偏微分方程考试题

1、数学物理方程及数值解 复习提要一、偏微分方程的建立CH1 典型方程和定解条件【内容提要】1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)主要方法：微元法；泛定方程:(1) 波动方程(双曲型)：弦振动方程：传输线方程：电磁场方程: (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）: 导热杆（无热源）， 导热片（无热源）(3) 稳恒方程(椭圆型): Poisson方程：Laplace方程： 2.定解条件：初始条件及边界条件 边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet条件): (2) 第二类边界条件(Neumann条件): (3) 第三类边界条件(Robin条件): 3.定解问题的提法：

2、 4.线性偏微分方程的基本性质（1）.线性迭加原理 (2.) 齐次化原理（冲量原理） Duhamel原理：设是方程的解，Þ是方程的解。【典型习题】 1：长为的均匀杆，侧面绝缘,一端温度为零，另一端有恒定热流进入（即单位时间内通过单位截面积流入的热量为），杆的初始温度分布是，试写出相应的定解问题解：初始条件：， 杆的初始温度分布是，边界条件： 由杆的一端温度为零 ，杆的另一端有恒定热流q，）（Fourier实验定律故定解问题为： 该定解问题为齐次方程第二类非齐次边界条件的混合问题3：长为的弦两端固定，开始时在受冲量的作用，试写出相应的定解问题解：设弦的两端为：，由题意有弦的振动方程为

3、边界条件为：初始条件为：在点，取小段 （是无穷小量），由冲量定理有 ，(冲量=动量改变量) ； 于是， 故定解问题为 该定解问题为齐次方程第一类齐次边界条件的混合问题5、 若是两个任意二次连续可微函数，验证 满足方程 解：由题意有 及 及可得 二、偏微分方程的精确解求法1. 分离变量法（有界区域内/齐次边界；周期边界）Bessel函数及Legendre函数2. 行波法（针对波动方程，无界区域内）3. 积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间 ，奇：正弦变换 偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4. Green函数及基本解法1、 分离变量法，有界区

4、域内（1） 齐次方程+齐次边界条件分离变量法步骤：（i）分离变量：设方程试探解,代入方程 （ii）求解本征值问题 （iii）叠加原理求通解 （iv）初始条件求定解常用的本征值问题： 题型： （2） 非齐次方程+齐次边界条件分离变量法1) 本征函数法2) 冲量定理法（非齐次波动<扩散>方程；定解条件都是齐次）设是方程的解，则是方程的解。（3） 周期性条件的定解问题的分离变量法 （4） 非齐次边界条件分离变量法-函数代换设满足 1)2)3)4)【例题23】 求解一端固定，一端作周期运动的弦的振动问题 解 令取 将原问题边界条件齐次化 用分离变量法解齐次方程第一类齐次边界定值问题（i）变

5、量分离，令代入方程，得将上式分离变量，有 ，（ii）求解本征值问题：由方程可知它满足边界条件：，即得一族非零解将代入方程中，得其通解为（iii）由叠加原理，得通解。由叠加原理得弦振动方程的精确解为（iv）由初始条件求定解，代入初始条件： 则 ，其中原定解问题的解为 【例题25.】解定解问题解1：(i)变量分离:令 (ii)求解本征值问题: 本征值；本征函数(iii)求T(t)，得通解： (iv)代入初值,求定解: 原方程的解【例20】在扇形区域内求下列定解问题 的解。解：采用极坐标表示即 ，(i) 变量分离将代入方程及边界条件，得 (ii) 求解本征值问题 本征值问题 （3）（1）得通解为 （

6、4） 由（3）可得 本征值为 （5）和本证函数 （6）(iii) 求R(r)，得通解(叠加原理) 将（5）代入（2）得这是Euler方程，令，得其通解为 （7）由自然条件，取 ，于是问题的本征解为一般解为本征解的迭加 （8）(iv) 利用初值求定解由边界条件，得 （9）代入（8），得定解问题的解为：【例13，】求解定解问题解：(本征函数法)(i)对应齐次方程本征值问题 本征值：；本征值函数：(ii)将未知函数和自由项按特征函数系展开 （1） （2）其中(iii)由初始条件求定解将（1）（2）代入到方程,得 从而（5）Bessel函数和Legendre函数 Bessel方程：其解 正、负n阶第一

7、类贝塞尔函数 第二类Bessel函数Bessel函数的母函数Bessel函数的积分表达式 当n为整数时： 贝塞尔函数的递推公式 ，n 阶整数阶贝塞尔函数有： 贝塞尔函数系 正交性贝塞尔级数展开定理：设在区间0,R上至多有有限个跳跃间断点，则f(x)在(0,R)连续点处的贝塞尔级数收敛与该点的函数值，在间断点处收敛于该点左右极限的平均值 其中 Ex8试证是方程 的一个解。Ex9试证是方程的一个解。Ex15利用递推公式证明：（1）（2）证明：（1）由Bessel函数的降阶公式 （2）由有： 2.行波法（针对波动方程，无界区域内） 1）二阶线性偏微分方程的分类 特征方程：； 特征曲线：特征方程的积分

