材料力学课件第四章扭转实用教案

1、141 引言 42 外力偶矩和扭矩43 薄壁圆筒的扭转44 圆轴扭转时的应力 强度计算(j sun)45 圆轴扭转时的变形 刚度计算(j sun)46 非圆截面杆扭转简介第四章 扭 转 *圆轴扭转(nizhun)超静定问题第1页/共59页第一页，共60页。241 引 言 轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机(zunj)中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用(zuyng)有力偶.ABOmmOBA变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线螺 旋线扭转变形）第2页/共59页第二页，共60页。3扭转角(相对扭转角)（）：任意两横截面绕轴

2、线(zhu xin)转动而 发生的角位移。剪应变(切应变)（）：直角的改变量。mmOBA第3页/共59页第三页，共60页。4工 程 实 例第4页/共59页第四页，共60页。542 外力偶矩和扭矩一、外力偶矩 m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦(qinw)（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率(gngl)，马力（PS） n 转速，转/分（rpm） 使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：第5页/共59页第五页，共60页。63 扭矩的符号(fho)规定： “T”的转向与截面外法线方向满足

3、右手螺旋法则为正，反之为负。二、扭矩及扭矩图mmmTmTmTmx00 x1 扭矩：构件(gujin)受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩第6页/共59页第六页，共60页。74 扭矩图：表示(biosh)扭矩沿轴线方向变化规律的图线。 目 的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT第7页/共59页第七页，共60页。8例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入(shr) P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：计算(j sun)外力偶矩

4、m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m第8页/共59页第八页，共60页。9nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向(fngxing)设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmT求扭矩: 任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力偶矩的代数和. 转向(zhunxing)与这些外力偶矩的合力偶矩之转向(zhunxin

5、g)相反.第9页/共59页第九页，共60页。10绘制(huzh)扭矩图mkN 569max .TBC段为危险(wixin)截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m4第10页/共59页第十页，共60页。1143 薄壁圆筒的扭转(nizhun) 薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验(shyn)：1.实验前：绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶 m。第11页/共59页第十一页，共60页。122.实验(shyn)后：圆周线的大小、形状、间距(jin j)不变； 纵向线变成斜直线，倾角相同。3.结论：各圆周线的间距均未改变横截面上无正应力.圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了

6、相对转动周向无正应力 纵向线倾斜横截面上有切应力. 各纵向线均倾斜了同一微小角度 切应力均匀分布. 第12页/共59页第十二页，共60页。13acdb 横截面上无正应力(yngl) 周向无正应力(yngl) 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力(yngl) ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小(wixio)矩形单元体如图所示：第13页/共59页第十三页，共60页。14二、薄壁圆筒切应力(yngl) 与剪应变g： TrAA0d A0：平均半径(bnjng)所作圆的面积。TtrrArA000 2d tATtrT 2 2 0 20切应力剪应变LRRL/ mmOBA第14页

7、/共59页第十四页，共60页。15三、切应力(yngl)互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式称为切应力(yngl)互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力(yngl)必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdytz第15页/共59页第十五页，共60页。16四、剪切虎克定律(dngl)： 单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态(zhungti)称为纯剪切应力状态(zhungti)。薄壁圆筒体扭转实验 第16页/共59页第十六页，共60页。17T=m)/( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：

8、当切应力不超过材料的剪切比例(bl)极限时（ p) (在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。在一定(ydng)范围内 第17页/共59页第十七页，共60页。18G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量(tn xn m lin)，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系(gun x)（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1 ( 2EG第18页/共59页第十八页，共60页。19

9、44 圆轴扭转时的应力(yngl) 强度计算圆轴横截面应力(yngl)变形几何方面物理关系方面静力学方面 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：第19页/共59页第十九页，共60页。20第20页/共59页第二十页，共60页。21二、等直圆轴扭转(nizhun)时横截面上的应力：1. 变形几何(j h)关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为 任一点处的与到圆心的距离成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。第21页/共59页第二十一页，共60页。222. 物理(wl)关系：胡克定律(h k dn l)：代入上式

10、得： GxGxGGddddxGdd 距圆心等距离处的切应力相等第22页/共59页第二十二页，共60页。233. 静力学关系(gun x)：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理(wl)关系式 得：xGdd pIT第23页/共59页第二十三页，共60页。24pIT横截面上距圆心(yunxn)为处任一点切应力计算公式。4. 公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性(tnxng)材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。第24页/共5

