2010届高三数学三角函数的最值ppt课件

1、一、高考要求一、高考要求 1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等等, 求三角函数的最大值和最小值求三角函数的最大值和最小值. 2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值最小值. 3.会把实践问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来会把实践问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来处理处理. 最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一, 需求综需求综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角合运用三角函数概念、图象、性质

2、以及诱导公式、同角三角函数根本关系式、三角变换等函数根本关系式、三角变换等, 也是函数内容的交汇点也是函数内容的交汇点, 常常见方法有见方法有: 1.涉及正、余弦函数以及涉及正、余弦函数以及 asin+bcos, 可思索利用三角可思索利用三角函数的有界性函数的有界性. 二、重点解析二、重点解析三、知识要点三、知识要点 2.形如形如 y=asin2x+bsinx+c 或或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可的函数可经过适当变换、配方求解经过适当变换、配方求解. 3.形如形如 sinx+cosx, sinxcosx 在关系式中时在关系式中时, 可思索换元法可思索换元法处置处置.常见的三角换

3、元常见的三角换元 1.假设假设 x2+y2=1, 可设可设 x=cos, y=sin; 2.假设假设 ax2+y2b, 可设可设 x=rcos, y=rsin, ar2b; 3.对于对于 1-x2 , 由于由于 |x|1, 可设可设 x=cos(0) 或或 x=sin (- );2 2 4.对于对于 1+x2 , 可设可设 x=tan(- ) 或或 x=cot(0); 2 2 5.对于对于 x2-1 , 可设可设 x=sec(0 或或 ) 或或 x=csc (- 0 或或 00, 只需调查只需调查 y2 的最值的最值. = . 2716y2=4cos2 cos2 y2=4cos2 cos2 s

4、in2 sin2 2x 2x 2x 2( )3 2( )3 2sin2 +cos2 +cos2 32x 2x 2x 仅当仅当 2sin2 =cos2 , 即即 tan = (0 x ) 时取等号时取等号. 2x 2x 2x 22y 无最小值无最小值. 当当 x=2arctan x=2arctan 时时, y2 , y2 取最大值取最大值 . . 2227164 39当当 x=2arctan x=2arctan 时时, y , y 取最大值取最大值 ; ; 222x 2.求函数求函数 y=(1+cosx)sin (0 x0, -2a-2a(- )+2a+b=1, (- )+2a+b=1, 12-

5、2a-2a1+2a+b=-5, 1+2a+b=-5, a0, -2a-2a(- )+2a+b=-5, (- )+2a+b=-5, 12-2a-2a1+2a+b=1. 1+2a+b=1. 或或解得解得: a=2, b=-5 或或 a=-2, b=1. 6.求求 y= 的最值及对应的的最值及对应的 x 的集合的集合. (1+sinx)(3+sinx) 2+sinx 解解: y=2+sinx sin2x+4sinx+3 2+sinx (2+sinx)2-1 = =2+sinx- . 2+sinx 1令令 2+sinx=t, 那么那么 y=f(t)=t- (1t3). t 1对于恣意的对于恣意的 t1

6、, t2 1, 3, 且且 t1t2 有有 f(t1)-f(t2)=(t1- )-(t2- )t11t21t1t2 1+t1t2 =(t1-t2)( ) 0. 即即 f(t1)-f(t2)0 f(t1)-f(t2)0 f(t1)f(t2). f(t1)f(t2). f(t) f(t) 在在 1, 3 1, 3 上是增函数上是增函数. . 当当 t=1 t=1 时时, ymin=f(t)min=0, , ymin=f(t)min=0, 此时此时, sinx=-1, x , sinx=-1, x 的集合为的集合为: : x | x=2k - , k Z; 2 x | x=2k + , k Z. 2

7、 当当 t=3 时时, ymax=f(t)max= , 此时此时, sinx=1, x 的集合为的集合为: 83 7.函数函数 y=sin2x+acosx+ a- (0 x )的最大值为的最大值为 1, 求求 a的的值值.2 5832解解: 由知由知 y=-cos2x+acosx+ a- 5812=-(cosx- )2+ + a- . 4a2 a25812 令令 t=cosx, 那么那么 y=-(t- )2+ + a- (0t1). 4a2 a25812讨论如下讨论如下: : 假设假设 0 1, 那么那么 t= 时时, 由题设由题设 ymax= + a- =1. a2a24a2 5812解得解

