最新人教a版必修1学案：3.1函数与方程含答案

1、最新人教版数学精品教学资料第三章函数的应用§3.1函数与方程【入门向导】详释二分法关于这个问题的回答，我们不妨先来看一段cctv2幸运52的一个片段：主持人李咏(以下简称李)说道“猜一猜这件商品的价格”甲：2 000！李：高了！甲：1 000！李：低了！甲：1 700！李：高了！甲：1 400！李：低了！甲：1 500！李：低了！甲：1 550！李：低了！甲：1 580！李：高了！甲：1 570！李：低了！甲：1 578！李：低了！甲：1 579!李：这件商品归你了下一件有一位老师和他的三位学生做了如下问答：老师：如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？钱立恒：先初步估算一个价格，如果

2、高了再每隔十元降低报价方仕俊：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价如果低了，每隔50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价侯素敏：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价侯素敏的回答是一个比较准确的结果，所采用的方法就是二分法的思维方式区间逼近法函数零点求解三法我们知道，如果函数yf(x)在xa处的函数值等于零，即f(a)0，则称a为函数的零点本文现介绍函数零点求解三法一、代数法例1 求函数f

3、(x)x22x3的零点解令x22x30，224×(3)16>0，方程有两个不相等实数根方法一因式分解法或试根法x22x3(x3)(x1)或由f(x)x22x3，试一试f(1)122×130，f(3)(3)22×(3)30.所以f(x)的零点为x11，x23.方法二配方法x22x3(x1)240，所以x1±2.所以零点x11，x23.方法三公式法x1,2.所以零点x11，x23.点评本题用了由求函数f(x)的零点转化为求方程f(x)0的实数根的办法运用因式分解法或试根法、配方法、公式法，以上统称为代数法二、图象法例2 f(x)log3(x3)4x的零

4、点情况是()a有两个正零点 b有两个负零点c仅有一个零点 d有一个正零点和一个负零点解析设g(x)log3(x3)，h(x)4x，在同一坐标系内作出它们的图象(如右图)由图易知，两图象有两个交点且分别在y轴两侧，所以函数有一个正零点和一个负零点故选d.答案d点评求函数yg(x)h(x)的零点，实际上是求曲线yg(x)与yh(x)的交点的横坐标，即求方程g(x)h(x)0的实数解三、用二分法求函数近似零点例3 用二分法求函数f(x)x33的一个正零点(精确到0.01)解由于f(1)2<0，f(2)5>0，因此区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表：端点(中点)坐标计算

5、中点函数值取值区间f(1)2<0f(2)5>01,2x11.5f(x1)0.375>01,1.5x21.25f(x2)1.047<01.25,1.5x31.375f(x3)0.400<01.375,1.5x41.437 5f(x4)0.029 5<01.437 5，1.5x51.468 75f(x5)0.168 4>01.437 5，1.468 75x61.453 125f(x6)>01.437 5，1.453 125x71.445 312 5f(x7)>01.437 5，1.445 312 5因为1.445 312 51.437 50.0

6、07 812 5<0.01，所以x81.44为函数的一个近似解点评首先确定正零点所在的大致区间，区间长度尽量小，否则会增加运算次数和运算量，应注意运算的准确性，也应注意对精确度的要求二分法在经济和科学技术中的应用应用问题：市场的供需平衡问题详释：市场经济价格自行调整，若供过于求，价格会跌落，若供不应求，价格会上涨，找一个价格平衡点，应怎样找？不妨试着求一下例4 某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表1市场供给表单价(元/kg)22.42.83.23.64供给量(1 000 kg)506070758090表2市场需求表单价(元/kg)4

7、3.42.92.62.32需求量(1 000 kg)506065707580根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间()a(2.3,2.4)内 b(2.4,2.6)内c(2.6,2.8)内 d(2.8,2.9)内解析由图表分析比较知，市场供需平衡点应在中间某个值，又供给量与需求量均为70×1 000 kg时，供给单价和需求单价相差最小为0.2，其他的均大于0.2，所以价格在(2.6,2.8)时最有可能达到供需平衡答案c点评充分阅读题目，理解题意，把两表中的信息与题目要求结合起来，可找到答案二分法在日常生活中的应用应用问题：运用二分法查线路故障详释：在

8、日常生活中，经常遇到电线或电话线、网线等出现故障我们不妨用二分法排查一下例5 在一个风雨交加的夜晚，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，维修工人需爬上电线杆测试，你能帮他找到一个简便易行的方法吗？解如图所示，他首先从中点c查用随身带的话机向两端测试时，发现ac段正常，断定故障在bc段，再到bc段中点d，这次发现bd段正常，可见故障在cd段，再到cd中点e来查每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50100 m左右，即一两根电线杆附近，这样只需查7次就可以了点评有步骤地缩小解所在的区间，是二分法

