三角函数、解三角形 教案

1、第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数考纲下载1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念2能进行弧度与角度的互化3理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 一、必备知识1角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角(3)若与是终边相同的角，则用表示为2k，kZ2弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角(2)角的弧度数如果半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，那么，角的弧度数的绝对值是|(3)角度与弧度的换算1° rad；1 rad°(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心

2、角大小为(rad)，半径为r，则l|r，扇形的面积为Slr|·r23任意角的三角函数(1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin y，cos x，tan (x0)(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线二、必记结论1三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦2180°.一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角()

3、(2)第一象限角必是锐角，反之亦然()(3)不相等的角，终边一定不相同()(4)三角形的内角为第一或第二象限角()(5)若k·720°(kZ)，则和终边相同()(6)若P(tan ，cos )在第三象限，则角的终边在第二象限()提示：(1)错误如60°.(2)错误如370°是第一象限角，但它不是锐角(3)错误如45°与405°的终边相同事实上，只要角度相差360°的整数倍，其终边一定相同(4)错误.90°角的终边在y轴的非负半轴上(5)正确(6)正确因为P(tan ，cos )在第三象限，所以故为第二象限角答案：(

4、1)×(2)×(3)×(4)×(5)(6)二、牛刀小试1在360°0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A210°B150°C190° D170°解析：选C1 250°4×360°190°.2(2014·全国高考)已知角的终边经过点(4，3)，则cos ()A. B. C D解析：选D记P(4，3)，则x4，y3，r|OP|5，故cos .3若角同时满足sin 0且tan 0，则角的终边一定落在()A第一象限 B第二象限C第三象限

5、 D第四象限解析：选D由sin 0，可知的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合；由tan 0，可知的终边可能位于第二或第四象限故的终边只能位于第四象限4弧长为3，圆心角为135°的扇形半径为_，面积为_解析：l3，135°，所以r4，Slr×3×46.答案：46 考点一象限角及终边相同的角例1(1)若sin ·tan <0，且<0，则角是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角 D第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在听前试做(1)由sin

6、 ·tan <0可知sin ，tan 异号，从而为第二或第三象限角；由<0，可知cos ，tan 异号，从而为第三或第四象限角综上，为第三象限角(2)sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，sin 2·cos 3·tan 4<0.答案：(1)C(2)A探究1在本例(1)的条件下，是第几象限角？解：由例题条件可知，为第三象限角，所以为第二或第四象限角探究2若将本例(1)的全部条件换为“cos ·tan <0”，则为第几象限角？解：cos ·tan <0，cos ·sin <0

7、.又cos 0，为第三或第四象限角探究3若将本例(1)的条件换为“是第三象限角，且sin”，则是第几象限角？解：由是第三象限角，知2k<<2k(kZ)，k<<k(kZ)，知是第二或第四象限角再由sin，知sin<0.所以只能是第四象限角象限角的判断方法象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°(0°<360°，kZ)的形式，即找出与此角终边相同的角，再由角终边所在的象限来判断此角是第几象限角1设集合M，Nx|x·180°45°，kZ，那么

8、()解析：选B法一：由于Mx|x·180°45°，kZ，45°，45°，135°，225°，Nx|x·180°45°，kZ，45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，显然有MN.法二：由于M中，x·180°45°k·90°45°45°·(2k1)，2k1是奇数；而N中，x·180°45°k·

9、45°45°(k1)·45°，k1是整数，因此必有MN.2终边在直线yx上的角的集合为_解析：终边在直线yx上的角的集合为|k，kZ答案：|k，kZ考点二弧度制及其应用 例2已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.(1)若60°，R10 cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若，R2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积听前试做(1)l10×(cm)(2)由已知得：l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以R5时，S取得最大值25，此时l10 c

10、m，2 rad.(3)设弓形面积为S弓，由题知l(cm)，S弓S扇S××2×22×sin(cm2)应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角的大小；(2)求所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.解：(1)在AOB中，ABOAOB10，AOB为等边三角形因此弦AB所对的圆心角.(2)由扇形的弧

11、长与扇形面积公式，得l·R×10，S扇形R·l·R2.又SAOBOA·OB·sin25.弓形的面积SS扇形SAOB50.考点三三角函数的定义三角函数的定义是高考的常考内容，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：利用三角函数的定义求三角函数值例3已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y_听前试做r，且sin ，所以sin ，解得y8.答案：8角度二：对三角函数值的符号和角的位置的判断例4(2015·大连模拟)点A(sin 2 01

