企业养老金制度改革的数学模型(国一)

1、企业养老金制度改革的数学模型摘要 本文主要通过研究山东省企业养老保险金的相关问题，从而进一步研究了我国处于过渡期中企业养老金制度改革问题。 问题一：工资增长应与国家经济的增长相关，针对预测2011年至2035年的山东省职工的年平均工资，则建立时间序列下的“经济阻滞增长模型”（logistic模型），并利用MATLAB软件进行非线性拟合，预测得到2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。 问题二：考虑到企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比可看作职工缴费指数的参考值，利用题中附件3和已知条件，利用统计学中“组中值”的相关定义计算得出了个年龄阶段的缴费指数的参考值，并通过二次拟合得出了60

2、65岁缴费指数。建立了各种情况下养老金替代率的数学模型，通过计算，得出问题二中六种情况下的养老金替代率。 问题三：通过对问题中三种情况分析，建立了不同情况下计算缺口值的数学模型，利用MATLAB计算出了三种情况在75岁死亡的缺口值。再根据三种情况下，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，该职工的年龄分别为74岁、78岁、84岁。 问题四：为了达到目标替代率和维持养老保险基金收支平衡，综合各种措施分别从定性、定量的角度进行分析。提出了三种有效措施：1、增大职工的缴费年限；2、延长职工的退休年龄；3、适当增加企业缴纳养老保险基金与职工工资总额的比例。 本文在建立时间序列下的经济阻

3、滞增长模型的基础上，求出了不同情况下的养老保险金的替代率和缺口值。通过对各种因素进行分析，提出既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡的有效措施，较好的解决了企业养老金改革的相关问题。 关键词：阻滞增长模型 替代率 收支平衡 养老保险金一、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。我国企业把职工工资总额按一定比例（20%）作为基础养老金，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社

4、会平均工资等因素，然后基础养老金加上个人账户养老金作为退休后每个月的养老金。养老金会随着社会平均工资的调整而调整。如果职工死亡，基础养老金不退给职工而个人账户中的余额可继承。个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，利率统一设定为3%。影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。所谓缺口，是指当养老保险基金

5、入不敷出时出现的收支之差。附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。请建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。问题三：假设该企业某职工自 20

6、00年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。请给出你的理由。二、模型假设1、假设在20102035年山东省的经济不会出现较大的震荡，并维持相对稳定。2、假设在问题2中各范围的工资部分相对稳定。3、假设企业缴纳的基本养老保险基金与职工个人缴纳的个人账户养老基金按年度按时缴纳，不会出现中断。4、假设在20112035年，山东省养老

7、制度基本不变。5、假设以2009年为参照水平，各年龄阶段职工工资与社会平均工资之比以及各年龄阶段平均工资与企业平均企业工资之比不变。6、假设职工在退休时的个人账户存储额不再产生利息。7、假设养老保险金不存在隐性债务危机。三、符号说明 取分别表示对应年 表示按阻滞增长第年省平均工资 表示第个年龄段的平均工资与企业的平均工资之比，且 表示第个年龄段的平均工资与社会的平均工资之比，且 表示替代率，且 表示退休时的养老金 表示基础养老金 表示个人帐户养老金 表示退休前的工资其他参数，文中另作说明四、模型的建立与求解4.1问题一4.1.1 问题的分析从1978年开始，中国步入改革开放的新时代。在相关政策

8、的实施下，中国的经济处于蓬勃的发展。问题一要求预测2011年到2035年山东省职工的年平均工资，而工资的增长由于经济增长相关。所以，在预测2011年到2035年的职工年平均工资，就必须对经济发展和工资增长的形式作出合理的、简化的假设。首先，应该对附件一的数据进行分析，画出经济增长的散点图。根据工资增长的趋势，进行函数拟合。然后，在对拟合出的函数进行检验，检验其是否符合经济变化的趋势。如果不符合经济增长的规律，就必须对拟合的函数进行改进，直到拟合出的工资增长函数与经济变化和市场经济的客观规律相符合。那么通过拟合出的函数预测2011年到2035年山东省职工年平均工资就符合市场经济变化趋势。最后，还

9、要用拟合的函数算出1978年到2010年的年平均工资，与已知数据对比，进行拟合度检验。4.1.2 模型一的分析与建立 由题目附件一给出的山东省1978年到2010年职工年平均工资数据作出如下表格（表一）：表 一 山东省职工历年平均工资统计表年份197819791980198119821983198419851986平均工资56663274575576978998511101313年份198719881989190019911992199319941995平均工资142817821920215022922601314943385145年份19961997199819992000200120002