8、得 a=-4(舍去舍去)或或 a= . 32解得解得 a= (舍去舍去). 512假设假设 1, 那么那么 t=1 时时, 由题设由题设 ymax= a- =1. 32a2813解得解得 a= (舍去舍去). 1320综上所述综上所述 a= . 328.假设方程假设方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解恒有实数解, 求求 a 的取值范的取值范围围. 解法解法 1 从方程有解的角度思索从方程有解的角度思索. 原方程即为原方程即为: 2cos22x+2cos2x-3+a=0. 令令 t=cos2x, 那么那么 |t|1, 且且 2t2+2t-3+a=0 恒有解恒有解.解得解得: -1a

9、 . 72解法解法 2 从二次函数图象及性质思索从二次函数图象及性质思索. 问题转化为问题转化为: “a 为何值时为何值时, f(t)=2t2+2t+a-3 的图象与横轴至少有一个交的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在点的横坐标在 -1, 1 内内.f(t) f(t) 图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 t=- , t=- , 12=4(7-2a)0,=4(7-2a)0,-2+ 4(7-2a) -2+ 4(7-2a) 4| |1, =4(7-2a)0,=4(7-2a)0,-2- 4(7-2a) -2- 4(7-2a) 4| |1, 或或解得解得: -1a . 720,0,f(-1)0, f(

10、-1)0. f(1)0, 或或 8.假设方程假设方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解恒有实数解, 求求 a 的取值范的取值范围围. 解法解法 3 正难那么反正难那么反, 从反面思索从反面思索. f(t) f(t) 图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 t=- , t=- , 12假设方程假设方程 f(t)=2t2+2t+a-3=0 的两根均在的两根均在 -1, 1 之外之外, 那么那么72当当 =4(7-2a)0, 即即 a 时时, f(1)0. f(1)0. 解得解得: a0 时时, bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+) 2.函数函数 y=acos

11、x+b(a, b为常数为常数), 假设假设 -7y1, 求求 bsinx+acosx 的最大值的最大值.解得解得 a=4, b=-3, a=4, b=-3, 此时此时, , a+b=1, -a+b=-7, -a+b=-7, (tan=- ). 43当当 a0 时时, bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+) 解得解得 a=-4, b=-3, a=-4, b=-3, 此时此时, , a+b=-7, -a+b=1, -a+b=1, (tan= ). 43当当 a=0 时时, 不合题意不合题意. 综上所述综上所述, bsinx+acosx 的最大值为的最大值为 5. 解解:

12、 y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令令 sinx=t, sinx=t, 那么那么 y=-(t+a)2+a2-a+1(-1t1). y=-(t+a)2+a2-a+1(-1t1). 假设假设 -1, -1, 1, 那么当那么当 t=-1 t=-1 时时, y , y 有最大值有最大值 3.求函数求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值为定值)的最大值的最大值 M. M=-(-1+a)2+a2-a+1=a; 假设假设 -1-a1, -1-a1, 即即 -1a1, -1a1, 那么当那么当 t=-a t=-a 时时, y , y 有最大值有最大值

13、M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1; 假设假设 -a1, -a1, 即即 a-1, a-1, 那么当那么当 t=1 t=1 时时, y , y 有最大值有最大值 M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a. 综上所述综上所述, M= a2-a+1, -1a1, -3a, a-1, -3a, a1. 4.当当 a0 时时, 求函数求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a) 的最大值、最小的最大值、最小值以及相应的值以及相应的 x 的取值的取值. 解解: f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 f(x)=g(t)= (t2-1)+at+a2 12= (t+a

14、)2+a2-1. 12a a 为常数为常数, , 只需求只需求 y=(t+a)2 y=(t+a)2 的最的最值值. . t - 2 , 2 , 且且 a0, 当当 t= 2 , t= 2 , 即即 x=2k x=2k + (k+ (k Z) Z) 时时, f(x) , f(x) 取最取最大值大值 a2+ 2 a+ . a2+ 2 a+ .4 12假设假设 0a 0a 2 ,2 ,那么那么 - 2 -a0, - 2 -a0, 当当 t=-a t=-a 即即 x=2karccos(- a)+ (k Z) 时时, f(x) 取最小值取最小值 (a2-1);224 12假设假设 a 2 , a 2 ,