12、5°，cos 2 015°)在直角坐标平面上位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限听前试做由2 015°360°×5215°，知2 015°是第三象限角，sin 2 015°<0，cos 2 015°<0，则点P在第三象限答案：C角度三：以三角函数定义为载体的创新题例5(2012·山东高考) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为_ 听前试做如图，

13、连接AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作ADPC于D点由题意知的长为2.圆的半径为1，BAP2，故DAP2.DPAP·sincos 2，PC1cos 2，DAAPcossin 2，OC2sin 2.故(2sin 2，1cos 2)答案：(2sin 2，1cos 2)三角函数定义问题的常见类型及解题策略(1)利用定义求三角函数值在利用三角函数的定义求角的三角函数值时，若角终边上点的坐标是以参数的形式给出的，则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点P的位置无关(2)三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的

14、三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况(3)以三角函数定义为载体的创新题解决此类问题应把待求问题和已知条件联系起来，分析它们之间的联系，寻找解决问题的方案1在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()A(8，6) B(8，6)C(6，8) D(6，8)解析：选A|OP|10，且设xOP，cos ，sin .设(x，y)，则x10cos10sin 8，y10sin10cos 6.2若cos ，且角的终边经过点P(x，2)，则

15、P点的横坐标x是()A2 B±2C2 D2解析：选Dr，由题意得，x2.3. 如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df(l)的图象大致为()解析：选C如图取AP的中点为D，连接OD，连接OP.设DOA，则d2sin ，l2，故d2sin . 课堂归纳通法领悟个技巧三角函数的定义及单位圆的应用技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上异于原点的任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧个注意点理解角的概念、弧度制及三角

16、函数线应注意的问题(1)第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180° rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)要熟记0°360°间特殊角的弧度表示(4)要注意三角函数线是有向线段 一、选择题1已知角的终边与单位圆的交点P，则tan ()A.B±C. D±解析：选B因为P在单位圆上，x±.tan ±.2给出下列四个命题：75°是第四象限角，225°是第三象限角，475°是第二象限

17、角，315°是第一象限角，其中正确的命题有()A1个 B2个C3个 D4个解析：选D由象限角易知，正确；因475°360°115°，所以正确；因315°360°45°，所以正确3已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A2 B4 C6 D8解析：选C设扇形所在圆的半径为R，则2×4×R2，R21，R1，扇形的弧长为4×14，扇形的周长为246.4(2015·济南模拟)已知sin cos >1，则角的终边在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：

18、选B由已知得(sin cos )2>1，即12sin cos >1，sin cos <0，又sin >cos ，所以sin >0>cos ，所以角的终边在第二象限5集合中的角的终边所在的范围(阴影部分)是()解析：选C当k2n时，2n2n；当k2n1时，2n2n.6已知的终边过点P(a，3a)，a0，则sin ()A.或 B.C.或 D.或解析：选D当a>0时，角的终边过点(1，3)，利用三角函数的定义可得sin ；当a<0时，角的终边过点(1，3)，利用三角函数的定义可得sin .7若是第三象限角，则y的值为()A0 B2 C2 D2或2解析：

19、选A由于是第三象限角，所以是第二或第四象限角当是第二象限角时，y110；当是第四象限角时，y110.8已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos 2()A B C. D.解析：选B取终边上一点(a，2a)(a0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos ±，故cos 22cos21.二、填空题9(2015·西安模拟)在直角坐标系中，O是原点，A(，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到点B，则点B的坐标为_解析：依题意知OAOB2，AOx30°，BOx120°，设点B的坐标为(x，y)，则x2cos 120°

20、;1，y2sin 120°，即B(1，)答案：(1，)10已知角的终边上有一点M(3，m)，且sin cos ，则m_解析：由题意得sin ，cos ，所以，即，解得m4.答案：411. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos _解析：因为点A纵坐标yA，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以点A横坐标xA，由三角函数的定义可得cos .答案：12已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，即2<a3.答案：(2，3三、解答题13已知角的终边上有一点P(x，

21、1)(x0)，且tan x，求sin cos 的值解：的终边过点(x，1)(x0)，tan .又tan x，x21，即x±1.当x1时，sin ，cos ，因此sin cos 0；当x1时，sin ，cos ，因此sin cos .故sin cos 的值为0或.1(2015·南昌模拟)已知点P(sin cos ，tan )在第一象限，则在0，2内，的取值范围是()A. B.C. D.解析：选B由已知得sin cos >0，tan >0，故在0，2内.2一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为_解析：设扇形半径为R，内切圆半径为r.

