最优控制极小值原理

1、3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理第三章 极小值原理及应用3.2 离散系统的极小值原理离散系统的极小值原理3.3 时间最优控制时间最优控制小小 结结3.5 时间时间-燃料最优控制燃料最优控制3.4 燃料最优控制燃料最优控制第三章第三章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理一一. .问题的提出问题的提出 用变分法求解最优控制时，认用变分法求解最优控制时，认为控制向量为控制向量 不受限制。但是不受限制。但是实际的系统，控制信号都是受到实际的系统，控制信号都是受到某种限制的某种限制的。)(tu 因此，应用控制方程因此，应用控制方程来确定最

2、优控制，可能出错。来确定最优控制，可能出错。0uHa)a)图中所示，图中所示，H H 最小值出现在左侧，最小值出现在左侧，不满足控制方程。不满足控制方程。b)b)图中不存在图中不存在 0uHrRUt )(u 古典变分法的局限性古典变分法的局限性u u( (t t) )受限的例子受限的例子 矛盾矛盾! !例例 3.13.1)()()(tutxtx1)0(x1)(tu10( )dJx tt( )( )( )( )Hx ttx tu t1)()(txHt 协态方程协态方程 0)(tuH极值必要条件极值必要条件 0) 1 (第三章第三章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用3.1 连续系统的极小值原理

3、连续系统的极小值原理第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理( )min ( ) ( )fu tJ ux t. .s t( )( , ),x tf x u00( ),x tx0 ,fttt( )x t( ) t( )Hx t( )Htx 二二. .自由末端的极小值原理自由末端的极小值原理 定理定理3-13-1：对应如下定常系统、末值型性能指标、末端自由、控制受约束：对应如下定常系统、末值型性能指标、末端自由、控制受约束的最优控制问题的最优控制问题 及及满足下述满足下述正则方程正则方程: :对于最优解和最优末端时刻、最优轨线，存在非零的对

4、于最优解和最优末端时刻、最优轨线，存在非零的n n维向量函数维向量函数 使使( ) t第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理( , , )( ) ( , )TH x ut f x u( )x t( ) t00()()()ffxtxtxt*( )( , )min( , , )u tH x uH x u式中哈密顿函数式中哈密顿函数及及满足满足边界条件边界条件哈密顿函数相对最优控制为哈密顿函数相对最优控制为极小值极小值ft*( ),( ), ( )( ),( ), ( )fffH x t u ttH x tu ttconstft*(),()

5、, ()0ffftttH x tu tt哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数固定固定时时当当自由自由时时当当最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。但对于线性系统但对于线性系统 ( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u t1111( )( )( )( )( )nnnnatatA tatat，1( )( )( )nb tB tb t最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。最小值原理也是使泛函取最小值得充分条件。第三章第三章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用3.1 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的

6、极小值原理第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理/0H u /0Hu *( )( ( ),( ), ( )( ( ), ( ), ( )u tH x t u ttH x t u tt上述极小值原理与变分法主要区别在于条件上述极小值原理与变分法主要区别在于条件。不再成立，而代之为不再成立，而代之为当控制有约束时当控制有约束时，极小值原理的重要意义极小值原理的重要意义：（：（P51)P51)（1 1）容许控制条件放宽了。）容许控制条件放宽了。（2 2）最优控制使哈密顿函数取全局极小值。）最优控制使哈密顿函数取全局极小值。（3 3）极小值原

7、理不要求哈密顿函数对控制的可微性。）极小值原理不要求哈密顿函数对控制的可微性。（4 4）极小值原理给出了最优控制的必要而非充分条件。）极小值原理给出了最优控制的必要而非充分条件。当控制无约束时，相应条件为当控制无约束时，相应条件为 ；第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理说明：说明：1）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。2）极小值原理与用变分法求解最优问题相比，差别仅在于极）极小值原理与用变分法求解最优问题相比，差别仅在于极值条件。值条件。3）非线性时变系统也有极小值原理

