山财自考37线性代数考核作业

1、线性代数（经管类）综合试题一（课程代码4184 ）、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。aLl c2 fl13一2 吗 I 1 ¾5¾ ¾ *2*¾ 3i1- ¾1.设 C=1¾ OH=M0,贝y D=H 吗1 - ¾2 ¾(B) A. 2MB.2 M C.6MD.6 M2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB=AC必能推出B=应满足A. A O B. A= O C.A= 0D. |A| 03.设

2、A, B均为n阶方阵，则(A)B.(A+B)2=A2+2ABhB"A. | A+AB=O ,则 I H=O 或I E+B=0C.当 AB=O时，有 A=O或 B=O D.( AB-I=B1A14.二阶矩阵A（a EA.Cd -ti>Jr r 爪仏MI-C oJC.D.y,A=1 ,则 A1 =(B)B."',贝S下列说法正确的是（B ）.A. 若两向量组等价，则S = t .B. 若两向量组等价，则r（F4"）= r（用'"旷 屈）c.若S = t ,贝y两向量组等价D.若r（叫宀）=Tgh尼、,则两向量组等价.6. 向量组叫叫a-

3、线性相关的充分必要条件是（ C ）.A. 中至少有一个零向量B. 心卜叫” 心 中至少有两个向量对应分量成比例C. r"°J川&中至少有一个向量可由其余向量线性表示D. 笔可由线性表示7. 设向量组T-有两个极大无关组%耳与 吟叫存应尸,则下列成立的是（C ）.A. r与S未必相等B. r + S= mC. r = SD.r + S > m8. 对方程组AX = b与其导出组AX = 0,下列命题正确的是（D ）.A. AX = o有解时，AX = b必有解.B. AX = o有无穷多解时，AX = b有无穷多解.C. AX = b无解时，AX = o也无解.

4、D. AX = b有惟一解时，AX = o只有零解.2j + ¾ = 0I j + fa = 09. 设方程组-有非零解，则k = （ D）.A. 2 B. 3 C. -1 D. 1阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（D）.A. | A>0B.存在n阶方阵C使A=CTCC.负惯性指标为零D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 四阶行列式D中第3列元素依次为-1 , 2, 0, 1 ,它们的余子式的值依次为5, 3, -7 , 4,则D =-1512. 若方阵A满足A= A ,且A E,

5、则IH= O .13. 若A为3阶方阵，且|X|_2 ,则|2A= Arl O -1 D2 -114.设矩阵丿的秩为2,则t =亘& 115.设向量 = (6，8, 0)，P =(4，- 3, 5)，则(立/)= 016. 设n元齐次线性方程组 AX = o，r(A)= r V n，则基础解系含有解向量的个数为n-r个.17. 设F = (1 , 1, 0),叫=(0 ,1,1),国=(0 , 0, 1)是 R 的基, 则"=(1 , 2, 3)在此基下的坐标为(1,1,2 )18.设A为三阶方阵，其特征值为1，-1，2,则A的特征值为1,1,4 .19.二次型 /(ji&g

6、t;j) =jCI + 務理- 卩心宀IZr円的矩阵A=2 2 02310 1 120.若矩阵A与B=W相似，则A的特征值为1,2,3三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.求行列式解:=Xyl÷x-y的值1 X1111 X11111 X11XX00111 y1111 y11111 y00yy110X0X 0000110 0=Xy10 0 y 010 0 11y=x2 y2(LL-2I1X =322.解矩阵方程:IW1112解：令A= 211B=311161111 00因为（AE）=2110 101110 0110 0 0 -1000111133所以01由 AX=B得

7、 X=AIB= 11223. 求向量组叫=(1,1, 2, 3 ),叫=(1,1, 1, 1 ) ,=(1,3, 3, 5 ),円=(4, 2, 5, 6 )的秩和一个极大线性无关组，并将 其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换:11141114rr0260026(1 23r 4)=C0113031300260426111411 141007002 60 113010001130 C)130013002 60 C)000000所以，r(12 3 4)=3,极大无关组为1，23 ；4 =7 1 -3 2¾-¾ + x3 ÷ j=

8、1-Xl 4Tx2 - j+ 4j = 2取何值时，方程组L +7-4÷1¼=有解并求其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).解：对方程组的增广矩阵施以初等变换:2IIII12142A= 12142 05373174 11a0537 a 212142 053730000 a 5若方程有解，则r( A)=r(A)，故a=5当a=5时，继续施以初等行变换得:164555373，原方程组的同解方程组为:555000416X1X 3X4555337X2X3X4555X3,X 4为自由未知量，令 X3=X4=0得原方程组的一个特解:453与导出组同解的方程组为:50016