9、的重要数学思想，本题的实际问题也体现着这种思想函数的零点错例剖析一、忽略了概念例6 设函数yf(x)在区间(a，b)上连续，且f(a)·f(b)>0，则有结论：函数yf(x)在区间(a，b)上不存在零点判断该命题是否正确错解正确剖析对区间(a，b)上的连续函数yf(x)，若f(a)·f(b)<0，则必存在零点；反之，则不然正解无法判断是否存在零点及零点个数问题如函数f(x)x2，f(1)f(1)1>0，而在区间(1,1)上显然存在零点故该命题不正确点评(1)函数yf(x)的图象在区间(a，b)上连续且有f(a)·f(b)<0，所得在(a，b

10、)上存在的零点叫做变号零点；有时曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点；(2)零点定理仅能判断当函数yf(x)在区间(a，b)上是连续曲线，并且f(a)·f(b)<0时，在(a，b)上至少存在一个零点，而无法确定零点个数二、忽略了分类讨论例7 若函数yax22x1只有一个零点，求实数a的取值范围错解由题意可得，实数a所满足的条件为44a0，a1.剖析没有对系数a进行分类讨论，单从表象而误认为已知函数为二次函数正解(1)当a0时，y2x1，有唯一零点；(2)当a0时，由题意可得44a0，解得a1.综上，实数a的取值范围为a0或a1.点评对最高项字母系数分类讨论是重要且常见

11、的题型，是分类讨论思想的主要体现之一三、忽略了区间端点值例8 已知f(x)3mx4，若在2,0上存在x0，使f(x0)0，求实数m的取值范围错解因为在2,0上存在x0，使f(x0)0，则f(2)·f(0)<0，所以(6m4)·(4)<0，解得m<.故实数m的取值范围为(，)剖析本题的x0在2,0上可取到端点，即f(2)·f(0)0.正解由f(2)·f(0)0，解得m.故实数m的取值范围为(，点评区间值要全部考虑到，做到不重不漏四、图象应用例9 已知函数yx(x1)(x1)的图象如图所示，今考虑f(x)x(x1)(x1)0.01，则方程f

12、(x)0()a有三个实根b当x<1时恰有一实根c当1<x<0时恰有一实根d当0<x<1时恰有一实根e当x>1时恰有一实根错解将已知函数图象向上平移001个单位(如图所示)，即得f(x)x(x1)(x1)0.01的图象故选b项剖析肉眼观察无法替代严密的计算与推理，容易“走眼”正解f(2)<0，f(1)>0，f(2)·f(1)<0，b项正确又f(0)>0，c项错误而f(0.5)<0，f(1)>0，f(x)0在区间(0,1)上有两个实根，则d项错误，e项也错，并且由此可知a项正确故选a、b两项点评应用数形结合思想处理方

13、程问题，直观易懂，注意图象要力求精确；解答多项选择题，需逐项验证才可选出答案，解单选题时所用的排除法已无法奏效.函数与方程，唇齿相依函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数yf(x)(如果yax2bxc可以写成f(x)ax2bxc，即yf(x)的形式)，当y0时，就转化为方程f

14、(x)0，也可以把函数式yf(x)看作二元方程yf(x)0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应牢牢掌握下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例一、判断方程解的存在性例1 已知函数f(x)3x32x21，判断方程f(x)0在区间1,0内有没有实数解？分析可通过研究函数f(x)在1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解解因为f(1)3×(1)32(1)214<0，f(0)3×032×0211>0，所以f(1)·f(0)<0.又因为函数f(x)3x32x21的图象是连续的曲线，所以f(x)在1,0内有零点，即方程

15、f(x)0在区间1,0内有实数解点评要判断f(x)0是否存在实根，即判断对应的连续函数yf(x)的图象是否与x轴有交点因此，只要找到图象上的两点，满足一点在x轴上方，另一点在x轴下方即可二、确定方程根的个数例2 若f(x)ax3ax2(a0)在6,6上满足f(6)>1，f(6)<1，则方程f(x)1在6,6内的解的个数为()a1个 b2个 c3个 d4个分析利用等价转化将方程根的问题化为函数的零点问题，再结合函数零点的性质进行判断解析设g(x)f(x)1，则由f(6)>1，f(6)<1得f(6)1f(6)1<0，即g(6)g(6)<0.因此g(x)f(x)1

