类比探究专题

1、类比探究专题例1如图 1，在等腰直角ABC 和等腰直角CDE 中，CD>BC，点 C，B，D 在同一直线上，M 是 AE 的中点，易证 MDMB，MD=MB（1）如图 2，将图 1 中的CDE 绕点 C 顺时针旋转 45°，使CDE 的斜边 CE 恰好与ABC 的边 BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？（2）将图 2 中

2、的ABC 绕点 C 逆时针旋转大于 0°且小于 45°的角，如图 3 所示，请直接写出你的结论DEDABMA    BMA     BDCEMC图1图2C                E图3例2如图 1，在 ABC 中，

3、0;AC = BC ， ÐC = 120° ， D 在 BC 边上。BDE 为等边三角形，连接 AE ，F 为 AE 中点，连 CF ，DF 。请直接写出 CF、DF 的关系，不必说明理由；若将图 1 中的 DBE 绕点 B 顺时针旋转 90° ，其它条件不变，请作出相

4、应图形，并直接给出结论，不必说明理由。将图中的 DBE 绕点 B 顺时针旋转 a （0° a 60°），其它条件不变，如图 2，试回答中的结论是否成立？并说明理由。EECCDAF    DF图1               B A     

5、      图2B例 3 （1）操作发现：如图 1，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，将ABE 沿 AE 折叠后得到AFE，点 F在矩形 ABCD 内部，延长 AF 交 CD 于点 G猜想线段 GF 与 GC 有何数量关系？并证明你的结论（2）类比探究：如图 2，将（1）中的矩形 

6、;ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由AD                    A                    DFGFGBE 

7、;           C         B        E       C图1              

8、;                图21例4已知：如图所示，直线MA NB，ÐMAB 与 ÐNBA 的平分线交于点 C ，过点C 作一条直线 l 与两条直线 MA、NB 分别相交于点 D、E （1）如图 1 所示，当直线l 与直线 MA 垂

9、直时，猜想线段 AD、BE、AB 之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图 2 所示，当直线 l 与直线 MA 不垂直且交点 D、E 都在 AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当直线 l 与直线 MA 不垂直且交点 D、E 在 AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段 AD、BE

10、、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系MNMNMNMNDCD        C      El             C             

11、0;        CElABABABAB图1图2备用图备用图1例 5 在ABC 中，A90°，点 D 在线段 BC 上，EDB 2 C，BEDE，垂足为 E，DE 与 AB 相交于点 F（1）当 ABAC 时（如图 1），EBF_°；探究线段 BE 与 FD 的数量关系，并加以证明；BE

12、（2）当 ABkAC 时（如图 2），求 FD 的值（用含 k 的式子表示）图1图22例 6如图 1，在 Rt ABC 中，ACB=90°，CDAB，垂足为 D，点 E 在 AC 上，BE 交 CD 于点 G，EFBE 交 AB 于点 F，AC=mBC，CE=nEA（m，n 为实数）.试探究线段 EF 与&#

13、160;EG 的数量关系（1）如图 2，当 m=1，n=1 时，求 EF 与 EG 的数量关系（2）如图 3，当 m=1，n 为任意实数时，求 EF 与 EG 的数量关系（3）如图 1，当 m，n 均为任意实数时，求 EF 与 EG 的数量关系CCCEGEEGGA FD图1B    A  FD图2B 

14、;   A  F     D图3B例 7 在等腰直角三角形 ABC 中，BAC=90°，AB=AC，直线 MN 过点 A 且 MNBC以点 B 为一锐角顶点作 RtBDE，BDE=90°，且点 D 在直线 MN 上（不与点 A 重合）如图 1，DE 与 AC 

15、交于点 P，易证：BD=DP（1）在图 2 中，DE 与 CA 的延长线交于点 P，则 BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由（2）在图 3 中，DE 与 AC 的延长线交于点 P，BD 与 DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明MDANPEM    A   D    