15、 那么当那么当 t=- 2 , t=- 2 , 即即 x=2kx=2k + (k+ (k Z) Z) 时时, , 45 12 f(x) 取最小值取最小值 a2- 2 a+ . 令令 t=sinx+cosx, 那么那么 t= 2 cos(x- ) 且且 t - 2 , 2 , 4 5.设设 0, , 且且 cos2+2msin-2m-20 恒成立恒成立, 求求 m 的取值范围的取值范围.2 解法解法 1 由知由知 0sin1 且且 1-sin2+2msin-2m-20 恒成立恒成立.令令 t=sin t=sin , , 那么那么 0t1 0t1 且且 1-t2+2mt-2m-20 1-t2+2m

16、t-2m-20 对对 t 0, 1 恒成恒成立立.故可讨论如下故可讨论如下:(1)假设假设 m0. 即即 2m+10. 解得解得 m- , 12(2)假设假设 0m1, 那么那么 f(m)0. 即即 -m2+2m+10.亦即亦即 m2-2m-10. 解得解得: 1- 2m1+ 2 , 0m1;0m1;- - m0;m1, 那么那么 f(1)0. 即即 0 m+20. mm R,R, m1.m1.综上所述综上所述 m- . 12 即即 m 的取值范围是的取值范围是 (- , +).12解法解法 2 题中不等式即为题中不等式即为 2(1-sin)m-1-sin2.0, ,0, ,2 0sin0si

17、n 1.1.当当 sin =1 时时, 不等式显然恒成立不等式显然恒成立, 此时此时 m R; 当当 0sin - 恒成立恒成立. 1+sin2 2(1-sin ) 令令 t=1-sin , 那么那么 t (0, 1, 且且 2t 1+(1-t)2 1t 2t m- =1-( + ) 恒成立恒成立. 易证易证 g(t)=1-( + ) 在在 (0, 1 上单调递增上单调递增, 有最大值有最大值 - , 1t 2t 12m- . m- . 12即即 m 的取值范围是的取值范围是 (- , +).12 5.设设 0, , 且且 cos2+2msin-2m-20 恒成立恒成立, 求求 m 的取值范围

18、的取值范围.2 6.设设 0, P=sin2+sin-cos. (1)假设假设 t=sin-cos, 用含用含 t 的式子表示的式子表示 P; (2)确定确定 P 的取值范围的取值范围, 并求出并求出 P 的最大的最大值和最小值值和最小值. 解解: (1)t=sin -cos , t2=1-2sint2=1-2sin coscos =1-sin2=1-sin2 . . sin2sin2 =1-t2. =1-t2. P=1-t2+t. P=1-t2+t. (2)t=sin -cos = 2 sin( - ). 4 00 , , - - - , - , 4 4 43 即即 P=-t2+t+1. P

19、=-t2+t+1. - sin(- sin( - )1. - )1. 224 -1t 2 . -1t 2 . P=-t2+t+1 P=-t2+t+1 的图象是开口向下的抛物线的图象是开口向下的抛物线, , 其对称轴为其对称轴为 12直线直线 t= , 12当当 t= t= 时时, P , P 取最大值取最大值 ; ; 54当当 t=-1 时时, P 取最小值取最小值 -1. 54从而从而 P 的取值范围是的取值范围是-1, . 7.知知 f(x)=2cos2x+ 3 sin2x+a(aR), (1)假设假设 xR, 求求 f(x) 的单调增区间的单调增区间; (2)假设假设 x0, 时时, f

20、(x) 的最大值为的最大值为 4, 求求 a 的值的值; (3)在在 (2) 的条件下的条件下, 求满足求满足 f(x)=1 且且 x-, 的的 x 的的集合集合.2 解解: (1)f(x)=1+cos2x+ 3 sin2x+a =2sin(2x+ )+a+1. 6 由由 2k - 2x+ 2k + 得得: 6 2 2 k - xk + . 3 6 f(x) f(x) 的单调递增区间为的单调递增区间为 k k - , k- , k + (k+ (k Z); Z); 6 3 6 (2)由由 2x+ = 得得 x= 2 6 0, , 2 故当故当 x= 时时, f(x) 取最大值取最大值 3+a. 6 由题设由题设 3+a=4, a=1. a=1. (3)在在 (2) 的条件下的条件下, f(x)=2sin(2x+ )+2. 6 2 1f(x)=1, sin(2x+ )=- . f(x)=1, sin(2x+ )=- . 6 又由题设又由题设 2x+ - , , 6 6116132x+ =- 2x+ =- 或或 - - 或或 或或 . . 6 6 65 67 611x=- , - , , . x=- , - , , . 2 6 2 65 6