9、X1X 3X45537X2X 3X455X3,X 4为自由未知量，令X3X4，得到导出组的基础解系:153510657501所以,方程组的全部解为V=453500+C1153510+C6575,其中CI，C 2为任意常数。0F 2A= I25.已知 VO 0、2 -10 丿，求A的特征值及特征向量，并判断A能否对角化，若能，求可逆矩阵 P,使P - 1AP = （对角形矩阵）. 解：矩阵A的特征多项式为：2 0 0E A= 121 =（2）2（1）1 0 1所以，A的特征值为：122, 31对于:122求齐次线性方程组（2E ,A)XO的基础解糸，0001 0 1012EA1010 00 ,得

10、基础解系：1 ,0 ,从而矩阵A1010 0 00101的对应于特征值122的全部特征向量为：C1 1C 0C1, C2 不02 1全为零。对于31求齐次线性性方程组（E-A）X=O的基础解糸，1001 0 00E A1110 11 ，得础解系: 1,从而矩阵A1000 0 010的对应于特征值31的全部特征向量为：C 1 C 0101 0因为三阶矩阵A有三个线性无关的勺特征向量1，0，1 ,所01 1010200以，A相似于对角矩阵，且P101 ,02001100126.用配方法将下列二次型化为标准形:-好 + 4JrIXZ - 4r1J 一 4 JC2Jt3解:f(X1,X2,X3)X2

11、21 2X2xf4x1x24x1x34x2x32=X14x1(X2X3)4(X2X3)24( X2 x3)22x xf4x2x= (X12x22x3)22x；-4x2X35x；= (X12x22x3)2Nx；2x2X3xf)3x=(XI2x22x3)2心2X3)23Xsy1X12x22x3x1y2y2令y2X2 X3,即X2y2 y3y3X3X3y3得二次型的标准型为:y；2y；3yf.四、证明题（本大题共6分）27.设向量 UM （J）円CoAl）,证明向量组円=叫=吗是r3空间中的一个基.1 1 020 ,所以1，2，3线性无关,证：因为 1 1 01 1 1所以向量组1, 2, 3是R3

12、空间的一个基线性代数（经管类）综合试题二（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分1. 若三阶行列式(C ).A. 1 B . 0 C2. 设A、B为n阶方阵，则(耐-A. A可逆B . B可逆 C(A).A.十M-IBC.团诃D<1 L1 J1 214.矩阵F 3+lj的(B).3. 设A是n阶可逆矩阵,A. 2 B . 1 C2 1 q131t 2 1=0,则 k =.-1 D . -2-孑"'成立的充要条件是(D).| A|=

13、| B|D . AB=BAA是A的伴随矩阵，则i* = A.外M4秩为 2 ,贝S =.0 DL5. 设3×4矩阵A的秩r(A)=1严卩UT是齐次线性方程组Ax=O的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为(D).A .兀戊应+ZtB. P.r.7PC aPra D .6. 向量耳2")耳(厶S 2)耳CL CL k)线性相关,则(C ).A. k =-4 B . k = 4 C . k =-3 D . k = 37.设u, U2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，若&厲 M 是其导出组AX=O的解，则有(B ).A. C+C2 =1B . C1= C2C . C

14、1+ C2 = 0D.C1= 2 C28.设A为n(n2)阶方阵，且A,则必有(B ).A. A的行列式等于1 B. A的秩等于nC. A的逆矩阵等于E D A的特征值均为19.设三阶矩阵A的特征值为2, 1, 1,则A1的特征值为(D ).A. 1, 2B.2, 1, 11C. 2,1D12 151 5110. 二 次 型/(JC13) = rj÷2r + 3j是(A ).A.正定的 B .半正定的 C .负定的D .不定的二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分Ill3 1 412. 设A为三阶方阵，且A=4 ,则2A

15、=32,f-l 1 0rI 1 M0 0 20 2 213.设A=(00 2J,B =I0 V,则ATB1 101 100410r214.设 A =I-S-2丿,则A1= 215215.向量严Z厶匀表示为向量组m（Q抵=Q的线性组合式为尸=_ e 2e2 5e3.!31 +x2 -X1 =O3x1 + 5x2 2x3 = 0"O 00有非零解，则k-117.设向量口山仏一 2）与"（J1）正交，则a18.已知实对称矩阵A=AXA)= f(x1,x2,3)x122x223丿，写出矩阵A对应的二次型3X；21 23x1x319.已知矩阵A与对角矩阵 =00，-1 0QIJA=E