10、0022003平均工资5809624168547656877210007113741256714332年份2004200520062007200820092010平均工资16614192282284426404296883207416614 根据以上表格中的数据利用MATLAB数学软件画出年份与平均工资的散点图：图1由图1可以观察，职工年平均工资呈指数型增长，因此建立如下拟合函数 （1）4.1.3 模型的求解 将（1）式进行线性化处理，等式两边同时取对数，得令则该方程变为利用MATLAB求解模型可得出，从而则年份与平均工资的关系为： （2）由（1）、（2）式可以可以绘制出原图形与拟合图像：图2

11、观察上图可以看出，模型拟合度比较好，在1978年到2010年间，用指数函数拟合的年平均工资与已知的年平均工资非常逼近。但是，模型一存在着如下不足：当年份时，职工年平均工资。这明显与实际情况不相符，经济不可能达到无限增长。此模型还存在不足，因此，模型还有待改善。4.1.5 模型一的改进 基于模型一的不足，考虑到人口老龄化而导致劳动力减弱，农村劳动力转移城镇等多种可能情况对经济增长的影响，借助“人口阻滞模型”的相关规律，在经济增长的规律中，经济不可能无限增长。那么，可以认为在经济增长的过程中，也存在着类似“阻滞模型”变化的规律。 仍引用表一的数据，借助“人口阻滞模型”类似的可以得到如下“经济阻滞模

12、型” （3） 其中，表示职工年平均工资可能取到的最大值；为1978年的职工年平均工资；为经济自然增长率；（分别表示年）。元，年，利用MATLAB进行非线性拟合，编写程序（附录一）计算得出：，则函数表达式为： （4）用非线性拟合出图形为：图3由图3可以看出，此模型拟合度较高，随着时间的增加在某一点将会出现“拐点”；之后，年平均工资增长将会趋于相对稳定。而由公式（4）可知，随年份时，职工年平均工资将会最终趋于稳定。这也和市场经济的客观规律相吻合，还符合中国经济发展的要求。因为，在21世纪中叶中国的人均国民生产总值将会达到中等发达国家的水平，经济发展将会变缓。由图3观察，“拐点”将出现在在二十一世纪

13、中叶。所以“经济阻滞增长”模型符合客观实际。预测出年山东省平均工资（表二）：表 二 年山东省平均工资年份20112012201320142015年平均工资35654.2739904.1844571.9049677.1655235.58年份20162017201820192020年平均工资61257.4067746.2874698.0582099.6689928.35年份20212022202320242025年平均工资98151.12106724.68115595.91124702.80133976.01年份20262027202820292030年平均工资143340.82152719.49

14、162033.84171207.79180169.86年份20312032203320342035年平均工资188855.24197207.52205179.86212735.62219848.444.2问题二4.2.1 问题的分析 问题二需要解决的问题是养老金替代率，即是指劳动者退休时的养老金领取水平与退休前工资收入水平之间的比率。它是衡量劳动者退休前后生活保障水平差异的基本指标之一。从题目以及附件三中的相关信息可得： 故由上述关系式可建立数学模型计算出该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁）为止的养老金替代率。由于附表二中所给数据

15、有限，未能找到2009年岁这一年龄阶段的职工工资范围，因此，首先需要根据2009年其他年龄段的平均工资拟合得出岁这一年龄阶段的职工平均工资。再根据该企业各个年龄阶段的平均工资与山东省社会职工的平均工资之比以及该企业各个年龄阶段的平均工资与企业平均工资之比（缴费指数的参考值），综合可求解问题中六种情况的“替代率”。4.2.2 模型建立与求解 根据附表二给出的职工工资范围，本文将引入统计学中的“组中值”作为标准来取得此范围内的适合值。 表 二 各年龄段的平均工资年龄段20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-59各年龄段平均工 资172720772535.1275

16、2.2302632683118.52980.2 为求得该企业2009年月平均工资，由此建立如下函数模型： （5） （其中：表示第个年龄阶段第段工资范围内的人数，第个年龄阶段在第段工资范围内的所取工资的组中值，D为该企业09年的平均工资）编制程序并计算得出：D=2580.20元由表二求出的数据，用最小二乘拟合，拟合出如下图形（图4）：图4 观察图4，此散点图呈明显二次曲线变化趋势，运用MATLAB可求得岁年龄阶段的平均工资为：2838.8元。 根据解出的该企业平均值可计算出该企业各个年龄阶段的平均工资与企业平均工资之比（缴费指数的参考值），并制作表格（表三）：表 三 各个年龄阶段的平均工资与企业

