余弦定理知识点总结和同步练习

1、余弦定理教师：郭庆友(1)语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 (2)公式表达1、余弦定理：在DABC中，有 a2 =b 2 +c 2 -2bc cos A， b 2 =a 2 +c 2-2 ac cos B，c2=a2+b2-2 ab cos C余弦定理证明如上图所示，ABC 在 c 上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以 c 得到：运用同样的方式可以得到：将两式相加：向量证明1 / 92、余弦定理的推论：cos A =b2 +c 2 -a 2 a 2 +c 2 -b 2 a 2 +b 2 -c 2，cos B= ，cos C =2bc

2、2 ac 2 ab3、设 a 、 b 、 c 是DABC的角 A 、 B 、C的对边，则：若a2 +b 2 =c 2，则 C =90 ；若a2 +b 2 >c 2 ，则 C <90 ；若 a 2 +b 2 <c 2，则 C >90 注：此法可以进行三角形形状的判定：主要判定最大角的余弦值的正负号，若最大角的余弦 值为负数，也即最大角为钝角，所以此三角形为钝角三角形；若最大角的余弦值为0，也即 最大角为直角，所以此三角形为直角三角形；若最大角的余弦值为正数，也即最大角为锐角， 所以此三角形为锐角三角形；4、余弦定理的适用范围余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用

3、它可解决两类问题：已知三角形两边及夹角求第三边；是已知三个边求角的问题.若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。注：在两边一对角的三角问题中，也可以运用余弦定理方便快捷的求出第三边；余弦定理的 应用要比正弦定理范围广泛。直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值例题：1 在 DABC 中，已知 a =2 3 ，c = 6 + 2， B =600 ，求 b 及 A；解析：（1）b2=a2+c2-2ac cos B=(23)2+( 6 + 2)2-2×2 3 ×( 6 + 2) COS 45 0=12 +( 6 + 2) 2 -4 3(

4、3 +1)=8 b =2 2.2 / 9A2bc22´2 2 ´( 6 + 2)2 2 222bc2 2 22cos B ，2ac22×2×( 31)求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：1 ABC 中，已知 a2 6，b62 3，c4 3，b2 +c2 -a 2 (2 2) 2 +( 6 + 2 ) 2 -(2 3) 2 1解法一：cos A = = = ,求角 A，B，C.A =60.解法二：sina 2 3A = sin B = ×sin45 b 2 20,又 6 + 2 2.4 +1.4 =3.8,2 32´1.8 =3.

5、6,ac，即0 0A90 0,A =60.例 2：已知ABC 中， abc2 6 ( 31)，求 ABC 思各路角点的拨：度由数题目可获取以下主要信息：已知三边比例；求三角形的三内角解答本题可应用余弦定理求出三个角解题过程 abc2 6( 31)，令 a2k，b 6k，c( 31)k.由余弦定理，有b c a 6( 31)4 2cos A ，2 6×( 31) 2A45°.a c b 4( 31)6 1题后感悟 此题为“已知三边，求三角形的三个角”类型问题，基本解法是先利用余弦定 理的推论求一个角的余弦，再判定此角的取值，求得第一个角，再用正弦定理求出另一个角， 最后用三角

6、B形内60°.角和定C理，180°求出第三A个角(B一般180°地，先求45°最小角60°，再求75°.最大角)3 / 9b2222222ab 2×2 6×(62 3)22c22 2 22 2 22b方法二：由 b<c，B30° ，b>csin 30°知本题有两解csin B由正弦定理，得 sin C 3 3×312 32C60°或 120°.解析： 在ABC 中，由余弦定理得， 当 C60°时 A90°由勾股定a理abb2cc2(2

7、3.6)(623)(43) cos C 当 C120°时，A30°，ABC 为等腰三角形a24(3.31) 24 2( 31)2 .2C45°，sin C .由正弦定理得：sin A 例 3：22 6×asin C 2 1 .4 3a<c，A<C，A30°.B180°(AC)180°(30°45°)105°.已知：在ABC 中，b 3，c3，B30°，解此三角形解题过程方法一：由余弦定理：b a c 2accos B 得( 3) a 3 2×a×3

8、15;cos 30°a 3 3a60a 3或 a2 3当 a 3时，b 3，A30°，C120°.当 a2 3时，由正弦定理 sin A A90°，C60°.asin B 2 3sin 30° 1.33 / 96 22 2 2222 2 222 222 22方法二： ABC 中，由正弦定理得 sin B bsin Aa题后感悟2 可比较两种方法，从中体会各自的优点，三角形中已知两边及一角，有两种解 6×法，从而2摸索1出适合自己思维的解题规律和方法方法一利用余弦定理列出关于 a 的等量关 ，因为 b<a，所以 B30&