16、20.设实二次型的矩阵A是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为3,则其规范形为_y；y； 讥 讥二、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）yyyy21.计算行列式y y yF X的值.X3yy y y1解：原式=X3yXyy=(X3y)1X3yy X y1X3yy y X11yyy0X y00=(X3y)=(X00Xy0000Xyy yX yy Xy y3y)( XyyyXy)3rI-trIP-121O222.设矩阵A=I2巧B=IL丿求矩阵A1B .1101111 01 1解：(AE)=: 1210201 11 32232100 14 1311 01111002901 031001031

17、000 141300141329A1B310413-2A= -1 Ik -323.设矩阵,求k的值，使A的秩r(A)分别等于1, 2, 3.解：对矩阵A施行初等变换:123k123kA12k302k2 3k3k2302k2 33k2123k1 23k0 2k23k30 k 1k 10063k3k2 0 0（k 2）（ k 1）123当k=1时，A000，矩阵A的秩r（A） =1；000126当k=-2时，A033,矩阵A的秩r （A） =2；00012 3k当k 1且k2时，A011 ,矩阵A 的秩 r（ A） =3.00 1424.求向量组10的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线

18、性无关组线性表示解：将所给列向量构成矩阵1112(1 234)123413710141320111210 0012201 0001200 1000000 0A,然后实施初等行变换所以，向量组的秩r( , 2,为： 1，2， 3,且有 4 2 1 2111211120122012202680024031218001222203，4)3向量组的-一个极大无关组22 325.求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解.解：对方程组的系数矩阵(或增广矩阵)作初等行变换:12231 2A23120 113570 110450134000023122 334013 434000 0与原方程组同解的方程

19、组为：Xl4X3 5X4 ,其中X3,X 4为自X23X34X4由未知量。45令X3分别取1，0得基础解系：V13,V24X401100145方程组的通解为：C1V13C2V 2C4C2(c1，C2为任意常1001数)26.已知矩阵求正交矩阵P和对角矩阵 ,使P1AP= .解：矩阵A的特征多项式为:得矩阵A的所有特征值为：12 O 33对于120 ,求方程组(0EA)XO的基础解糸。11 1 1 1 1111OOO，得基础解系为：11 1 0 0 0111 ， 20011211、61. 626将此线性无关的特征向量正交化，得:1212 ,再标准化，得：11对于33解方程组(3EA)XO将其单位

20、化，得*731 31 321 110 111 21011 ,方程组的基础解糸为3111 200 0112120116311,6,321/6.、3OOO0 0 00 0 3则P是正交矩阵，且P1AP=四、证明题（本大题共6分）27.设向量组线性无关，证明：向量组¾fll÷¾i÷tt2十碍hrfl十码十十足也线性无关.证：令k1 1 I«2( 12) k3（ 123)ks( 12整理得：ks)12(k2k3ksks S 0S)因为1, 2,S线性无关，所以k1k2ks 1ks0k10k2k3ks0k20解得：ks 1ks0ks10k:S0ks0故1

21、， 12，12312S线性无关。线性代数（经管类）综合试题三（课程代码4184）、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将 其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分1. 当（D ）成立时，心 2）阶行列式的值为零.A. 行列式主对角线上的元素全为零n（n-f）B. 行列式中有个元素等于零C. 行列式至少有一个D阶子式为零D行列式所有OT阶子式全为零2. 已知均为n阶矩阵，E为单位矩阵，且满足 ABCE,则 下 列 结 论 必 然 成 立 的 是（B ）.A. ACBE B. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E

22、3. 设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ D ）.A. ( AB-I=AI B1B.(A+B)-1 =A1 +B1C. (ABT=ABTD.4. 下列矩阵不(B ).5.设叫底是ICK)11=IMl是初等矩阵的是fI 0>rl MC.1» 2JD.b IJ则 aLai-aib4 维向量组(D ).A.线性无关B. 至少有两个向量成比例C. 只有一个向量能由其余向量线性表示D. 至少有两个向量可由其余向量线性表示6. 设A为m× n矩阵，且n<n,则齐次线性方程组 AX = o必(C ).A.无解 B.只有唯一零解 C.有非零解 D.不能确定7. 已知

23、4元线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3,又丐-H是A=b的两个解，则Ax=b的通解是 (D ).A.乙玄疗亠 tA.syrBCM,5) + i,4c.4 t33)zd.0%r+i(8. 如果矩阵A与B满足(D ),则矩阵A与B相似.A. 有相同的行列式B. 有相同的特征多项式C. 有相同的秩D. 有相同的特征值，且这些特征值各不相同9. 设A是n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充要条件是 (D ).A. A>0B.A的每一个元素都大于零C.彳町fJD.A的正惯性指数为n10. 设AB为同阶方阵，且r(A) = r(B> ,则(C ).A. A与B相似 B. A与B合同C. A与B

