函数的单调性与极值理实用教案

1、 f (x)0 f (x)0 则f(x)在a b上严格(yng)单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上严格(yng)单调减少 由拉格朗日中值公式(gngsh) 有 f(x2) f(x1) =f (x)(x2x1) (x1x0 x2x10 所以 f(x2)f(x1)f (x)(x2x1)0 即 f(x1)f(x2) 这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加 证明 只证(1) 在(a b)内任取两点x1 x2(x10 则f(x)在a b上严格单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上严格单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 因此

2、函数yx3在区间( 0及0, )内严格单调增加 从而函数在整个定义域( )内严格单调增加 例2 2 第5页/共31页第五页，共32页。 1 设函数 yf(x)在a b上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f (x)的两个相邻(xin ln)的零点 问f(x)在x1 x2上是否单调？ 讨论(toln)结论：由单调(dndio)性判别法可知f(x)在x1 x2上一定单调(dndio)。 2.设函数 yf(x)在a b上连续 在(a b)内可导 x1 x2是 f (x)的两个相邻的零点 问f (x)在(x1 x2) 内符号如何判断？ 结论：只要求出(x1 x2)内某一点的符号，即可知 f (x)

3、在(x1 x2) 内符号 3 如何把区间a b划分成一些小区间 使函数 f(x)在每个小区间上都是单调的？ 结论：解出使f (x)=0的点，以这些点为分界点划分a b第6页/共31页第六页，共32页。 例3 确定(qudng)函数f(x)2x39x212x3的单调区间 解 这个(zh ge)函数的定义域为( ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 导数为零的点为x11、x22 列表分析 函数f(x)在区间( 1和2 )内单调(dndio)增加 在区间1 2上单调(dndio)减少 ( 1) (1 2) (2 ) y2x39x212x3第7页/共31页第七页，共32页。 解 函数(hn

4、sh)的定义域为( ) 所以函数在0 )上单调(dndio)增加 因为(yn wi)x0时 y0 所以函数在( 0 上单调减少 因为x0时 y0 例5 求证(qizhng)当x 0时 ex 1+x求导数(do sh) f (x)ex1列表判断：又因 f(0)=0所以x 0时，f(x) 0 即 ex 1+x（ x 0） ( 0) (0 )+第11页/共31页第十一页，共32页。 因为当x1时 f (x)0 所以(suy)f(x)在1 )上f(x)单调增加 因此当x1时 f(x)f(1)=0 即 例6 例例 6 证明 当 x1 时 xx132 证明(zhngmng)312xxy第12页/共31页第

5、十二页，共32页。0yx二、极值(j zh)及其判别法 定义 设函数f (x)在(a, b)内有定义，x0 是(a, b)内一点，若点x0存在(cnzi)一个邻域，使得对此邻域内任一点x (x x0)总有 (1) f (x) f (x0) ,则称f (x0)为 函数(hnsh)f (x)的一个极小值，称x0为函数(hnsh)f (x)的一个极小值点 函数极大值与极小值统称为极值。极大值点与极小值点统称为极值点。abACBDEFy=f(x)第13页/共31页第十三页，共32页。 极值(j zh)与最值的区别（1）最值是在一个区间上考虑，是整体的、绝对的、唯一的；而极值只就某个(mu )邻域来考虑

6、，是局部的、相对的、不唯一的。（2）最值可取端点，极值不会取到端点。（3）一个区间上最大值一定大于或等于最小值，但极大值未必大于极小值。问题(wnt)： 如何求函数的极值点？0yxabACBDEFy=f(x)第14页/共31页第十四页，共32页。0yx定理2（极值存在(cnzi)的必要条件） 如果(rgu)函数f(x)在点x0处有极值f (x0) ，且f (x0)存在，则必有f (x0)=0abACBDEFy=f(x) 驻点：使导数f (x)为零的点（即方程(fngchng)f (x0)=0的实根）称为函数f(x)的驻点，又称稳定点。 可导的函数f(x)的极值点必为f(x)的驻点，但驻点不一定

7、是极值点。如：函数f(x) x3 f (x) 3x2 显然 当x0时 f (x) 0即 x0为f(x) 的驻点但 x0不是f(x) 的极值点 导数不存在的点也有可能为极值点 因此，所有可能为极值点的点是方程f (x0)=0的根及导数不存在的点第15页/共31页第十五页，共32页。 关于极值点与驻点的关系： （1）两类点定义的出发点不同。 极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点邻域内任何其它点的函数值； 驻点是指导数为零的点 因此极值点可以是可导点也可以是不可(bk)导点，而驻点一定是可导点。 （2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导，则函数的极值点一定是驻点，反之不成立； （3）

8、驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域内符号相反，则此驻点一定为极值点第16页/共31页第十六页，共32页。定理3（极值的第一(dy)判别法） 设函数f(x)在x0点的某一邻域(ln y)(x0 , x0 )内连续，除点x0外，在此邻域(ln y)内可导，其导数f (x)在点x0的左右附近保持着确定的符号，这时有三种情况： （1）当x0，当x x0时， f (x) 0，则f(x)在x0点取得极大值； （2）当x x0时， f (x) x0时， f (x) 0，则f(x)在x0点取得极小值； （3） f (x)在经过x0点时不改变符号，则f(x)在x0点不取极值。第17页/共31页第十