9、#176;，C105°，sin Csin 105°系建2立3方程，2运用解方程的方法求出 a 边的长，这样可免去判断取舍的麻烦方法二直接运用正弦定理，先求角再求边sin(45°60°)sin 45°cos 60° cos 45°sin 60° 6 24，2若将题中条件改为“b3，c2，A30 °”，应如何求解三角形？2 3×asin C 4则 c 33.sin A 22解析：直接运用余弦定理：a b c 2bccos A 3 (2 3) 2×3×2 3 ×cos 3

10、0°3，从而 a 3，cos Ba c b ( 3)(2 3)3 6 1 ，2ac 2× 3×2 3 12 2B60°，C180°AB180°30°60°90°.3在ABC 中，已知角 A，B，C 所对的三边长分别为 a，b，c，若 a2 3，b 6，A45°，求边长 c.解析：方法一 ：在 ABC 中，根据余弦定理可得 ab c 2bccos A，即 c 2 3c60，所以 c 3±3.因 为 c>0，所以 c 33.5 / 922222 222 2 22222 222ab 2

11、ac222 2 2 2 222bc· · ，4 分22 222 2 2222 24a2424a222定三角形形状2 2 22 2 22方法二：将已知等式变形为b (1cos C)c (1cos 考点二：判断三角形的形状B)2bccos Bcos C，2 分a b c a c b即 b c b ·( ) c ·( )例 5： 在ABC 中，若 b sin 2C +c sin 2B =2bc cos B cos C ，试判断三角形的形 状 a c b a b c思路点拨：由题目2ac可获取以下2ab主要信息：边角之间的关系：(absinb2Cc+c)sin(

12、a2B=c2bcbcos)BcosC；即 b c 确定三角形的形状4a解答本题先由正弦定2理将a，边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论； 也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确即 b c a ，10 分ABC 为直角三角形.12 分a b c规范作答 方法一：由 2R，sin A sin B sin C则条件转化为 4R ·sin C·sin B 4R ·sin C·sin B 8R ·sin B·sin C·cos B·cos C，又 sin B·sin C0，

13、sin B·sin Ccos B·cos C，6 分即 cos(BC)0.8 分又 0°<BC<180°，BC90°，10 分A90°，故ABC 为直角三角形.12 分6 / 92 2 22 2 2所以 cos A ，即 A60°.又因为 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，且 sin A2sin Bcos C，特别提醒又因为 A60°，所以 BC180°A120°，即 BC60°，题后感悟 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用

14、正、余弦定理将已 知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的 形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三 角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状4在ABC 中，(abc)(bca)3bc，且 sin A 2sin Bcos C ，试确定ABC 的形状解析： 因为(abc)(bca)3bc， 所以 a b c bc，1余弦定理与勾股定理之间的联系又由余弦定理有 a b c 2bccos A，(1)对于余弦定理 c 2 =a 2 +b 2 -2 ab cos C 中，若 C90°，则 c1勾股定理，也就2是说勾

15、股定理是余弦定理的特殊情况2=a2+b2，此即为(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，也是解三角形的重要工具 在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一 余弦定理也为求三角形的有关量(如面积、外接圆、内切圆等)提供了工具，它 可以所用以来sin判B定cos三C角形cos的B形sin状C，证即明sin(三B角形C)中的0，有所关以等B式，在一定程度上，它比正 弦定理的应用更加广泛C，在利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理 中涉及的是边长的平方，求得结果常有两解，因此，解题时需特别注意三角形三 边长 所应满足的基本条件故ABC 为等边三角形2

16、解三角形问题的类型7 / 92 2 2 22ab 2k(k2)k 4k12<0，解得2<k<6，2222【错因】 忽略隐含条件k(k2)>k 4，即 k>2，2ab2解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和 定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再 由【三错角解形】内角和c>定b>理a求且第ABC三个为角钝，再角由三正

17、角弦形定，理求C第为三钝边角.若所给边不是已知 角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边a b c k 4k12(3)由已余知弦两定边理和得它cos们的C夹角，解三角形<0.此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一 角2，最后用三角形内角和定理求第三个角(4)已知三角形的三边，解三角形此又种情k况为的三基角本形解的法边是长先，用余k弦>0定，理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出 另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角故由知 0<k<6.要解三角形，必须已知三角形的一边的长若已知条件中一条边的长也不给出，

18、 三角形可以是任意的，因此无法求解已知钝角三角形的三边 ak，bk2，ck4，求 k 的取值范围【正解】c>b>a 且ABC 为钝角三角形，C 为钝角a b c k 4k12由余弦定理得 cos C <0，2k(k2)而不是 k>0.k 4k12<0，解得2<k<6，又由两边之和大于第三边，得 k(k2)>k4 ，k>2，由可知 2<k<6.1.1.2余弦定理 同步练习一、选择题1在ABC 中， a2-c2+b2=ab，则角为（ ）8 / 9ABCABC 300 600 45 0 或135 0 1200在ABC 中，已知 的值为（ ）4 6 6，