【中考数学压轴题专题突破04】二次函数中的几何变换问题

1、【中考压轴题专题突破】二次函数中的几何变换问题21如图，已知二次函数 y= ax+bx+c (a, b, C是常数，且a> 0)的图象经过点 A (3, 6), 并与X轴相交于B、C两点(点B在点C右侧)，且SABC= 12, ACB = 45°.(1) 求二次函数的解析式；(2) 若D是线段AC上一点，且以D、0、C为顶点的三角形与 ABC相似，求点D的 坐标；(3) 设直线y= 1为直线I ,将二次函数的图象在直线I下方的部分沿直线I翻折到直线I的上方，图象其余的部分不变，得到一个新图象，问是否存在与新图象恰有三个不同公 共点且平行于 AC的直线？若存在，请求出所有符合条件

2、的直线的解析式；若不存在,第3页(共15页)2.已知二次函数y= ax2-2ax+c (aV0)的图象与X轴的负半轴和正半轴分别交于 A、B两 点，与y轴交于点 C,直线BC与它的对称轴交于点 F,且CF : FB = 1: 3.(1) 求A、B两点的坐标；(2) 若厶COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；(3) 在(2)的条件下，Q ( m, 0)是X轴上一点，过点 Q作y轴的平行线，与直线 BC 交于点M ,与抛物线交于点 N,连接CN,将厶CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M 是否存在点Q,使得M '恰好落在y轴上？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由.JI

3、af0Jf23.已知二次函数 y= ax+4x+c (a 0)的图象是经过 y轴上点C (0, 2)的一条抛物线，顶点为A,对称轴是经过点 H(2，0)且平行于y轴的一条直线.点 P是对称轴上位于点 A 下方的一点，连接 CP并延长交抛物线于点 B,连接CA、AB.(1) 求这个二次函数的表达式及顶点A的坐标；(2) 当 ACB = 45°时，求点P的坐标；(3) 将厶CAB沿CB翻折后得到 CDB ,问点D能否恰好落在坐标轴上？若能，求点P 的坐标，若不能，说明理由.A.AIL*ClfY(4小明在课外学习时遇到这样一个问题：2 2定义：如果二次函数 y= ai+bi+ci （ai

4、0, ai, bi, ci 是常数）与 y= a2+b2+c2 （ a2 0，a2， b2，c2是常数）满足 a1+a2= 0, bi= b2, c1+c2= 0,则称这两个函数互为“旋 转函数”.求函数y=- x2+3X- 2的“旋转函数”.小明是这样思考的： 由函数y=- x2+3X- 2可知，ai=- 1, bi = 3, ci=- 2,根据：ai+a2=0, bi = b2, c+c2 = 0,求出a2、b2、C2,就能确定这函数的"旋转函数”请参考小明的方法解决下面问题:（2）若函数y=-（i）写出函数y=- 2+3X- 2的“旋转函数”；2 与 y= 2- 2nx+n 互

5、为"旋转函数”，求（m+n） 20i8;（3）已知函数y=-丄（X十I）G-4）的图象与X轴交于点A、B两点，与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是Ai、Bi、Ci,试证明经过点 Ai、Bi、Ci的二次函数与函数y=-丄（"1） &-4）互为“旋转函数”第4页（共i5页）25.如图，在平面直角坐标系中，点A为二次函数y=- x+4x- 1图象的顶点，图象与 y轴交于点C,过点A并与AC垂直的直线记为 BD,点B、D分别为直线与y轴和X轴的交 点，点E是二次函数图象上与点 C关于对称轴对称的点，将一块三角板的直角顶点放在备用圍Q两点.(1)点A的坐标为,点

6、C的坐标为第9页（共15页）求直线BD的表达式.(3)在三角板旋转过程中，平面上是否存在点R使得以D、E、P、R为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出 P、Q、R的坐标；若不存在请说明理由.6.把二次函数y= 2+bx+c的图象沿y轴向下平移3个单位长度，再沿 X轴向左平移1个4单位长度后，得抛物线 M ,其顶点恰好落在 y轴上点（O,- 1）.【解决问题】请直接写出抛物线 M的函数表达式，并求 b、C的值.【探索研究】小明在抛物线 M上任意找了一个点 P （ m, n）,以点P为圆心，OP长为半径画圆，他观 察发现所画出的圆与过点（0,- 2）且平行于X轴的直线相切，请判断他的发现是否正 确