8、。）非线性时变系统也有极小值原理。例例 3.2 3.2 重解例重解例 3.13.1 ， 哈密顿函数哈密顿函数 ( )( )( )( )(1) ( )( )Hx ttx tu tx tu t伴随方程伴随方程 1)()(txHt0) 1 ( 由极值由极值必要条件必要条件，知，知 1sign1u 00 ， 01)(1tet01t 又又于是有于是有1)(tu第三章第三章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用3.1 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理1)()(txtx ， 1)0(x 12)(tetx110d21Jxte )(tu协态变量与控制变量的关系图协态变量与控制变量的关系图 第第3

9、章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理二、极小值原理的一些推广形式二、极小值原理的一些推广形式1、时变问题时变问题定义：描述最优控制问题的相关函数显含时间，称为时变问题。定义：描述最优控制问题的相关函数显含时间，称为时变问题。解决办法：引入新状态变量，将时变问题转为定常问题，利用定理解决办法：引入新状态变量，将时变问题转为定常问题，利用定理3-1。( )min( ) (),ffu tJ ux tt. .st( )( , , ),x tf x u

10、 t00( )x tx0 ,fftt tt未知定理定理3-23-2： ( )Hx t( )Htx 满足下述满足下述正则方程正则方程: :( )x t( ) t及及式中哈密顿函数式中哈密顿函数( , , , )( ) ( , , )TH xu tt f x u t第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理( )x t( ) t00()()()ffx txtx t及及满足满足边界条件边界条件哈密顿函数相对最优控制为哈密顿函数相对最优控制为极小值极小值在最优轨线末端哈密顿函数应满足在最优轨线末端哈密顿函数应满足*( ) ( ), ( ),( ),

11、 min ( ), ( ), ( ), u tH x tt u t tH x tt u t t*( ),( ), ( ),( ),fffffffx ttH x ttu ttt*( , , , ) ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ftfffftH xuH x tt u t tH x ttu ttd沿最优轨线哈密顿函数变化率沿最优轨线哈密顿函数变化率定理定理3 32 2与定理与定理3 31 1的区别：的区别：P61P61第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理2 2、积分型性能指标问题、积分型性能指标问题. .st

12、( )( , , ),x tf x u t00( )x tx0 ,fftt tt未知定理定理3-33-3： ( )Hx t( )Htx 满足下述满足下述正则方程正则方程: :( )x t( ) t及及式中哈密顿函数式中哈密顿函数0( )min( ) ( ), ( )fttu tJ uL x t u t dt( )x t( ) t及及满足满足边界条件边界条件00()x tx()0ft)u, x(f )()u, x(L), u, x(tHT第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理哈密顿函数相对最优控制为极小值哈密顿函数相对最优控制为极小值ft

13、*( ),( ), ( )( ),( ), ( )fffH x t u ttH x tu ttconstft*(),(), ()0ffftttH x tu tt哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数哈密顿函数沿最优轨迹线保持为常数固定固定时时当当自由自由时时当当*( )( ), ( ),( )min( ), ( ), ( )u tH x tt u tH x tt u t第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理例例3-23-2：试求：试求： 时的时的 ，解：定常系统、积分型解：定常系统、积分型 固定，末端自由，固定，末端自由， 受约束。受约束。

14、取哈密顿函数取哈密顿函数 x tx tu t 05x 0.51u t 1min0Jx tu tdtJ*u*xftu uxuxuxH11 5 . 01*tu11 1xHt 1tcet 0111ceec 11tte由由协态方程协态方程由由边界条件边界条件注：控制的切换点为注：控制的切换点为(ts)=1第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理10ts 111tstes0.307ts 1*0.5ut00.307t 1307. 0 t控制的切换点处控制的切换点处00.307t 1307. 0 t 5 . 0121ttecectx00.307t 1

15、307. 0 t*41(t)4.370.5ttexe00.307t 1307. 0 t根据根据边界条件边界条件继续求出：继续求出： 5 . 01txtxtx 代入代入状态方程状态方程得得控制的切换时间：控制的切换时间：第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理 tt72. 11307. 0105 . 01307. 01t*u0 tx*t1307.0044.653 .12第第3章章 极小值原理及其应用极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理连续系统的极小值原理最优性能指标为：最优性能指标为： 1307. 0307. 0010*68. 8) 137. 4()24(dtedtedttutxJtt例例3-3：做法与前面得一样，引入两个拉格朗日乘子向量，构造广义泛