16、60; NPEM DANBCPBC图1BCE图2图33例 8 如图 1，在 RtABC 中，BAC=90°，ADBC 于点 D，点 O 是 AC 边上一点，连接 BO，交 AD 于点 F，OEOB 交 BC 于点 E（1）求证： ABF COE ；ACOF= 2（2）如图 2，当 O 为 AC

17、60;边中点， AB时，求 OE 的值；ACOF= n（3）如图 3，当 O 为 AC 边中点， AB时，请直接写出 OE 的值BDFEAO      C图1BDFEAO图2BDFCEAOC图3例 9 如图 1，已知MAN=120°，AC 平分MAN，ABC=ADC=90°，可以证明：DC=BC；AC = AB+AD（1）如图 

18、2，把题干中的条件“ABC=ADC=90°”改为ABC+ADC=180°，其他条件不变，证明结论和结论仍然成立（2）如图 3，如果 D 在 AM 的反向延长线上，把题干中的条件“ABC=ADC=90°”改为ABC=ADC，其他条件不变，结论和是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请说明理由MC         M          

19、;CM              CDADB     N           AB     N        AB  N图1图2D 

20、0;    图34例 10如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 在直线 BC 上，连接 AD，作ADN=60°，直线 DN 交射线 AB 于点 E，过点 C 作 CFAB 交直线 DN 于点 F（1）当点 D 在线段 BC 上，NDB 为锐角时，如图 1，求证：CF+BE=CD（提示：过

21、点 F 作 FMBC 交射线 AB 于点 M）（2）当点 D 在线段 BC 的延长线上，NDB 为锐角时，如图 2；当点 D 在线段 CB 的延长线上，NDB 为钝角时，如图 3，请分别写出线段 CF，BE，CD 之间的数量关系，不需要证明（3）在（2）的条件下，若ADC=30°， ABC   4 3，则 BE=_，C

22、D=_AAANNEBCD      DB       CMBDFCNEFE图1图2F图3例 11 已知，ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上一动点（点 D 不与 B、C 重合）以 AD 为边作菱形ADEF，使DAF=60°，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC

23、 上时，求证：ADB=AFC；请直接判断结论AFC=ACBDAC 是否成立；（2）如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上时，其他条件不变，结论AFC=ACBDAC 是否成立？请写出AFC、ACB、DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图 3，当点 D 在边 CB 的延长线上时，且点 A、F 分别在直线 BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出AFC、A CB、DAC 之

24、间存在的等量关系FAA                                       AFEBDCB        

25、C  D                    D   B         CE图1图2图35例 12（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，ABC 中，若 AB=5，AC=3，求 B

26、C 边上的中线 AD 的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE=AD，再连接 BE（或将ACD绕点 D 逆时针旋转 180°得到EBD），把 AB、AC 、2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得 2AE8，则 1AD4感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中（

27、2）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图 2，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF求证：BE+CFEF；若A=90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明（3）问题拓展：如图 3，在四边形 ABDC 中，B+C=180°，DB=DC，BDC=120°，以 D&#

28、160;为顶点作一个 60°角，角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE、CF、EF 之间的数量关系，并加以证明AAAEBD         C                   FE 

29、                          BFCEBD         CD图1图2图3例 13如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线例如，平行四边形的一条对角线所在的直线

30、就是平行四边形的一条面积等分线（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有_；（2）如图 1，梯形 ABCD 中，ABDC，如果延长 DC 到 E，使 CEAB，连接 AE，那么有 S 梯形 ABCDADE请你给出这个结论成立的理由，并过点 A 作出梯形 ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图 2，四边形 ABCD 中，AB 与 CD 

31、;不平行，SADCSABC，过点 A 能否作出四边形 ABCD 的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由BAAEBC               D                  C 

32、60;              D图1                          图26阅读下列材料：问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，M 是&

33、#160;BC 边的中点，且 ÐAMD = 90° ，试判断 ABCD 与 AD 之间的大小关系。小雪同学的思路是：作 B 点关于 AM 的对称点 E，连接 AE、ME、DE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：写出上面问题中 ABCD 与 AD 之间的大小关系；2  BC + CDAD ；