24、等价D.H=I Bl二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每 小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1234-IO34-1-2O411.行列式-1-2-3O2412.设A为三阶矩阵，|A|=-2 ,将矩阵A按列分块为A 如,其中4 0九D是A的第j列,则 | Bl= _613. 已知矩阵方程AX=B,其中A=IZ 1丿，B=Il Q丿，则XF14. 已知向量组円（匚 L 吨（IMJbq UM）的秩为2, 贝y k = -215. 向量圧（）的长度肛= 15.16.向量0=(2!3)在基a= 0>MX¾ =ft°X¾ = (KO=To)

25、下的坐标为34 3.17.设叫吟吗是4元齐次线性方程组AX=O的基础解系，则矩阵A的秩 r（A）= 11=O18. 设 = O是三阶矩阵A I1O2 O0 。丿的特征值，则a =19. 若 AJq= xf + 2J + 2XLI3 +4jj÷6jx3 是正定二 次型，则兄满足20.设三阶矩阵 A的特征值为1,2,3 ,矩阵 B=a2+2A,则| B=360二、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21.设三阶矩阵A=求：（1）矩阵 A-2E及I A2E ；丿，E为三阶单位矩阵. "F解:(1)2E1(A2E) 122.已知向量组 < = (U22 = (lf4

26、3r4 = (Lr0=f3)3¾=(0343-2)求：(1)向量组的秩；(2)向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性A,然后实施初等行变换无关组线性表示.121012 1 0120 224040024001 2243200 1 2000 0所以，向量组的秩r(1,2,3,4)2，解：(1)将所给向量按列构成矩阵向量组的一个极大无关组为:1，3 ,且有2xl+2x2 - 2j+2x4 = 2X3- - j =1 x1+x2- +3j = o23.讨论a为何值时，线性方程组L x¾÷ “耳二1有解当 方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵

27、实施初等行变换:12222A 011111113a1115112222011110000a10000012222011110111a 2033331 00400 1110OOO 0 a 1Oooo 0若方程组有解，则r(A)当a=1时，原方程组的通r( A)2 ,从而 a=1.X1X214x4,X3 ,X3X4X4为自由未知量.令X3=X4=0,得原方程组的一个特解：(0, 1,0, 0).导出组的同解方程组为：，X3，X4为自由未知量X2X3X4令X：，分别取0,0,得导出组的基础解系：(0,1,1,0) T，(-4,1,0,1)所以，方程组的通解为：(0,1,0,0) T +c 1 (0,

28、1,1,0) T +C2(-4,1,0,1) T ,其中，C1，C2为任意常数.24. 已知向量组宀 (IJM),讨论该向量组的线性相关性1 2 1解：因为1 a 124a1 2 1Oa 22(a08 a 22)( a6)当a=2或a=-6时，向量组线性相关,当a 2且a -6时，向量组线性无关,J 1小-4 3025. 已知矩阵A=IIC) 2丿，(1) 求矩阵A的特征值与特征向量；(2) 判断A可否与对角矩阵相似，若可以，求一可逆矩阵P及相应 的对角形矩阵.解：矩阵A的特征多项式为:2)( 1)21 1 0430(1 0 2所以，A的特征值11,对于11,求齐次线性方程组(E A)X O的

29、基础解系,2101 0 11E A4200 1 2 ,得基础解系:2 ,从而矩1010 0 01阵A的对应于特征值121,的全部特征值为：C12,(C0)1对于32求齐次线性方程组(2E A)X O的基础解系，3101 0 002EA4100 1 0 ,得基础解系：0,从而矩阵1000 0 110A的对应于特征值32,的全部特征值为：C 0 ,(C0)1因为三阶矩阵A只有两个线性无关的特征向量，所以， A不能相 似于对角矩阵。26.设二次型 /(> =*¾- 4xA + 2宜- Qy -圮(1)将二次型化为标准形；(2)求二次型的秩和正惯性指数f (Xl,X2,X3)xf2x1

30、x22x1x32x；4x2x33x2X12x 1( X 2X3)(X2X3)2(X2X3)22x；4X2X33x(X1X2X3)22X22X2X34X(X1X2X3)2(Xf2X2X3Xf)5X3(X1X2X3)2(X2X3)25xfy 2 3 y y令 y2 X2 X3 。即 X2 y2 y3y3 X3X3 y3得二次型的标准形为：y12 y；5y；(2)由上述标准形知：二次型的秩为 3,正惯性指数为2四、证明题(本大题共6分)27.已知A是n阶方阵，且(八，证明矩阵A可逆，并求A证：由(A+E)2 =O,得：A2 +2A=-E,从而 A(A+2E)=-E,A(-A-2E)=E所以A可逆，且