11、9页第二十四页，共60页。25单位(dnwi)：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是(zhsh)Ip值不同。AIApd2对于实心圆截面：DdO202d2 D32424204DD第25页/共59页第二十五页，共60页。26对于空心圆截面：AIApd2)(DddDOd222d2 Dd)1 (32 44D)(32 44dD 第26页/共59页第二十六页，共60页。27 应力(yngl)分布（实心(shxn)截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。第27页/共59页第二十七页，共60页。28 确定(qudng)

12、最大切应力：pIT由知：当 , 2DR pIDT2 maxtWTmaxWt 抗扭截面系数(xsh)（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：163DRIWpt对于空心圆截面：16)1 (43DRIWptmax 2 DITp)2 ( DIWWTptt令第28页/共59页第二十八页，共60页。29三、等直圆杆扭转(nizhun)时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开(dun ki)。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。第29页/共59页第二十九页，共60页。301. 点M的应力(yngl)单元体如图(b)：(a)M(b)(c)2. 斜截面上

13、的应力(yngl)； 取分离体如图(d)：(d)x第30页/共59页第三十页，共60页。31(d)xnt转角规定：轴正向(zhn xin)转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡(pnghng)方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 第31页/共59页第三十一页，共60页。322cos ; 2sin 分析(fnx)：当 = 0时，max00 , 0当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max45当 = 90时，max9090 , 045 由此可见

14、：圆轴扭转(nizhun)时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角 = 45的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。第32页/共59页第三十二页，共60页。33四、圆轴扭转时的强度(qingd)计算强度(qingd)条件：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用切应力。)强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt静载下: = ( 0.5 0.6 ) ( 钢 ) = ( 0.8 1.0 ) ( 铸铁 )第33页/共59页第三十三页，共60页。34

15、 例例2 2 功率为功率为150kW150kW，转速为转，转速为转/ /秒的电动机转子秒的电动机转子(zhun z)(zhun z)轴如图，轴如图， 许用切应力许用切应力 =30M Pa, =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nPmTBC55. 9m)(kN55. 1m)(kN604 .1515055. 9Tm解：求扭矩及扭矩图计算(j sun)并校核切应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75D1=70ABCmmxMPa231607. 01055. 133maxtWT第34页/共59页第三十四页，共60页。3545 圆轴扭转(nizhun)时的变形 刚度计算一、扭转(niz

16、hun)时的变形由公式pGITx dd 知：长为 l一段等截面杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp单位: 弧度(rad)第35页/共59页第三十五页，共60页。36二、单位(dnwi)扭转角q：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度(n d)条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。称为许用单位扭转角。第36页/共59页第三十六页，共60页。37刚度(n d)计算的三方面： 校核(xio h)刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：

17、 max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。 根据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。精密机器轴： = （ 0.15 0.30 ）/m一般传动轴： = （ 0.30 .0 ）/m精度不高的轴： = （ .0 . ）/m第37页/共59页第三十七页，共60页。38 例例33长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的的作用，如图，若杆的内外径之比为内外径之比为 =0.8 =0.8 ，G=80GPa G=80GPa ，许用切应力，许用切应力 =30MPa=30MPa，试设，试设计杆的外

18、径；若计杆的外径；若q=2/m q=2/m ，试校核此杆的刚度，试校核此杆的刚度(n d)(n d)，并求右，并求右端面转角。端面转角。解：设计(shj)杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD第38页/共59页第三十八页，共60页。39314max 116）（TD40NmxT代入数值(shz)得：D 0.0226m。 由扭转(nizhun)刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT第39页/共59页第三十九页，共60页。4040NmxT180maxmaxPGIT 89. 1)1 (108018040324429D右端面(dunmin)转角为：弧度）( 033.

