一线三等角专题训练

1、一、问题引入如图，ABC中，B求证： ABBA CED一线三等角问题90 , CD AC，过D作DE AB交BC延长线与 巳其他常见的一线三等角图形（等腰三角形中底边上一线三等角）角）（等腰梯形中底边上一线三等F（直角坐标系中一线三等角）（矩形，正方形中一线三等角）（1）等腰三角形中一线三等角例1、如图，已知在厶ABC中，AB=AC=6, BC=5, D 是 AB 上一点，BD=2, E 是 BC 上一动点，联结DE,并作 DEFB，射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBEA ECF；（2）当F是线段AC中点时,求线段BE的长；（3）联结DF,如果 DEF与厶DBE相似，求FC的长.（1、

2、 本题中，第一问的结论是这类题共同的特性，只要等腰三角形底边上有三等角，（必用图） 有三角形相似；（2、 第二问中根据相似求线段的长，也很常见；有时候会反过来问，线段的长是多少时,三角线相似。变式练习 1就是这类题型；（3、 第三问，中间的三角形与左右两个形似时，有两种情况，一种是DF与底边平行，一种是E为中点；（4、 在等腰梯形中，将腰延长会交于一点，也构成等腰三角形，故而以上三点，在等腰 梯形中也适用。变式练习1 （浦东新区22题）如图，已知等边厶 ABC的边长为8，点D、F、E分别在边 AB、BC、AC上，BD 3，E为AC中点，当 BPD与厶PCE相似时，求 BP的值变式练习2 （宝山

3、22题）如图6，已知 ABC中，AB AC ,点E、F在边BC上，满足/ EAF =/ C.求证:2BF CE AB ；（2 ）等腰梯形中一线三等角 例2.（长宁区18题）如图，等腰梯形 ABCD中，AD / BC , AD .2 , BC 4.2 ,/ B 45?,直角三角板含45度角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F 若 ABE为等腰三角形，则 CF的长等于.EC例3（徐汇区25）.如图，在梯形ABCD中，AD / BC , AB CD BC 6 , AD 3 点M为边BC的中点，以M为顶点作 EMF 交腰CD于点F，联结EF (1) 求证： MEF BEM

4、;(2) 若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求(3) 若EF CD，求BE的长.B，射线ME交腰AB于点E，射线MFEF的长;例4、(杨浦区基础考) 四边形ABCD中，AD / BC , ABC0°90° ,AB DC 3, BC 5 点P为射线BC上动点(不与点 B、C重合)，点E在直线DC上，且 APE 记 PAB 1, EPC2, BP x, CE y .(1) 当点P在线段BC上时，写出并证明1与 2的数量关系；(2) 随着点P的运动，(1)中得到的关于1与 2的数量关系，是否改变若认为不改变,请证明；若认为会改变，请求出不同于(1)的数量关系，并指出相应的 x的

5、取值范围；1(3 )若cos =，试用x的代数式表示y .(3) 坐标系中一线三等角4例5.(金山区24)如图，住平面直角系中，直线 AB : y -x 4 a 0分别交x轴、ya轴于B、A两点，直线AE分别交x轴、y轴于E、A两点，D是x轴上的一点，OA OD，过D作CD x轴交AE于C，连接B C，当动点B在线段OD上运动(不与点0点D重合)且AB BC时(1)求证： ABO s BCD ;求线段CD的长(用a的代数式表示)；13(3)若直线AE的方程是yx b，求tan BAC的值.16变式练习3、在平面直角坐标系AOB 900, A 60°,点 A 的坐标为.3,1(1) 求

6、点B的坐标；(2) 若抛物线y ax2 bx c经过A、O、B三点，求函数解析式。(4) 矩形中一线三等角例6、(长宁区24题).如图，在矩形 ABCD中，AB 4 , AD 6，点P是射线DA上 的一个动点，将三角板的直角顶点重合于点 P，三角板两直角中的一边始终经过点 C，另 一直角边交射线BA于点E (1) 判断 EAP与厶PDC 一定相似吗请证明你的结论；(2) 设PD x , AE y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；(3) 是否存在这样的点 P，是 EAP周长等于厶PDC周长的2倍若存在，请求出 PD的 长度；若不存在，请简要说明理由.p一线三等角与因动点产生的等腰三角形问题的综合题目(徐汇 24)如图，等腰梯形ABCD 中，AD II BC , AB DC 5, AD =2, BC =8,MEN B MEN的顶点E在边BC上移动，一条边始终经过点A，另一边与CD交于点F ,联接AF.(1) 设BE x, DF y，试建立y关于x的函数关系式，并写出函数定义域;(2) 若 AEF为等腰三角形，求出 BE的长.4（虹口期中 24）梯形 ABCD,AD/ BC,AB=CD=5 AD=, sinB=-,E 在 AB 边上，BE=3, P 是 BC上动5点，联结