22、则(Rr)sin 60°r，即Rr.又S扇|R2××R2R2r2，.答案：(74)93角终边上的点P与A(a，2a)(a0)关于x轴对称，角终边上的点Q与A关于直线yx对称，求sin ·cos sin ·cos tan ·tan 的值解：由题意得，点P的坐标为(a，2a)，点Q的坐标为(2a，a)所以sin ，cos ，tan 2，sin ，cos ，tan ，故有sin ·cos sin ·cos tan ·tan ××(2)×1.第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式考纲

23、下载1理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1，tan x.2能利用单位圆中的三角函数线推导出±，±的正弦、余弦、正切的诱导公式 一、必备知识1同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21(R)(2)商数关系：tan_2六组诱导公式角函数2k(kZ)正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_二、必记结论1特殊角的三角函数值0sin 0101cos 1010tan 01不存在0不存在2.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限“奇”与“偶”指的是诱导公式

24、k·中的整数k是奇数还是偶数“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变“符号看象限”指的是在k·中，将看成锐角时k·所在的象限一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)sin2cos21.()(2)同角三角函数的基本关系式中角可以是任意角()(3)六组诱导公式中的角可以是任意角()(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”与的大小无关()(5)若sin(k)(kZ)，则sin .()提示：(1)错误sin2cos2的值不确定(2)错误tan 中，k，kZ.(3)错

25、误有关正切函数的诱导公式，必须使tan 有意义(4)正确(5)错误当k2n时，sin ；当k2n1时，sin .答案：(1)×(2)×(3)×(4)(5)×二、牛刀小试1sin 585°的值为()AB.CD.解析：选Asin 585°sin(360°225°)sin 225°sin(180°45°)sin 45°.2已知cos()，且是第四象限角，则sin(2)()A B. C± D.解析：选Acos()，cos .又为第四象限角，sin <0.sin(2)s

26、in .3化简_解析：1.答案：14已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线2xy0上，则_解析：的终边在直线2xy0上，tan 2.2.答案：2 考点一同角三角函数基本关系式的应用例1(1)sin21°sin22°sin290°_(2)已知cos(x)，x(，2)，则tan x_(3)已知为三角形的内角，且sin cos ，则tan _听前试做(1)原式(sin21°sin289°)(sin22°sin288°)(sin244°sin246°)sin245°sin290

27、6;(sin21°cos21°)(sin22°cos22°)(sin244°cos244°)1111144个145.(2)cos(x)cos x，cos x.又x(，2)，sin x ，tan x.(3)法一：联立方程由得cos sin ，将其代入，整理得25sin25sin 120.是三角形内角，tan .法二：sin cos ，(sin cos )2，即12sin cos ，2sin cos ，(sin cos )212sin cos 1.sin cos <0且0<<，sin >0，cos <0，si

28、n cos >0.sin cos .由得tan .答案：(1)45(2)(3)探究1在本例(3)的条件下，求的值解：.探究2在本例(3)的条件下，求的值解：.探究3在本例(3)的条件下，求sin22sin cos 的值解：sin22sin cos .同角三角函数基本关系式的应用技巧(1)利用sin2cos21可以实现角正弦、余弦的互化，利用tan 可以实现角的弦切互化(2)注意公式逆用及变形应用：1sin2cos2，sin21cos2，cos21sin2.1若sin 2sin ，tan 3tan ，则cos _解析：sin 2sin ，tan 3tan ，sin24sin2，tan29t

29、an2.由÷得：9cos24cos2.由得sin29cos24.又sin2cos21，cos2，cos ±.答案：±2已知2cos23cos sin 3sin21，则tan _解析：因为2cos23cos sin 3sin21，所以cos23cos sin 4sin20.将上式两边同时除以cos2，整理得4tan23tan 10，解得tan 1或tan .答案：1或考点二诱导公式的应用 例2(1)sin(1 200°)cos 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)_(2)已知cos，则cossi

30、n2的值为_听前试做(1)原式sin 1 200°cos 1 290°cos 1 020°sin 1 050°sin(3×360°120°)cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)sin(2×360°330°)sin 120°cos 210°cos 300°sin 330°sin(180°60°)cos(180°30°)cos(360&#

31、176;60°)·sin(360°30°)sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°××1.(2)coscoscos()，sin2sin2sin21cos21，cossin2.答案：(1)1(2)利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式(2)化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值已知为第三象限角，f().(1)化简f()；(2)若cos，求f(

