5-2单目标函数最优化

1、单目标函数最优化1基本概念（1）设计变量（决策变量）：在设计过程中进行选择并最终必须确定的各项独立参数。（2）最优化设计的维数：决策变量的数目称为最优化设计的维数，比如：1维、2维、3维设计问题。（3）设计空间：在最优化设计中由各决策变量的坐标轴所描述的空间称为设计空间。 当决策变量数目大于 3时，n维空间又称为 超越空间。注意：设计空间中的一个点（一组决策变量的值）就是一种设计方案。（4）目标函数：用决策变量表示的、反应所设计问题性能的函数表达式。注意：最优化设计的过程就是选择合理的决策变量，使目标函数达到最优或找出目标函数的最小值（或最 大值）的过程。（5）单目标函数最优化问题：目标函数只

2、有一个。（6）多目标函数最优化问题：目标函数（性能指标）有多个。（7）无约束优化、约束优化（8）线性规划（Lin ear Programmi ng，简记为LP）:目标函数和约束条件都是自变量（包括决策变量和 非决策变量）的线性函数。非线性规划（Nonlinear Programming，简记为NP）:如果目标函数和约束函数中至少有一个是自变 量的非线性函数，这种规划问题就称为非线性规划问题。2单目标函数最优化问题exa:（生产计划问题）某企业计划生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同设备上加工。每单位产品所耗用的设备工时、单位产品利润及各设备在某计划期内的工时限额如表1。试问应

3、如何安排生产计划，才能使企业获得最大利润。表1设备单位产品耗工时甲乙工时限额A116B128C026单位利润34（1） 数学模型（优化模型）的建立决策变量：计划期内甲、乙两种产品的产量，分别用x1、x2表示，其取值均为非负;目标函数：计划期内两种产品的总利润，用z表示，即z = 3x1 4x2问题：总利润最大，即max z = 3x1 4x2约束条件：X1、X2受到工时限额的约束，即X1X2 乞 6x1 2x2 乞 8同时，甲、乙产品的产量为非负的，应有Xi 丄 0 , X2_ 0综上，该问题的数学模型（优化模型）为max z =3xi 4x2s.t.x + x2 < 6捲 +2x2 兰

4、8（i）2x2 乞 6Xi, X2 0其中，“ st. ”为"subject to”（受约束于）的缩写。（2）模型求解方法：线性规划的图解法图解法适用条件：2维优化问题（几何含义： XOY二维坐标系），即只有两个决策变量。解可行域图形的确定LP模型所有约束条件构成的公共部分。称为可行域图形。因为Xi,X2 _0，可行域在第一象限。第一个约束条件xi X2 _6表示半平面，此半平面是以直线xi X2冬6为边界的在其左下方第一象限部分。类似地，可求出其余约束条件表示的半平面部分（见图i）。图中的凸多边形 OABCD即为该例的可行域图形。图i凸多边形（包括其边界）上的每一点，都是本例LP模

5、型的一个可行解。因此凸多边形区域 OABCD是该LP模型的可行解的集合， 称为可行域，可行域中使目标函数达到最大 （或最小）的点为最优点， 最优点对应的坐标即为 LP的最优解，相应的函数值称为最优值。目标函数的等值线与最优点的确定考虑本例的目标函数z = 3xi 4x2它代表以z为参数，-3/4为斜率的一簇平行线。由小到大给z赋值，如令z = 0,4,12等可得到一组平行线（见图 1）,而位于同一直线上的点，具有相 同的目标函数值，因而称其为等值线。垂直于这组平行线画一直线，取z值沿此直线递增的方向，即为直线簇 z =3xi +4X2的法线方向（如图1），其为z值增加最快的方向。沿法线方向平行

6、移动直线z=3xi 4x2，当移动到B点时，z值在可行域上达到最大，从而B为最优点。求出B点坐标，解乂 +2x2 =8% + x2 = 6得 Xi = 4， X2 = 2，最优值为 Zmax = 20。故本例的最优生产方案为：日产甲产品4件，乙产品2件，每天可得最大利润20千元。（3）图解法求解工具：AutoCAD; MATLABAutoCAD 步骤：1） 设置极限（limits）:（-10，-10），（ 10，10）2） 设置栅格间距：0.53）打开栅格；4） 绘制可行域图形（由各个约束条件对应直线构成的闭合凸多边形）；5） 绘制目标函数对应直线（等值线）；6） 沿目标函数法线方向平移目标函数等值线（ofset）;7） 确定最优解，利用目标捕捉工具获取最优解对应点坐标（id）。MATLAB :函数：linprog函数（具体参见该函数语法手册）求解问题：最小化问题 minf（x），约束条件为 A*x<=b格式：x=linprog（f,A,b,lb）,lb为向量 X （x1,x2 ）的下限实例中目标函数（1）需转换为等效