9、七页，共32页。 例7 求函数f(x)2x39x212x3的极值(j zh) 解 函数的定义域为( ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 令f (x)=0，得驻点(zh din)为x11、x22 用驻点(zh din)将定义域分成三个区间，列表 故函数(hnsh)f(x)在x=1处取得极大值f(1)=2，在x=2处取得极小值f(2)=1 ( 1) (1 2) (2 ) y2x39x212x312极大值2极小值100第18页/共31页第十八页，共32页。例8 求函数f(x) (x2 1)3 1的极值(j zh) 解 函数的定义域为( ) f (x)6x(x2 1)2 令f (x)=0

10、，得驻点(zh din)为x10、x21、 x3 1 用驻点(zh din)将定义域分成四个区间，列表 ( 1) (1 ) (1 0) (0 1) 故函数(hnsh)f(x) 在x=0处取得极小值f(0)=0无极值无极值极小值0110000第19页/共31页第十九页，共32页。 解 函数(hnsh)的定义域为( ) 所以(suy)函数在0 )上单调增加 因为(yn wi)x0时 y0 所以函数在( 0 上单调减少 因为x0时 y0 例例 3 讨论函数32xy 的单调性 例4 332xy (x0) 函数在 x0 处不可导 (x0) 函数在 x0 处不可导 32xy故函数f(x) 在x=0处取得极

11、小值f(0)=0说明 导数不存在的点也有可能为极值点第20页/共31页第二十页，共32页。 例9 证明二次函数y ax2 bx c (a0)的极值点为 ， 并讨论它的极值 ab2 证明(zhngmng)：函数y ax2 bx c (a0)的定义域为( ) y=2ax+b (1)若a 0，则ab2当x 时，ab2当x 时，ab2故x0= 是函数的极小值，ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0且极小值为ab2令 y=2ax+b=0，得驻点为x0= 第21页/共31页第二十一页，共32页。(2)若a 0，则ab2当x 时，ab2当x 时，ab

12、2故x0= 是函数的极大值，ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0ab2有y=2ax+b= 2a (x + ) 0极大值为：求函数极值(第一(dy)判别法)小结： (1)确定函数的定义域 (2)求出f (x),令f (x) =0，解方程得驻点及导数不存在的点为分界点 (3)用分界点把定义域分成若干个开区间 (4)判断或列表判断f (x) 在各个分界点左、右的符号，由极值第一(dy)判别法可确定函数极值 第22页/共31页第二十二页，共32页。练习(linx)2：用极值第一判别法求函数 的极值 xexxf221)( 解：定义域为( ) 令f (x)=0，解得x10、x22列表(li b

13、io)分析( 0)(0 2)(2 )0200极小值0极大值2e-2故函数(hnsh)f(x) 在x=0处取得极小值f(0)=0,在x=2处取得极大值f(2)= 2e-2 第23页/共31页第二十三页，共32页。定理(dngl)4（极值的第二判别法） 设函数(hnsh)f(x)在点x0处有二阶导数且f (x0)=0， f (x0)0，则 （1）当f (x0)0时，函数(hnsh)f(x)在x0点取得极小值。 证：（1）由于(yuy) f (x0)0 则f(x)在a b上严格单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 则f(x)在a b上严格单调减少 (1)确定函数的定义域 (2)求出f (x

14、),令f (x) =0，解方程求分界点 (3)用分界点把定义域分成若干个开区间 (4)判断或列表判断f (x) 在各个开区间上的符号，由单调性判别法可确定单调区间 第28页/共31页第二十八页，共32页。 设函数f(x)在x0点的某一邻域(x0 , x0 )内连续，除点x0外，在此邻域内可导，其导数f (x)在点x0的左右附近保持着确定的符号，这时有三种情况： （1）当x0，当x x0时， f (x) 0，则f(x)在x0点取得极大值； （2）当x x0时， f (x) x0时， f (x) 0，则f(x)在x0点取得极小值； （3） f (x)在经过x0点时不改变符号，则f(x)在x0点不取

15、极值。（4）极值(j zh)第一判别法及步骤求函数极值(第一判别法)步骤： (1)确定函数的定义域 (2)求出f (x),令f (x) =0，解方程得驻点及导数不存在的点为分界点 (3)用分界点把定义域分成若干个开区间 (4)判断或列表判断f (x) 在各个分界点左、右的符号，由极值第一判别法可确定函数极值 第29页/共31页第二十九页，共32页。（5）极值(j zh)第二判别法及步骤 设函数f(x)在点x0处有二阶导数且f (x0)=0， f (x0)0，则 （1）当f (x0)0时，函数f(x)在x0点取得极小值。 第二判别法求函数极值的步骤(bzhu)： (1)求一阶导数f (x)，令f (x)=0 得驻点x=x0 ； (2)求二阶导数f (x)，并求出f (x0)的值； (3)当f (x0)0时，由极值第二判别法得出x0为极值点；当f (x0)=0时，由极值第一判别法判断x0点是否为极值。作业(zuy)：第30页/共31页第三十页，共32页。感谢您的