32、)的值解：(1)f()cos .(2)cos，sin ，从而sin .又为第三象限角，cos ，f().考点三两类公式在化简与求值中的应用高考单独考查同角三角函数基本关系式与诱导公式的题目多以选择题或填空题的形式出现，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：知弦求弦例3(1)(2013·广东高考)已知sin，那么cos ()A B C. D.(2)(2012·全国高考)已知为第二象限角，sin ，则sin 2()A BC. D.听前试做(1)sinsinsincos .(2)因为是第二象限角，所以cos ，所以sin 22sin cos 2×

33、15;.答案：(1)C(2)A角度二：知弦求切例4(2012·辽宁高考)已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 B C. D1听前试做sin cos ，sin，sin1.又0，tan 1.答案：A角度三：知切求弦例5(2011·福建高考)若tan 3，则的值等于()A2 B3 C4 D6听前试做2tan 6.答案：D化简求值问题的常见类型及解题策略(1)知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2cos21求解(2)知弦求切常通过平方关系，对称式sin cos ，sin cos ，sin cos 之间可建立联系，注意tan 的灵活应用(3)知切求弦通常先利用商数关系转

34、化为sin tan ·cos 的形式，然后利用平方关系求解1(2015·湖北八校联考)已知2tan ·sin 3，<<0，则sin ()A. B C. D解析：选B因为2tan ·sin 3，所以3，所以2sin23cos ，即22cos23cos ，所以cos 或cos 2(舍去)又<<0，所以sin .2(2015·西安模拟)已知sin()cos()，则sin cos ()A0 B. C. D.解析：选D由sin()cos()，得sin cos ，将两边平方得12sin cos ，故2sin cos ，所以(sin

35、cos )212sin cos 1.又<<，所以sin >0，cos <0，则sin cos .课堂归纳通法领悟个原则诱导公式的应用原则负化正、大化小、化到锐角为终了个注意点应用同角三角函数关系式与诱导公式应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号种方法三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1sin2cos

36、2cos2(1tan2)tan. 一、选择题1(2015·荆州模拟)已知sin()<0，cos()>0，则下列不等关系中必定成立的是() Asin <0，cos >0 Bsin >0，cos <0Csin >0，cos >0 Dsin <0，cos <0解析：选B因为sin()<0，所以sin <0，所以sin >0.因为cos()>0，所以cos >0，所以cos <0.2若<<2，cos(7)，则sin(3)·tan()的值为()A. B. C. D.解析：选Cc

37、os(7)cos()cos ，即cos ，sin(3)·tan(sin )·cos .3若sin22cos 2，则cos ()A1 B. C D1解析：选Dsin22cos 21cos22cos 2，整理得cos22cos 30，解得cos 3或cos 1，又1cos 1，故cos 1.4(2015·唐山模拟)已知A(kZ)，则A的值构成的集合是()A1，1，2，2 B1，1C2，2 D1，1，0，2，2解析：选C当k为偶数时，A2；当k为奇数时，A2，所以A的值构成的集合为2，25已知cos 是方程5x27x60的根，且是第二象限角，则()A. B C D.解析

38、：选B方程5x27x60的根为x12，x2，又是第二象限角，cos ，sin ，tan .故原式tan2.6(2015·青岛模拟)已知，那么的值是()A. B C2 D2解析：选A·1，又，.7(2015·揭阳模拟)已知sin cos ，且，则cos sin 的值为()A B. C D.解析：选B，cos 0，sin 0且|cos |sin |，cos sin 0.又(cos sin )212sin cos 12×，cos sin .8已知函数f(x)asin(x)bcos(x)，且f(4)3，则f(2 015)的值为()A1 B1 C3 D3解析：选D

39、f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，f(2 015)asin(2 015)bcos(2 015)asin()bcos()asin bcos (asin bcos )3.二、填空题9已知tan 2，则1sin2_解析：1sin22sin2cos2.答案：10._解析：原式1.答案：111已知tan x2，x，则cos x_解析：tan x2，4，4，cos2x.x，cos x<0，cos x.答案：12设，sin cos ，则tan _解析：将sin cos ，两边平方得sin cos .由得或又0<<，sin <cos ，故tan .答案：三、解

