三角函数、三角变换、解三角形

1、三角变换、三角函数、解三角形一 知识梳理1.三角变换公式（掌握其形成的过程，结构特征及作用）（1）同角公式作用（2）诱导公式：简记：作用：变角（3）和、差公式：:特征：先正余积后余正积中间符号成正比： 特征：先余积后正积中间符号成反比：特征：作用（会正用，逆用，变形用） （4）倍角公式作用注：三角变换就是统一角（变角），统一名（变名），统一（变）结构的过程。 2.三角函数（1）（2）画法：五点作图法单调性、周期性、最值（注意角的范围，数形结合法）、对称中心、对称轴的求法图像变换：注意：变换前后函数解析式必须为同名的“三个一结构”：逆向思维：由局部图像求解析式3.正弦定理、余弦定理（1）正弦定理

2、：（2）余弦定理作用：注：可解的三角形满足的条件斜三角形（3）三角部分高考常考题型及解法题型一：三角求值问题类型1：无条件求值解法：通过三角变换使待求式出现例：求下列各式的值类型2：条件求值型（）已知一个或两角的三角函数值，求另一相关角的三角函数值解法：先找到待求式中相关角与该角的关系（和，差，倍半，补，余关系），再选用相应三角变换公式求解例：（2011辽宁）设sin，则 A(A) (B) (C) (D)（2011浙江）若，则 C （A） （B） （C） （D）练习1：已知2:已知型（）已知三角函数值或式子的值，求另一三角函数式的值解法：例1.（1）已知（2）（2011新课标）（3）（2011

3、重庆）已知，且，则的值为_（4）（2011江苏）已知 则的值为_解析：例2.（1）（2008山东）已知，则的值是C（A）-（B） (C)- (D) (2)(2007新课标)，则（3）（2011天津）已知函数，（）求的定义域与最小正周期；（）设，若求的大小型二：函数解法：首先利用三角变换（变角、变名）将进而化成（，再求解例1.（2008山东）已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）美洲f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.解：（）f(

4、x)2sin(-)因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因为0，且xR,所以cos（-）0.又因为0，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由题意得故f(x)=2cos2x.因为（）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象. 当2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区间为(kZ)例2.（2010山东）

5、 已知函数，其图像过点。（）求的值；() 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。例3.若函数（1）求拓展：已知，若求：的单调递减区间练习：（2011北京）已知函数。（）求的最小正周期：（）求在区间上的最大值和最小值。【解析】：（）因为所以的最小正周期为（）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值1型三（一）类型1：已知两角或其三角函数值大小，求第三角的三角函数值解法：利用同角公式求出两角的另一弦函数值，再由内角和定理、诱导公式、和差公式求第三角三角函数值。类型2：利用正余弦定理，解决实际问题解法：（1）画出正确示意图（2）标出已知，待

6、求量，并构造可解三角形（3） 可解三角形 （4）回归例1.（2010陕西） 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？例2.（2007山东）已知函数f(x)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（）美洲f（）的值；（）将函数yf(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求g

7、(x)的单调递减区间.解：（）f(x)2sin(-)因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立，因此sin（-）sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得sincos(-)=0.因为0，且xR,所以cos（-）0.又因为0，故-.所以f(x)2sin(+)=2cos.由题意得故f(x)=2cos2x.因为（）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象. 当2k2 k+ (kZ), 即4kx4k+ (kZ)时，g(x)单调递减. 因此g(x)的单调递减区

8、间为(kZ)类型3：利用利用正余弦定理及面积公式，边角面积的（涉及到边与角）解法：据已知及待求，选择正（）进行边角转化例1（2011山东） 在中，内角的对边分别为，已知，（）求的值；（）若，求的面积S。类型4：的定形问题解法：利用正余弦定理将边角关系转化型四：三角函数的图像、性质与的综合例1（1）（2010重庆）设函数。（I） 求的值域；（II） 记的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。（2）（2009山东） 设函数。（）求函数的最大值和最小正周期；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）设A，B，C为的三个内角，若，且C为锐角，求。解: （1）f(x)

9、=cos(2x+)+sinx.=所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）=, 所以, 因为C为锐角, 所以,又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .例2（1）（2010广东）已知函数在时取得最大值4。（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若，求。，（2）（2008广东）已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值解：（1）依题意有，则，将点代入得，而，故；（2）依题意有，而，。(2009山东) 将函数y=的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的

10、函数解析式是 （A）y= （B）y= （C）y=1+ （D）y=（2010山东）（2010山东）（2011山东）若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则A. B. C. D. 答案应选C。（2012山东）已知向量，函数的最大值为6.（）求；（）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.（2012山东）若，则D（A） （B） （C） （D）(2013山东)将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为(B)A B C0 D(2013山东)(本小题满分12分)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值； (2)求sin(AB)的值解：(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B.由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为