31、AI=-A-2E线性代数（经管类）综合试题四（课程代码4184 ）、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 三阶行列2 53 -25 a=O().A. 2 B. 3 C.D. -32.设A， B均为n阶非零方阵，下列选项正确的是().A. ( A+B( A-B) = A2-B2B.(AB-1 = B1A1C.若 AB= Q 则 A=O或 B=Q D. |AB = IBl().3.设Aa04.设W 12,B-1 Dr-l "r-l R<0 IJC.2 IJ

32、D.<0 IJ().B.-L 2、虫=O L-2 2Ll 2丿，ABBA=-4 C. t是任意实数D.以上都不对5.设向量().A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1,0, -5, 4) C.(-1,0, 5, 4)D(1,0, 5, -6)6. 向量组丐GhmmQM川L吗(IJ2)线性相关,则()A.k =-4B.k = 4C.k = 3D.k = 27.设U, U2是非齐次线性方程组AX =b的两个解，若CiUi +C2U2也是方 程 组AX=b的解，则().A.Cl +C2 =1B.Cl= C2C.C1+-C2 = 0D.Ci= 2 C28.设m× n矩阵A的秩r(A)

33、 = n-3( n>3), %仇T是齐次线性方程 组Ax=O的三个线性无关的解向量，则方程组 AX=O的基础解系为 ().a.兀阴"b.EPrCd.CL-,-,-的特征值为）.A. 3，5 B . 1，2C.1，1，2 D. 3，3, 5().B.存在n阶矩阵P,使得A=FTPC.负惯性指数为O D.各阶顺序主子式均为正数二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.12.设A为三阶方阵，且A=2，A是其伴随矩阵，则*2A13. 设矩阵A14. 设 HQM 2M （S（），则内积（ffi =15.若向量6不能由线性

34、表示，且r（%）=2 ,则 XI ÷2xa ÷ 3xl = 3V 2x1 4-5xi + 2j ¼4x4 = 416.设线性方程组x1÷3÷¾÷有解，则 t17. 方程组工2七I 3幻4七O的基础解系含有解向量的个数18. 设二阶矩阵A与B相似，A的特征值为-1 ,2,则IBI=.rl O D/=02119. 设二次型的矩阵 匕T IJ ,则二次型KxnKJ =20. 用正交变换将二次型/x x2 xjc Y"化为标准形为XEi犹，则矩阵A的最小特征值为.二、计算题（本大题共6小题,每小题9分，共54分）21. 计

35、算n阶行列式22.解矩阵方程:r 1 (TrI 1、12 1X =2 0卫2 IJ23. 验证円（I丄I）卒（°2）卒（I丄1）是R3的一个基，并求 向量P （-h 5.-7）在此基下的坐标.24. 设向量组吟叫T线性无关，令A=-a÷¾A=afl2-2¾A = 2¾-5 卜 3¾试确定向量组氏他弘的线性相关性.I Xl +a-3xj- x4 = O“ 3j+j4-3j+5¾ = 025. 求线性方程组Lx + 5-27-17¾ = 的基础解系，并表示其通解.<2 O OA=III26. 求矩阵 I1 1 3

36、J的特征值和全部特征向量四、证明题（本大题共6分）27. 设%吟円是三维向量组，证明：年=吗线性无关的充分必要条 件是任一三维向量都可由它线性表示.线性代数（经管类）综合试题五（课程代码4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分rO 1 ZrO 1 OJ10 00 0 1O 0 IJLl 0 OJB.IrI 0 (TrI 0胪0 2 00 12J) 0 IJD.1° 0 bA.C.().A-B2成立的充分().().1. 行 列 式A. 1 B. 4 C.

37、 -11-1D. -12.设A,B,C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是（）.A.若 AB=AC,贝SC. AB(= BCAA. A=E4.若B=CB.(D. IAC)2 = A-2AGC2ABC= I H IBllCr¾l aL2f ll¾P1 =15j< 1flW¾ JA=BB.B=OC.D.AB=BA,则初等矩阵P=5.设向量O3 0)则 +20=().A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D.(-1, 3, 9, 8)6. 下 列 结 论 正 确 的 是 ().A. 若存在一组数k1, k2,km,使得1 iA 1 - 1 "h