16、在(6,6)有一个零点由于g(x)ax3ax1(a0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点因此方程f(x)1仅有一个根故选a.答案a点评在区间a，b上单调且图象连续的函数yf(x)，若f(a)·f(b)<0，则函数yf(x)的图象在(a，b)内有惟一的零点三、求参数的取值范围例3 已知一次函数y2mx4，若在2,0上存在x0使f(x0)0，则实数m的取值范围是_分析将方程解的问题，转化为一次函数在区间上有零点的问题，最后通过不等式求得m的范围解析因为一次函数f(x)在2,0上存在x0使f(x

17、0)0，即函数f(x)在2,0内有一个零点，所以f(2)f(0)0.即(4m4)(04)0，解得m1.答案m1点评本题对方程实根的研究转化为对一次函数f(x)在2,0上有一个零点的研究，最后建立关于m的不等式求出m的取值范围整个解题过程充满了对函数、方程、不等式的研究和转化，充分体现了函数与方程的相互作用巧用零点与方程根的关系求系数范围例4 已知函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则()ab(，0) bb(0,1)cb(1,2) db(2，)分析本题主要考查函数的零点及待定系数法，解答时从图中获取正确信息是解答的关键解析方法一从图中可以得f(0)0，d0，由图可知f(x)有三个零点，

18、故可设函数的解析式是f(x)ax(x1)(x2)ax33ax22ax.当x>2时，f(x)>0，因此a>0，b3ab<0.方法二由f(0)0，得d0，又f(1)0，abc0又f(1)<0，即abc<0得2b<0，b<0.答案a例5 已知关于x的方程2kx22x3k20的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围分析若直接利用求根公式解题，则要解复杂的无理不等式组如果从函数观点出发，令f(x)2kx22x3k2，则由根的分布，函数f(x)的图象只能如图所示. 对应的条件是或解出即可解令f(x)2kx22x3k2，为使方程f(x)0的两实根一

19、个小于1，另一个大于1，只需或即或解得k>0或k<4.故k的取值范围是k>0或k<4.点评本题是一个利用函数图象解方程根的分布问题的典例一般的，关于根的分布问题，可引入函数，由函数图象的特征联想解决，使问题得到巧妙解决二分法思想的应用“逐步逼近”是重要的数学思想，同学们现在学习的求方程近似解的“二分法”就充分运用了这一思想“考察极端”、“化整为零”、“无限分割”等都是这一数学思想的具体体现作为研究和解决问题的思想方法，“逐步逼近”渗透在中学数学的许多内容中，比如初中学习的圆面积公式，就是由正多边形“逐步逼近”圆推导的；又如两个集合相等，就是由集合间的子集关系“逼近”的(

20、即ab且baab)；再如，由“有理数逼近无理数”使我们认识了实数指数幂等，在以后的学习中，我们还会看到这一思想的运用(如球的表面积和体积公式的推导)下面通过“两边夹法则”的应用来体会和领悟“逐步逼近”思想的奥妙两边夹法则：如果实数a，b满足ab，且ba，则ab.例6 已知a，b，c是实数，函数f(x)ax2bxc，g(x)axb.当a>0，1x1时，|f(x)|1且g(x)的最大值为2，求f(x)解a>0，g(x)axb在1,1上是增函数又g(x)在1,1上的最大值为2，g(1)2，即ab2.于是f(1)f(0)2.由题设有1f(0)f(1)2121，f(0)1，从而c1.又由题设

21、知f(x)1f(0)，二次函数f(x)的对称轴为x0，于是0，得b0，将其代入，得a2.f(x)2x21.山重水复疑无路，柳暗花明又一村探索解题方法对一个数学问题的分析与求解是有过程的，谁都无法保证“一顺百顺”，特别是面对一些综合题更是如此分析时“条条是道”，求解时却“处处碰壁”这些都是正常的当我们的思维受挫时，该怎样处置倒是十分关键的本文告诉你：注意分析细节，就会柳暗花明的，请看：题目：已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)，x1<x2且f(x1)f(x2)，求证：方程f(x)f(x1)f(x2)有两个不等的实根，且必有一根属于(x1，x2)分析一：数形结合，从图象分析入手，分别作出

22、两函数y1ax2bxc与y2f(x1)f(x2)的图象，直观上可以看出两函数有两个不同的交点方法一由于f(x)ax2bxc是二次函数，不妨设a>0，则函数y1ax2bxc的图象开口向上而y2f(x1)f(x2)的图象呢？是一条平行于x轴的直线此直线与二次函数图象有两个不同的交点吗？由于f(x1)与f(x2)不是具体数值，无法肯定啊！思维受挫！分析细节：f(x1)与f(x2)是函数f(x)ax2bxc分别在x1，x2处的函数值，这两个值与最小值有什么关系，由于f(x1)f(x2)，说明f(x1)f(x2)一定比最小值大；若y2的值就是最小值，此时，直线与二次函数图象相切于顶点，而f(x1)