34、如图 2，若将 ÐAMD 的度数改为 120°，原问题中的其他条件不变，证明： AB + 1如图 3，若 ÐAMD = 135° ， AB = 1，BC = 2 2 ，求 AD 的最大值。解决类比探究问题的处理思路1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决类比探究常见结构： 中点结构常考虑平行夹中点 旋转结构

35、特征：等线段共点 平行结构作平行，造相似 直角结构 “斜直角放正”2. 若不属于常见结构类型： 根据题干条件，结合分支条件先解决第一问 类比解决下一问如果不能，分析条件变化，寻找不变特征 结合所求目标，依据不变特征，大胆猜测、尝试、验证借助上面填写的内容，做下面的小题7【试题 1】如图 1，在等腰直角ABC 和等腰直角CDE 中，CD>BC，点 C，B，D 在同一直线上，M 是 AE 的中点，易证 MDMB，MD=MB（

36、1）如图 2，将图 1 中的CDE 绕点 C 顺时针旋转 45°，使CDE 的斜边 CE 恰好与ABC 的边 BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？（2）将图 2 中的ABC 绕点 C 逆时针旋转大于 0°且小于 45°的角，如图 3 所示，请直接写出你的结论A    BDEDMABMA&

37、#160;    BDCCECME图1首先需要证明图 1 中的结论图2图3DBAMCN    E由 M 是 AE 的中点，ABDE，发现有 平行夹中点 结构，延长 BM，交 DE 于点 N，可以得到ABMENM，进而得到BM=MN，AB=BC=EN，DN=DB，DBN 是等腰直角三角形，MDMB，MD=MBAB（1）图 1 和图 2 中没有发生变化

38、的是M 是 AE 的中点，ABD            DE，   1分析 ABCE，补全“平行夹中点”的结构，照搬图中的证明思路MCNE延长 BM，交 CE 于点 N，连接 BD，DN，能够得到 ABMENM     ，进而得到BM=MN；进一步证明BCDNED，可以得到DBN 是等腰直

39、角三角形，得到结论MDMB，MD=MB（2）图 2 和图 3 两个等腰直角三角形没有变化，M 是 AE 的中点也没有发生变化，所以可以照搬（1）中的证明思路DE第一步构造“平行夹中点”的辅助线，过点 作 AB 的平行线，ABCMNE交 BM 的延长线于点N，连接BD，DN；第二步证明 ABMENM           ；第三步证明 DBN 

40、;是等腰直角三角形，过程中需要证明BCD=NED，请在图中给出简要证明；第四步根据DBN 是等腰直角三角形，得到结论MDMB，MD=MB【试题 2】如图 1，已知MAN=120°，AC 平分MAN，ABC=ADC=90°，可以证明DC=BC；AC = AB+AD（1）如图 2，把题干中的条件“ABC=ADC=90°”改为ABC+ADC=180°，其他条件不变，证明结论和结论仍然成立（2）如图 3，如果 D 在 AM 的反向延长线上，把题

41、干中的条件8“ABC=ADC=90°”改为ABC=ADC，其他条件不变，结论和是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请说明理由MC         M           CM              CDADB   &

42、#160; N           A         B    N       AB  N图1D图2             &

43、#160;           图31.弄清题干中结论是如何证明的，主要利用的特征为角平分线，以及含有30°角的直角三角形AC ， AD =角平分线的性质得到 DC=BC 结论成立，利用含 30°角的直角三角形中 AB =1           12  

44、60;        2AC 证明结论成立2.第二问与第一问相比，垂直、直角三角形特征已经变化，但_MAN=120°，AC 平分MAN 没有发生变化，属于不变特征，考虑角平分线的性质，构造与图 1 一致的三角形，添加辅助线_MC             证明的路线图为第一步：辅助线E第二步：由题干可知AC 和 AE，AF 的关系是_第三步：CED_（条件是_），得到 ED=FB，DA     F  B     NCD=CB，第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+AB 结论均成立3.不变特征_，没有发生变化，照搬上一问的证明思路MC第一步：辅助线，_第二步：由题干可知AC=AE+AFE第三步：_第四步：结论成立，结论变为_A     &#