19、0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP第40页/共59页第四十页，共60页。41 例例4 4 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / minn = 500 r / min，输入功率，输入功率N1 = 500 N1 = 500 马力，马力， 输出功率分别输出功率分别 N2 = 200 N2 = 200马力及马力及 N3 = 300 N3 = 300马力，已知：马力，已知：G=80GPa G=80GPa ， =70M Pa =70M Pa，ff =1/m =1/m ，试确定，试确定(qudng)(qudng)： AB AB 段直径段直径 d

20、1 d1和和 BC BC 段直径段直径 d2 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如图，由强度(qingd)条件得： 500400N1N3N2ACBTx(kNm)m)(kN024. 7024. 71ABnNTmaxmaxtWTm)(kN21. 4024. 73BCnNT第41页/共59页第四十一页，共60页。4216 31TdWt mm4 .67107014. 3421016163632BCTd 32 4 GTdIp mm80107014. 3702416163631ABTd由刚度(n

21、d)条件得：500400N1N3N2ACBTx(kNm) (rad/m) maxpGIT 第42页/共59页第四十二页，共60页。43 mm4 .741108014. 3180421032 3249242 GTdBCmm841108014. 3180702432 3249241 GTdAB mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一(tngy)直径时 mm851 dd第43页/共59页第四十三页，共60页。44 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时(c sh),轴的最大直径 为 75mm。Tx(kNm)第44页/共59页第四十四页，共

22、60页。45圆轴扭转(nizhun)的超静定问题解决解决(jiju)(jiju)扭转超静定问题的方法步骤：扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 pGITl第45页/共59页第四十五页，共60页。46 例例55长为长为 L=2m L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶(l u) m=20Nm/m (l u) m=20Nm/m 的作用，的作用，如图，若杆的内外径之比为如图，若杆的内外

23、径之比为 =0.8 =0.8 ，外径，外径 D=0.0226m D=0.0226m ，G=80GPaG=80GPa，试求固端反力偶，试求固端反力偶(l u)(l u)。解：杆的受力图如图示，解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。 平衡平衡(pnghng)(pnghng)方程为：方程为：02BAmmm第46页/共59页第四十六页，共60页。47几何方程(fngchng)变形协调方程(fngchng)0BA 综合物理方程与几何(j h)方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称

24、性直接求得结果。mN 20Bm第47页/共59页第四十七页，共60页。4846 非圆截面(jimin)杆扭转简介非圆截面等直杆：平面(pngmin)假设不成立。即各截面发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。第48页/共59页第四十八页，共60页。49一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意(rny)(rny)两相两相 邻截面的翘曲程度完全相同。邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束二、约束(yush)(yush)扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻扭转：杆件扭转时，横截面的

25、翘曲受到限制，相邻截面截面 的翘曲程度不同。的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的切应力、矩形杆横截面上的切应力: : hbh 1T max 注意！b1. 切应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）( (纵向纤维长度不变纵向纤维长度不变, , 无无 , , 只有只有 ) )（产生（产生 、 ) )第49页/共59页第四十九页，共60页。502. 最大切应力及单位(dnwi)扭转角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT , tGITIt相当(xingdng)极惯性矩。hbtW2 :其中hbIt3 :其中31 ; ) 10 : (bh即对于狭长矩形 和 可查表求得。第50页/

26、共59页第五十页，共60页。51 例例8 8 一矩形一矩形(jxng)(jxng)截面等直钢杆，其横截面尺寸为：截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 h = 100 mmmm， b=50mm b=50mm，长度，长度L=2mL=2m，杆的两端受扭转力偶，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm T=4000Nm 的的 作用作用 ，钢的，钢的G =80GPa G =80GPa ， =100M Pa=100M Pa， =1/m =1/m ，试校核，试校核 此杆的强度和刚度。此杆的强度和刚度。解：查表求 、校核(xio h)强度0.229 ; 0.246 ; 250100bh m1066105.

27、 01 . 0246. 0h 3622.btW第51页/共59页第五十一页，共60页。52校核(xio h)刚度 MPa65106614000 6maxmax.WTt4833m1028405. 01 . 0229. 0 bhIt /m1rad/m0174501028610804000 o89.GITt综上,此杆满足强度和刚度(n d)要求。第52页/共59页第五十二页，共60页。53一、切应力一、切应力(yngl)(yngl)流的方向与扭矩的方向一致。流的方向与扭矩的方向一致。二、开口二、开口(ki ku)(ki ku)薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图薄壁截面杆在自由扭转时的切应力分布如图（a a），厚），厚 度中点处，应力为零。度中