8、曲线 ，标准形:/ ，标准形: ，标准形:2）一维波动方程<用行波法/Fourier积分法> 无界弦自由振动,其解为 -DAlembert公式无界弦强迫振动,其解为 -Kirchhoff公式【例】（2）判断类型，并将其化简i)判断：，方程是双曲型的，ii)求变换：特征方程为特征线为 和。令特征变换iii)化简： 另若令特征变换 （3）判断方程类型，并将其化简i) 判断：因为，所以该方程是椭圆型的，ii)求变换其特征方程为 特征线为 即。故可令iii)化简原方程代入原方程，得：【例】用行波法求解定解问题：解：特征方程，它有两族特征曲线，作变换，方程变为：先对积分一次得再对积分一次得：

9、其中是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为 ， （1） （2）对（2）从到x积分得： （3）（1）+（3），（1）-（3）得 【例】用行波法求解定解问题：解：特征方程： 特征曲线： 特征变换 代入方程得方程标准形，其通解代入初值得 解得即 原初值问题的解3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）1）Fourier变换:针对整个空间 奇：正弦变换 偶：余弦变换【定义】如果f(x)在(-,+)上绝对可积,它的Fourier变换 Fourier逆变换为: 【性质】线性，卷积，乘积，微分，象导数，积分，延迟，位移 【存在Th】 【应用】利用Fourier变换解微分方程2）L

10、aplace变换：针对半空间 【定义】f(x)的Laplace变换： f(x)的Laplace积分(逆变换): 【存在Th】 【性质】线性，微分，积分，延迟，伸缩，卷积，【应用】利用Laplace变换解微分方程例1 Fourier积分变换法求解定解问题：解：（i）对自变量x作Fourier变换,并记（ii）求象函数通解：（iii）为求u(x,t) 作Fourier逆变换 P113E1：试用Fourier变换求解上来平面狄氏问题解：(I)让未知函数关于变量作Fourier变换有对原方程的两边和定解条件两边作Fourier变换有(II)求象函数通解将（7）代入（6）有：当时；当时所以(iii) 为

11、求u(x,t) 作Fourier逆变换而例E5 Laplace变换法求解方程解：(i)对该问题作关于t的拉普拉斯变换，记(ii)求象函数,通解:其中为常数。将边界条件代入上式，可得将边界条件代入上式，可得(iii)求原象函数。等式两边作关于p的Laplace逆变换例6：求解无界偏微分方程解：(1)对该问题作关于t的拉普拉斯变换，记(2)求象函数,通解其中为常数。将边界条件代入上式，可得将边界条件代入上式，可得(3)求原象函数。等式两边作关于p的Laplace逆变换 4.Green函数及基本解法 （1）Green公式向量形式： 第一Green公式: 第二Green公式: （2）调和函数()的积分

12、表达式 （3）Green函数 1） 定义： 2）结论： （5） 应用举例 例：用Green函数法解Laplace方程在球域的Dirichlet问题:解：（1） 求Green函数。在球域内任取一点，并放置一单位正电荷,连接并延长至，使得，在放置电量为q负电荷,使得两电荷所产生的电位在球面上抵消，即即在放置电量为负电荷，它所产生的电位易知在球域内是调和函数，在上有一阶连续偏导数，球域内Green函数为(2)计算(3)确定函数值其中P125 Ex6用Green函数法解Laplace方程在上半平面的Dirichlet问题:解：（1） 求Green函数。在上半平面y>0任取一点M0(x0,y0),

13、并放置一单位正电荷,作关于x轴对称点，并放置一单位负电荷,则两电荷所产生的电位在x轴上抵消，就是Green函数(2)计算(3)确定函数值三、偏微分方程的数值解法 （基本理论；抛物双曲椭圆型方程数值解）（一）基本理论： 1 差分格式构造法：Taylor公式；差商；已有差分格式 2 差分格式性质：相容性、稳定性、收敛性1) Lax-Th: 2) 稳定性：(1)(2)3 差分格式稳定性判定 Th1Th2 Th3 （二）抛物双曲椭圆型方程数值解 1抛物型方程差分格式 (1) (2) (3) (4) (5) 2 .一阶线性常系数双曲型方程 (1) (2) (3) (4) (5) 差分格式收敛的必要条件C

14、ourant-Friedrichs-Lewy条件，简称C.F.L条件: 差分格式的依赖区域包含偏微分方程初值问题的的依赖区域3 二阶线性常系数双曲型方程 (1) (2) 4 椭圆型方程 (1) (2) 【典型习题】一、 截断误差4.试讨求解差分格式: 的精度解: 又3.讨论扩散方程差分格式：的截断误差解： 截断误差二、 差分格式及稳定性1、波动方程的定值问题：（变量分离方法解析解）给出定解问题的显式差分格式，并讨论其稳定性解 取空间步长，时间步长，网格比，利用显示差分格式计算。波动方程的显示差分格式为从而可以得到定解问题的差分格式:差分格式是三层格式，为了利用Fourier判别其稳定性，差分格式