基本不等式word版含答案

1、第四节基本不等式1 .基本不等式(1) 了解基本不等式的证明过程.(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2 .不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题.知识点基本不等式1 .基本不等式4获基本不等式成立的条件：40, 6>0.(2)等号成立的条件：当且仅当事时等号成立.(3)其中中称为正数a, 6的算术平均数,小称为正数a, 6的几何平均数.2 .利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x, yG (0, 4-oo),且灯=?(定值).那么当x=y时,x+y有最小值2#.(简记：“积定和最小”) (2)如果 x, (0, 4-oo),且 x+尸 S(定

2、值).那么当x=y时，切，有最大值*.(简记：”和定积最大”)易误提醒(1)求最值时要注意三点：一是各项为正：二是寻求定值：三是考虑等号 成立的条件.(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性.必记结论活用几个重要的不等式：(1)£+S22a6(a, b£R).(2)。+：22 (a, b 同号).a bZ>£R).(4)6£R).迎2rLiQ>o, b>Q,当且仅当&=6时取等号).自测练习1.下列不等式中正确的是()A.若 a£R,则 l + 9>6aB.若 a, 6£R,则 yjabC

3、.若 a, 6>0,则 21gM要21g a+lg b 乙D.着 x£R,则 +:二> 1解析：*.> a>0, 6>0,.21g21g G=lg Q6)=lg a+lg B.答案：c2.已知 f(x) =*+,2(*0),则，(*)有()xA.最大值为0B.最小值为0C.最大值为一4D.最小值为一4解析：V X0 , jv>0 , ，x + 1一2 = x + 2xL- * _'2 = 4,当且仅当一*=一±即*=一1时等号成立.-xx答案：C3 .下列函数中，最小值为4的是（）A.尸王十一x4B. y=sin x-(0<

4、水/)sin xC. y=ex+4e-xD-尸匹+品4 解析：y=x+-中才可取负值,x，其最小值不可能为4：由于 0于 n , A0<sin xWl,/ y=sin x+r- sin4 sin x -:=4,sin x其最小值大于4；由于e*>0.A y= e*+ 4e七22#" 4e：= 4, 当且仅当e'=2时取等号，J其最小值为4；C.o,.y=V?+l+=>2V2当且仅当X=±l时取等号,其最小值为2巾,故选答案：C44 .已知.>1,贝lj*+的最小值为X-1解析：V -Y>1, /.-Y1>0,44，x+7= (-V

5、1) +7+124 + 1 = 5,X 1X- 14当且仅当*一1=-7即才=3时等号成立.-V-1答案：5考点一 利用基本不等式证明简单不等式I幽 1 已知 a>0, 6>0, a+6=l,求证:(1+;)(词2(2)设a, b均为正实数，求证：5+*+ab22班.证明 法一：D(), b>0, a+6=L.1+工=1+山=2+2 同理，1+)=2+：. a a ab b；(1+2(1+9=(2+3(2+9=5+2+*5+4=彳当且仅当沁即a=64时取_ , 步9,当且仅当a=64时等号成立.法二/1+3(1+； ) = 1+；+2=1+?+2=1+三，3, b 为正数,a

6、+6=L a 八 b) a b ab ab ab ab."64?卜"，当且仅当a=6=g时取“=”.191于是124,二;>8,当且仅当a=6=5时取“=”. abab2("如步 1+8=9，当且仅当a=时等号成立.(2)由于a, 6均为正实数，所以士乂 =三，a b l a b ab当且仅当二=，即a=6时等号成立， a b又因为玄 + ab、2d" ab= 22,2当且仅当三=M时等号成立， ab 2所以1+1 + a。2/ + ab，2P,4l即a=6=也时取等号.考点二利用基本不等式求最值典例2 已知x>0, r>0, 1g 2