23、f(x2)大于最小值，则y2f(x1)f(x2)与二次函数图象一定有两个不同的交点又因为minf(x1)，f(x2)f(x1)f(x2)maxf(x1)，f(x2)，故必有一根属于(x1，x2)分析二：通过方程的系数进行分析，计算方程f(x)f(x1)f(x2)的“b24ac”，然后，再结合函数零点的存在定理方法二由f(x)f(x1)f(x2)，得2ax22bx2cf(x1)f(x2)0.那么(2b)24×(2a)·2cf(x1)f(x2)4b24ac2af(x1)2af(x2)此式大于零吗？不能判断它是否大于零，又如何产生根的范围呢？思维又受挫！分析细节在上式中存在f(x

24、1)与f(x2)，可否将其替换呢？于是4b24ac2a(axbx1c)2a(axbx2c)2(4a2x4abx1b2)2(4a2x4abx2b2)2(2ax1b)22(2ax2b)20.又x1<x2，得>0，因此方程有两个不等的实根又设g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x1)g(x2)f(x1)f(x1)f(x2)·f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)2<0.说明g(x1)与g(x2)异号，即f(x1)f(x2)f(x1)，f(x2)故方程必有一根属于(x1，x2)通过本例，我们可以看出：当思维受挫时，仔细去分析细节，通过细节使问题获解是重要

25、的思维策略，有必要真正掌握.高考中的函数与方程函数与方程是高中数学的重要内容，尤其是二次函数与二次方程，它们有着密切的关系，函数可以看作方程，某些方程又可以看作是函数关系在解决有关问题时，函数、方程常相互转化本文精选历年高考试题为例加以说明1(上海高考)对于函数f(x)，若存在x0r，使f(x0)x0成立，则称x0为f(x)的不动点已知函数f(x)ax2(b1)xb1 (a0)(1)当a1，b2时，求函数f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围分析抓住函数f(x)的不动点概念列出方程，即可解决问题(1)；利用方程恒有一个实数解的条件可解决问题(2

26、)解(1)当a1，b2时，f(x)x2x3.由题意知xx2x3，得x11，x23.故当a1，b2时，f(x)的两个不动点为1和3.(2)f(x)ax2(b1)xb1 (a0)恒有两相异不动点，xax2(b1)xb1，即ax2bxb10恒有两个相异的实数根，b24ab4a>0 (br)恒成立于是(4a)216a<0，解得0<a<1.故当br，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围0<a<1.点评本题中的新情境不动点，它的实质就是方程f(x)x的根2(聊城模拟)若关于x的方程x23xa0两根中有一根在(0,1)之间，求实数a的取值范围分析本问题可转化为函数

27、yx23xa有两个零点，其中有一个在(0,1)内那么，我们就可以借助函数的图象，利用函数在(m，n)内有零点的条件f(m)·f(n)<0，求a的取值范围解根据题意，函数yx23xa有两个零点，其中有一个在(0,1)内，作函数yx23xa的大致图象，如图所示，则可得解得0<a<2.故a的取值范围是(0,2)点评利用二次方程的根的分布求参数取值范围常利用数形结合思想确定条件需从三个方面考虑：判别式；对称轴直线x与区间端点的关系；区间端点函数值的正负3(浙江高考)若f(x)和g(x)都是定义在实数集r上的函数，且方程xfg(x)0有实数解，则gf(x)不可能是()ax2x

28、 bx2xcx2 dx2分析由于本题未知函数f(x)、g(x)的类型，试图用待定系数法去解决比较困难故可采用较灵活的方法逐一验证法解析若gf(x)x2x，不妨设f(x)x2x，g(x)x，由方程xfg(x)0即得x20，显然，x20有解故函数gf(x)有可能为x2x.若gf(x)x2x，不妨设f(x)x2x，g(x)x，由方程xfg(x)0，即得x20.显然，x20无解故函数gf(x)不可能为x2x.对于c、d两答案，同理可得可能为gf(x)答案b点评本例求解过程是先将函数分拆成两个具体的函数，再转化为具体的方程，然后，通过研究方程的根的存在性转化为判断函数的可能性4设函数yf(x)的定义域为实数集r，如果存在实数x0，使得x0f(x0)，那么x0为函数yf(x)的不动点，下列图象表示有且只有两个不动点的函数图象是()分