较后可得：候选人y3是第一干部人选。层次分析法的用途举例例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后，在决定买那一款式时，往往不是直接拿电冰箱整体进行比较，因为 存在许多不可比的因素，而是选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱的容量、 制冷级别、价格、型号

14、、耗电量、外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种型 号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。借助这种排序，最终作出选购决策。 在决策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准的优劣排序一般是不一致的，因 此，决策者首先要对这7个标准的重要度作一个估计，给出一种排序，然后把 6种冰箱分别对每一个标准的排序权重找出来，最后把这些信息数据综合，得 到针对总目标即购买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量，决策就很容易了。层次分析法应用的程序运用AHP法进行决策时，需要经历以下 4个步骤：1、建立系统的递阶层次结构；2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重;4、计算当前一层元素关

15、于总目标的排序权重。5、进行一致性检验。应用层次分析法的注意事项如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量，甚至导致AHP法决策失败。为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：1、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；2、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。层次分析法应用实例1、建立递阶层次结构；2、构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）对各指标之间进行两两对比之后，然后按 9分位比率排定各评价指标的相对优劣顺序，依次构造出评价指标的判断矩阵。3、针对某一个标准，计算各备选元素的权重;关于判断矩阵权重计算的方法有两种，即

16、 几何平均法 （根法）和 规范列平 均法（和法）。（1）几何平均法 （根法）计算判断矩阵A各行各个元素mi的乘积；计算 mi 的 n 次方根；对向量进行归一化处理；该向量即为所求权重向量。（ 2）规范列平均法 （和法）计算判断矩阵A各行各个元素mi的和；将A的各行元素的和进行归一化；该向量即为所求权重向量。计算矩阵A的最大特征值？max对于任意的i=1,2,n,式中为向量AW的第i个元素（4）一致性检验构造好判断矩阵后，需要根据判断矩阵计算针对某一准则层各元素的相对 权重，并进行一致性检验 。虽然在构造判断矩阵 A 时并不要求判断具有一致性， 但判断偏离一致性过大也是不允许的。因此需要对判断矩

17、阵A进行一致性检验。为了计算各要素对上一层指标的影响权重（如内容的准确性对内容质量的影响 程度有多高，需要计算出该权重，而完整性、准确性和及时性3个指标对内容质量的影响权重的和为1,其它各指标也同样满足该原则），需要构建对比矩 阵，即从模型的第二层开始运用 9标度对从属于上一层中每个要素的同层各要 素间进行两两比较，如模型中的要素i相对于要素j对上层要素的重要程度，1 表示i与j同等重要，3表示i比j略重要，5表示i比j重要，7表示i比j 重要很多，9表示i比j极其重要，可以用 WW表示该重要程度，两两比较后 可以得到以下矩阵：WJWjWt/W3Wi/W3Wj/WfWj/W-LW3/W:W;/W3W3/WjW3/WtW3/W:W3/W3-*W3/Wj8Bn.W/WiWj/W2Wj/W3-WL/Wj.因为上面的矩阵是通过两两比较的结果列出来的，所有对于整个矩阵而言 不一定是完全一致的，所以首先需要验证该对比矩阵的一致性。可以通过计算矩阵的最大特征值的方法来衡量矩阵的一致性，相关的指标有一致性指标CI，随机一致性指标RI，一致性比率CR二CI/RI （具体的计算方法不详细介绍了， 可 以参考相关资料）。一般当CRvO.1时，我们认为该对比矩阵的一致性是可以被 接受的。如果矩阵的一致性满足要求，则可以根据矩阵的最大特征值进一步计算得 到对应的特征向量，并通过对特征向量进行标准化（