40、答题13已知sin ，cos 是关于x的方程x2axa0(aR)的两个根，求cos3sin3的值解：由已知原方程的判别式0，即(a)24a0，a4或a0.又(sin cos )212sin cos ，则a22a10，从而a1或a1(舍去)，因此sin cos sin cos 1.cos3sin3sin3cos3(sin cos )(sin2sin cos cos2)(1)1(1)2.1(2015·哈尔滨模拟)若sin ，cos 是方程4x22mxm0的两根，则m的值为()A1 B1 C1± D1解析：选B由题意知：sin cos ，sin cos .(sin cos )21

41、2sin cos ，1，解得m1±，又4m216m0，m0或m4，m1.2已知sin cos ，且，则的值为_解析：法一：由题意得sin cos ，因为(sin cos )2(sin cos )22，即(sin cos )22，所以(sin cos )2.又，所以sin cos ，所以(sin cos ).法二：由题意得sin cos ，所以sin，sin.又，所以，所以cos，cos 2sin(2)sin(2)2sincos2××，所以.答案：3已知，(0，)，若等式sin(3)cos，cos()cos()同时成立，则_解析：由诱导公式可得22得sin23cos

42、22，解得cos2.又，所以cos ，代入得cos .又(0，)，所以，sin ，代入得sin ，故，所以.答案：4已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根分别是sin 和cos ，(0，2)，求：(1)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时的值解：(1)原式sin cos .由条件知sin cos ，故.(2)由已知，得sin cos ，sin cos ，又12sin cos (sin cos )2，可得m.(3)由知或又(0，2)，故或.第三节 三角函数的图象与性质考纲下载1能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性2借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，

43、2，正切函数在上的性质 一、必备知识正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域RR kZ值域1，11，1R单调性递增区间：(kZ)；递减区间：(kZ) 递增区间：2k，2k (kZ)；递减区间：2k，2k (kZ)递增区间：(kZ)最值，无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：(k，0)(kZ)对称中心：(kZ)对称中心：(kZ)对称轴：xk，kZ对称轴：xk，kZ：无对称轴周期22二、必记结论1函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T，函数ytan(x)的最小正周期为T.2三角函数中奇函数一般可化为yAsin x或yAtan

44、 x的形式，而偶函数一般可化为yAcos xb的形式一、思考辨析判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“×”)(1)ysin x在上是增函数()(2)ysin x在第一、四象限是增函数()(3)所有的周期函数都有最小正周期()(4)ytan x在整个定义域上是增函数()(5)yksin x1(xR)的最大值为k1.()(6)ysin|x|为偶函数()提示：(1)正确(2)错误(3)错误如常数函数为周期函数，但没有最小正周期(4)错误单调区间不能取并集也可借助正切函数的图象判断(5)错误当k>0时，其最大值为k1.(6)正确答案：(1)(2)×(3)×(4

45、)×(5)×(6)二、牛刀小试1(2014·陕西高考)函数f(x)cos 的最小正周期是()A. B C2 D4解析：选B由余弦函数的复合函数周期公式得T.2函数ytan的定义域是()A.B.C.D.解析：选Dytantan，xk，即xk，kZ.3下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()Aysin BycosCysin Dycos解析：选A由函数的周期为，可排除C，D.又函数在上为减函数，排除B，故选A.4函数y32cos的最大值为_，此时x_.解析：函数y32cos的最大值为325，此时x2k，即x2k(kZ)答案：52k(kZ) 考点一三角函数的定义域和值域

46、例1(1)函数ylg(2sin x1)的定义域是_(2)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为_听前试做(1)要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解之得2kx<2k，kZ.即函数的定义域为，kZ.(2)0x9，x，sin1，故2sin2.即函数y2sin(0x9)的最大值为2，最小值为.所以最大值与最小值的和为2.答案：(1)，kZ(2)2探究1若将本例(2)中的函数换为“y3sin x2cos2x，x”，如何解决？解：x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2，当sin x时，ymin；当sin x或sin x1时，ymax2.故函数的

47、最大值与最小值的和为2.探究2若将本例(2)中的函数换为“ysin xcos xsin xcos x，x0，”，如何求解？解：令tsin xcos x，又x0，tsin，t1, 由tsin xcos x，得t212sin xcos x，即sin xcos x.原函数变为yt，t1，即yt2t.当t1时，ymax11；当t1时，ymin11.故函数的最大值与最小值之和为0.1三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解2三角函数值域(或最值)的求法求解三角函数的值域(或最值)常见到以下几种类型的题目：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(或最值)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(或最值)；形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数，可先设tsin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(或最值)求函数ysin x(cos xsin x)的最大值解：ysin x(cos xsin x)sin xcos xsin2xsin 2x(sin 2xcos