7、？并说明理由.【理解应用】将抛物线M的图象绕原点 O顺时针旋转90°得抛物线N ,C为抛物线N上一动点，点Q 的坐标为（1,- 1 ）、直接写出厶OCQ周长的最小值 .O4【中考压轴题专题突破】二次函数中的几何变换问题参考答案与试题解析1解：（1如图1中，作AEX轴于E. × BC× 6= 12,2 BC= 4, ACB= 45 ° , CE= AE= 6, BE=2, B (1, O), C (- 3, 0),二次函数经过 A、B、C三点，r I Rlr9a+3b+e=62y+匕十C二Q 解得A=I ,L 9a-3b+c=0抛物线的解析式为 y=丄x2

8、+.（2）如图2中,由(1)可知 B (1, O) , C (- 3 , O), A (3 , 6) BC= 4 , AC = 6 W, 当 DOCABC时，有DCOCACAC DC =；,过D作DM X轴于M ,观CDE是等腰直角三角形,. CE= DE =,OE =DCOCBCAC当 ODC s ABC时，有,即DC4.CD = 工，同理可得D (- 2, 1),综上所述点D坐标为（-2,1）或（397y)（3）如图3中,T直线AC的解析式为y= x+3 ,设所求直线的解析式为 y= x+m,设直线I: y= 1与抛物线的左边的交点为 P,则过P平行AC的直线与新图象有 同公共点，3个不令

9、y = 1,则丄x2 P （- 1血，1）,代入 y= x+m 得 m= 26, y= x+2+.设I下方部分翻折后的抛物线为L,则与AC平行且和L相切的直线也符合条件,T L的解析式为y=- （ x+1 ） 2+4,+x -=1 ,交点 x=- 1 1,y=-(+i)i->4由题意= 0, 16-4 (2m- 7)= 0,消去 y 得 2+4x+2 m - 7= 0, m=直线为y= +112综上所述返回条件的直线的解析式为y= x+2+ |】或y= X-LLJ2. 解：（1）由题意画出草图，如图 1 ,第10页(共15 M)则 OH = 1 , FH / OC,CFOH=1FBHB3

10、 HB = 3,B (4, 0),由抛物线的对称性知 A ( 2, 0), A ( 2, 0), B (4, 0); I (1, 1),过点I作IM丄OC于M ,作IN丄BC于N , 则 IMC = INC = 90° , IM = IN , IC = IC , CMI CNI ( HL), CN = CM = c - 1 ,同理， BIH BIN ( HL),. BN= BH = 3 , BC= CN+BN= c+2 ,在 Rt OCB 中，oc2+ob2= BC2,即 c2+42=( c+2) 2,解得，C= 3,将点 B (4, 0)代入 y = ax2 - 2ax+3 中,得

11、，16a - 8a+3 = 0,解得，a =-二， y=- X2+x+3 ；84(3)如图3,点M'落在y轴上时，过点 M作MH丄y轴于H , 贝U HM / OB, CHM COB , MN / y 轴， MCN = MNC , MCN = MNC , MC = MN ,将 B (4, 0)代入 y= kx+3,=-丁x+3, Q (m, 0), M ( m,-二m+3), N (m,4当点N在点M上方时,2CM = NM =m m, HM = m,Hjl4CM5Irl3,34=TTnHTnl解得，m = 0 （舍去），m2 =当点N在点M下方时,3m2+2CM = NM =-（-m

12、）, HM = m,第13页（共15页）HM4CM5=1解得，m = 0 （舍去），m2223Q （22,0）；综上所述，Q的坐标为煜，O）或（二，0）.0, 2）和点（4, 2）,3. 解：（1）由抛物线的对称性可知，抛物线的图象经过点（则2=16a÷16÷ 解得 fa=-l,I 2=c B y=- x2+4x+2 ,当 X= 2 时,y= 6,点A的坐标是（2, 6）;（2）如图1 ,过点C作CE AH ,过点P作PF丄AC于F ,则 CE = 2, AE = 4, AC = ”;： 一 -:, AFP = AEC = 90°, FAP = EAC, AFPA