17、平均工资之比年龄段（岁）20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-5455-5960-65各年龄段平均工资（元）172720772535.12752.2302632683118.52980.22838.8各年龄段平均工资与企业平均工资之比（）0.66930.8050.98251.06671.17281.26661.20861.1551.1002根据解出的该企业平均值可计算出该企业各个年龄阶段的平均工资与社会平均工资之比，并制作表格（表四）：表 四 该企业各个年龄阶段的平均工资与社会平均工资之比年龄段（岁）20-2425-2930-3435-3940-4445-4950-

18、5454-5960-65各年龄段平均工资（元）172720772535.12752302632683118.52980.22838.8各年龄段平均工资与社会平均工资之比0.69810.83951.02471.111.22311.3211.26051.20461.1475在求解“替代率”的时候，将30岁开始投保到55、60、65岁退休和40岁开始投保到55、60、65岁退休依次分为了六种情况，并建立了养老金替代率函数模型：养老金替代率：职工刚退休时的养老金：基础养老金：个人账户养老金：退休前一年的工资：其中： 表 五 模型中个参数取值1234564752573742471.13941.14201

19、.13611.21601.20081.18061.26051.20461.14751.26051.20461.1475253035152025170139101170139101注：表示退休前一年的年份，表示平均缴费指数的参考值，表示各职工的投保年限，表示养老金计发月数.用MATLAB编写程序（附录二）计算得出的值：,根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，把此比值作为职工缴费指数的参考值，再求出平均缴费指数参考值。分别计算出30、40岁投保，到55、60、65岁退休时的养老金替代率，很完整的解决了该问题。4.3问题三4.3.1 问题分析针对问题三的解决方案，将分两

20、步进行。第一步，该职工在2000年（即该职工30岁）参保，分别在该职工55岁，60岁，65岁退休领取养老保险金，直至75岁死亡，要求计算养老保险基金的缺口情况（设为不同阶段的缺口值），即分为三种情况（55岁、60岁、65岁退休），计算在三种情况下的养老保险金的缺口值。=共计缴纳的养老保险基金额-退休后总共领取的养老金 第二步，当该职工在三种退休情况下，当达到其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡时，该职工的年龄。利用各年龄段平均工资与社会平均工资之比率来计算出各年里职工的平均工资，最终建立投保缴费金与退休领取金之间的等量关系：共计缴纳的养老保险额=退休后总共领取的养老保险金求解出

21、达到收支平衡时该职工的年龄。那么，对值进行讨论，当=0时，缴纳的养老保险额将等于职工退休后领取的养老保险金，则达到收支平衡；当>0时，缴纳的养老保险额将大于职工退休后领取的养老保险金，则此情况不会出现缺口；当<0时，缴纳的养老保险额将小于职工退休后领取的养老保险金，则该情况将会出现缺口（即入不敷出）。 4.3.2 模型建立 因为，该职工的退休年龄分为三种情况（55岁、60岁、65岁），即该职工在2000年缴纳养老保险基金，分别在2025年、2030年、2035年退休。那么，分为三种情况计算其缺口值. （一）该职工2025年退休： （1）：该职工在2000年（第23年）到2004年（

22、第27年），即从3034岁（2）：该职工在2005年（第28年）到2009年（第32年），即从3539岁（3）：该职工在2010年（第33年）到2014年（第37年），即从4044岁（4）：该职工在2015年（第38年）到2019年（第42年），即从4549岁（5）：该职工在2020年（第43年）到2024年（第47年），即从5054岁 因此，个人账户储存额：个人账户养老金：基础养老金：本人指数化月平均缴费工资：缺口值：当收支平衡时，该人的年龄：（二）该职工2030年退休： （1）：该职工在2000年（第23年）到2004年（第27年），即从3034岁（2）：该职工在2005年（第28年）到2

23、009年（第32年），即从3539岁（3）：该职工在2010年（第33年）到2014年（第37年），即从4044岁（4）：该职工在2015年（第38年）到2019年（第42年），即从4549岁（5）：该职工在2020年（第43年）到2024年（第47年），即从5054岁（6）：该职工在2025年（第48年）到2029年（第52年），即从5559岁 因此，个人账户储存额：个人账户养老金：基础养老金：本人指数化月平均缴费工资：缺口值：当收支平衡时，该人的年龄：（三）该职工2035年退休： （1）：该职工在2000年（第23年）到2004年（第27年），即从3034岁（2）：该职工在2005年（第2