13、EC, .H 丄 _，. FCP = 45°, CF = PF.设 CF = PF = m,贝V AF = 2m,. m+2m= 27, m = P(2,字P (2,）；（3）当点D落在X轴的正半轴上时，如图 2,CD = AC=.乙又I OC = 2, OD= 4,由对称性可知 AP= PD,设PH = m,贝U AP= PD = 6- m, 在 Rt DPH 中，有 PH2+HD2= PD2,即 m2+22=( 6- m) 2,解得 旦， 当点D落在y轴的负半轴上时，如图3,CD = AC= ®汀，由对称性可知 DCP = ACP ,又I AH / OC, DCP =

14、APC, APC= ACP,4 当点D落在X轴的负半轴上时，如图 4,第i3页（共i5页）CD = AC= _.,又 OC = 2, OD= 4, DH = AP = 6,连接AD ,直线CH是线段AD的中垂线，又点 P在直线AH上，点P与点H重合， P3 (2, 0).综上所述，点P的坐标为：Fl|)、 £-城)、P3 (2, 0).24.解：(1 由 y= X +3x 2 函数可知 ai= 1, bi = 3, ci= 2.由 a+a2= 0, bi = b2, ci+c2= 0,得a2= i, b2= 3, c2 = 2.函数y=- x2+3x- 2的“旋转函数”为 y= x2

15、+3x+2;(2)由y =-2ImX-2 与 y=2- 2nx+n 互为“旋转函数“，得42n= m,- 2+n= 0.3解得 n = 2, m=- 3.当 m= 2, n = 3 时，(m+n) 20i8=( 2 3) 20i8=( i) 20i8= i;(3)当 y= 0 时,(x+i) (X 4) = 0,解得 x= i, X= 4, A ( i, 0), B (4, 0).当 X = 0 时，y= X( 4)= 2 ,即 C (0, 2).由点A, B, C关于原点的对称点分别是Ai, Bi, Ci,得Ai (i, 0), Bi ( 4, 0), Ci (0, 2).设过点Ai, Bi

16、, Ci的二次函数y= a +b+c,将Ai, Bi, Ci代入，得a+b+c=0I 16a- 4b+c=0,lc-23解得b=T2LC=-2过点Ai, Bi, Ci的二次函数y =-X2+-2 2X- 2.(x+i) (X- 4)=- X2+X+2 函数可知 ai =-2 212由 ai+a2= 0, bi = b2, ci+c2= 0,得 a2,b2=,bi =,Gi = 2.,c2=- 2.2(x+i) (X- 4)的“旋转函数”为 y=二X2+二X- 2.2 2y=(X+i) (X-4)互为"旋转函数经过点Ai, Bi, Ci的二次函数与函数b44ac-b2 4×

17、¢-1) X C-I)-42a 2X t-l)=2, y=4a 4X(-D=3,x=-25.解：（i） y=- X +4x- i图象的顶点点A的坐标为（2 , 3）,当 X = 0 时，y= - i ,点C的坐标为（0 , - i）；（2）直线AC的解析式是y = 2x- i , 过点A并与AC垂直的直线记为 BD ,JUBD 一0直线BD的表达式为:（3）存在.菱形菱形6.解:V 工-1；DERP 时，Pi ( 8-<L7, 0),DREP 时，P2 (47,0), Q2【解决问题】平移后的抛物线Qi ( 0,-3+2i?),Ri(4 -彷，-1);（0,迈），R2M,顶点为（14根据平移规则，抛物线 M向上平移3个单位长度,抛物线M的函数表达式为：y =x2 - i原抛物线函数表达式为：y=b一，G0,- i),i).i个单位长度得原抛物线1X2-_ 1X型424向右平移(X- i) 2- i+3 =【探索研究】小明的判断正确，理由如下：过点（0,- 2）且平行于X轴的直线即直线 y=- 2第i4页（共i5页）4过点P作FA丄直线y=- 2于点A,如图1点P (m, n)在抛物线M上2 n = m - 1m2+i =.2二 m4+=m2+1 =16 22m2+1)4 OP2= m2+ n2= m2+ (二m2- 1) 2= m2+m