24、8年）到2009年（第32年），即从3539岁（3）：该职工在2010年（第33年）到2014年（第37年），即从4044岁（4）：该职工在2015年（第38年）到2019年（第42年），即从4549岁（5）：该职工在2020年（第43年）到2024年（第47年），即从5054岁（6）：该职工在2025年（第48年）到2029年（第52年），即从5559岁（7）：该职工在2030年（第53年）到2034年（第57年），即从6064岁 因此，个人账户储存额：个人账户养老金：基础养老金：本人指数化月平均缴费工资：缺口值：当收支平衡时，该人的年龄：4.3.3 模型的求解利用MATLAB编写程序（见附

25、录三）可解得：根据上述求解可以得到：（1）、当该员工从2000年（30岁）开始缴纳养老保险基金，当2025年（55岁）退休，那么他75岁死亡时，缺口值为20845元，其缴存的养老保险基金与领取的养老金收支平衡时，该员工年龄为74岁。（2）、当2030年（60岁）退休，那么他75岁死亡时，缺口值为-90071元，其缴存的养老保险基金与领取的养老金收支平衡时，该员工年龄为78岁。（3）、当2035年（65岁）退休，那么他75岁死亡时，缺口值为-377169元，其缴存的养老保险基金与领取的养老金收支平衡时，该员工年龄为84岁。4.4问题四4.4.1 问题分析问题四是对前三个问题的深化，对问题四的求解

26、主要是对问题二和问题三的综合分析，既要求目标替代率达到58.5%，又要求其缴纳的养老保险基金与其领取的养老保险金之间达到收支平衡。因此，既要对影响目标替代率的因素进行分析，又要对影响缴纳的养老保险基金与领取的养老保险金之间达到收支平衡的因素分析，综合两者分析，得出最佳的措施。 首先，应该对影响目标替代率的因素定性分析，找出提高目标替代率的措施，然后由问题二的求解结果判断提高目标替代率的措施是否合理，如果与问题二的求解结果相符合，则证明提高目标替代率的措施可行，而且值得推广。 然后，对影响缴纳的养老保险基金与领取的养老保险金之间达到收支平衡的因素分析，得出维持收支平衡的措施，然后结合问题三的求解

27、判断措施的可行性与合理性。 最后，综合上述两者提出的措施，在既要维持收支平衡的条件下，又要达到目标替代率的最佳措施。4.4.2 达到目标替代率的措施 根据附件三给出养老金计算方法，我们对养老保险金的替代率进行如下细化：相关参数说明： 表示个人指数化月平均缴费工资 表示参保员工退休前一年的社会平均工资 表示企业和职工实际缴纳基本养老保险的月数合计 表示企业和职工实际缴纳基本养老保险费的年限 表示第年缴纳个人账户养老金 表示退休年限 表示员工现在年龄 表示个人账户养老金 表示基础养老金 表示个人账户养老金的计发月数 表示替换率 退休前一年的社会平均工资通过对上述分析可知：要达到养老保险金的目标替代

28、率有如下措施：1、增大职工的缴费年限；2、延长职工的退休年龄。结合问题二的求解可以知道当2000年该职工为30岁，职工分别以55岁、60岁、65岁三种情况退休，那么在这三种情况下，养老保险金的替代率分别为0.3608，0.4462，0.5656.那么，针对提高目标替代率的两个措施（即增大职工的缴费年限和延长职工的退休年龄）与问题二的求解情况相符合，证明增大职工的缴费年限和延长职工的退休年龄能达到目标替代率且符合实际情况。4.4.2 维持养老保险基金的收支平衡的措施=共计缴纳的养老保险基金额-退休后总共领取的养老金那么，对值进行讨论，当=0时，缴纳的养老保险额将等于职工退休后领取的养老保险金，则

29、达到收支平衡；当>0时，缴纳的养老保险额将大于职工退休后领取的养老保险金，则此情况不会出现缺口；当<0时，缴纳的养老保险额将小于职工退休后领取的养老保险金，则该情况将会出现缺口（即入不敷出）。维持养老保险基金的收支平衡，则.根据搜索网络相关资料，得出如下维持维持养老保险基金的收支平衡的措施：1、增加企业缴纳养老保险基金与职工工资总额的比例（如：提高原来的20%）2、延长职工的退休年龄。通过问题三的分析和求解思路可以得到：以30岁参加养老保险到55岁退休的情况为例：企业缴纳的养老保险基金与职工工资的比缺口值（元）20%2108820.2%1796920.5%1329020.8%861

30、2.121%5493.1通过上述分析，当企业缴纳的养老保险基金与职工工资的比改变很微小时，缺口值的变化很大。说明适当增加企业缴纳养老保险基金与职工工资总额的比例对维持维持养老保险基金的收支平衡的措施可行。4.4.3 综合分析通过上述分析和检验，我们提出了如下有效措施：1、增大职工的缴费年限；2、延长职工的退休年龄；3、适当增加企业缴纳养老保险基金与职工工资总额的比例。五、模型的评价5.1 模型的优点： 1、对未来经济作出合理、简化假设的情况下，运用了“阻滞增长模型”对2011年至2035年山东省的人均年平均工资作出预测，其预测值更加贴近经济发展的规律。2、该模型在不同情况下，对养老保险金替代率

31、和收支平衡进行了量化，其结果更加真实。3、问题四在既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，对各种措施进行了定量和定性分析，最后提出的措施更加有效可行。5.1 模型的不足： 1、对20112035年山东省平均工资的预测数据过于单一，造成预测结果可能存在误差。 2、在问题三的求解方面，由于没有对各个参数进行更好的融合，所以造成问题三的求解过于复杂，不够简洁。 六、模型的推广在预测2011年至2035年平均工资预测时，本文采用了“阻滞增长模型”，该模型具有普遍的实用性，可用于有关生物总量进行预测的问题上。在考虑个人账户储存额时，假定退休时不再产生利息，这与实际情况不相符合，可以考虑退休时，

32、个人储存额仍要产生利息。缴纳的基础养老保险金而用于投资，进而产生升值空间，但是需要考虑投资的风险性等。七、参考文献1林峰著.中国经济增长的阻滞分析.北京市：新华出版社, 2001.2韩德昌等.市场调查与市场预测.天津：天津大学出版社，2004.3姜启源.数学模型（第三版）.北京：高等教育出版社，2003.4朱青。养老金制度的经济分析与运作分析.北京：中国人民大学出版社，2002.附录附件一：function y=fun1(a,x) y=a(1)./(1+(a(1)/566-1)*exp(-a(2)*(x-1); x=1:33;y=566 6327457557697899851110 1313

33、1428 17821920 2150 229226013149433851455809624168547656877210007113741256714332166141922822844264042968832074;a=lsqcurvefit('fun1',290000;0.089,x,y)附件二：x=34:57; v=0.98251.06671.17281.26661.20861.15501.1002; z=(v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5)/5 (v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+v(5) +v(6)/6 (v(1)+v(2)+v(3)+v(4)+

34、v(5) +v(6)+v(7)/7 (v(3)+v(4)+v(5)/3 (v(3)+v(4)+v(5) +v(6)/4 (v(4)+v(5) +v(6)+v(7)/5;m=25 30 35 15 20 25;r=170 139 101 170 139 101;n=1.0247 1.0247 1.0247 1.0247 1.0247 1.1124 1.1124 1.1124 1.1124 1.1124 1.2231 1.2231 1.2231 1.2231 1.2231 1.3209 1.3209 1.3209 1.3209 1.3209 1.2605 1.2605 1.2605 1.2605

35、1.2605 1.2046 1.2046 1.2046 1.2046 1.2046 1.1475 1.1475 1.1475 1.1475 1.1475; for j=1:6; i=1:m(j);d=(290000./(1+(290000/566-1).*exp(-0.1295.*(x-1);q=8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;e=q d.*n;a=sum(e(i).*0.08.*(1.03.(35-i)/r(j);b=(e(m(j)/12+z(j)*e(m(j)/12)/2*m(j)*0.01;

36、s=(a+b)*12./e(m(j)end附件三：%65岁退休x=34:57;y1=8772 10007 11374 12567 14332 16614 19228 22844 26404 29688 32074;y2=(290000./(1+(290000/566-1).*exp(-0.1295.*(x-1);y=y1 y2;n=1.0247 1.0247 1.0247 1.0247 1.0247 1.1124 1.1124 1.1124 1.1124 1.1124 1.2231 1.2231 1.2231 1.2231 1.2231 1.3209 1.3209 1.3209 1.3209 1.3209 1.2605 1.2605 1.2605 1.2605 1.2605 1.2046 1.2046 1.2046 1.2046 1.2046 1.1475 1.1475 1.1475 1.1475 1.1475;Y=y.*n;a=(sum(Y)*0.2;fo