7、x+lg 8z=lg 2,则'+3；的最小值是（） x o yA. 2B. 2a/3C. 2y2D. 4（2） （2015 高考重庆卷）设a, b>Q, a+8=5,则5不1+正装的最大值为.解析 由 Ig2'+lg8-lg2 得，2*X2"=2""=2,即 x+3y=l,（双=三1即最小值为4.-v+3y=Lx>Qf y>0.故选D.(2) (，a+1 +Jb+3) = a+ 6+4 + 2,a+1 ，b+3W9 + 2 ,:乙7= 9 + a+6+4 = 18,所以正71+正森当且仅当 a+l = 6+3 且 a+6=5,即

8、a=j,乙36=5时等号成立,所以yn+qr/的最大值为3蛆. 乙答案(DD (2)3729 11 .若两个正实数x, y满足二+-=1,并且*+2/£+2加恒成立，则实数m的取值范围 * y是()A. ( 8, 2) U 4, +8)B. ( - 8, 4 U 2, +°°)C. (-2,4)D. (-4, 2)解析：*+2尸(才+20(三+1)=2+?+三+2>8,当且仅当?=*即时等号成立.由x+2y>zzf+2卬恒成立，可知方+2冰8,苏+2s8<0,解得一4冰2,故选D.答案：D2.(2016 洛阳统考)若正实数x, y, z满足d+4

9、炉=z+3xy,则当军'取最大值时，工+ ZX士-1的最大值为()/y ZA. 2C. 1解析：z=A?+4，-3xy, x, y, (0, +°°), .=rr-= W1(当z -y H-4y - x 4y一"i 3y *且仅当x=2y时等号成立)，此时4二=二与，令=£>(),则1+白一1=£一宗公(当 x 2y z y 2y yx 2y z 22且仅当t=l时等号成立).故选D.答案：D考点三基本不等式的实际应用幽3某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备.该设备每年 的运转费用是万元，此外每年都要花费一

10、定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护钺都比上一年增加2万元.设该企业使用该设备x年的年平均污水处 理费用为y(单位：万元).(1)用x表示y：(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备.则该 企业几年后需要重新更换新的污水处理设备.解(1)由题意得，1004- + 2+4+6+2x由基本不等式得:尸x+迎+>2 x当且仅当丫=m，即x=10时取等号.故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形月5仪? 的周长为4,沿月。将板翻折，使点5落到点6'的位置，AB'

11、;交DC 于点P.研究发现当印的面积最大时最节.能，则最节.能时儿如的而积 为()A. 272-2B. 3-2/2C. 2-y2D. 2解析：设 AB=x, DP=y,则 BC=2-x, R7=x-y.因为 92 x,故 14K2,因为月分且%' P,故只l=R7=x-y.由月4'=疝+ 刎，得6:-0'=(2-即 y=2 1</2.记处的而积为S,则5=(1 -勺(2*)=3(*+上3-2低 当且仅当*=：, 即时，S取得最大值3 一 2$.答案：B11.忽视等号成立条件致误1 9【典例】(1)已知x>0, y>0,且7+=1,则x+y的最小值是.3

12、函数y=l-2x-(a<0)的最小值为 x解析(1) Vx>0> y>0,.*+，= （*+"（；+。=3+（+与23+2嫡（当且仅当尸也*时取等号）工当X=啦+ 1, y=2+/时，（x+y）皿=3+2啦.（2） VKO,/=1-2*一：=1+（-2*）+（一：）21+2寸 -2x 春=1 + 2*，当 且仅当*=一半时取等号，故y的最小值为1+2m.答案3+2也1+29易误点评（1）多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件.如：1=1+?22、户, -v y xyxy2y2, /. .v+4y/2,得（*+力=41.3 没有注意到*0这个条件误用基本不等式得

13、2x+;22m.防范措施（1）利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件.（2）尽量避免多次使用 基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.跟踪练习已知X, y为正实数，且满足4x+3y=12,则xy的最大值为.解析：.T2 = 4x+3y>2匹大石，当且仅当4x=3y,4x+3y=12,3*=彳，时中取得最大值3.即j “&20, 6>0”是“手2形”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：由a20, 620可得唳2迎，当且仅当a=6时取等号.反之，若中2击, 乙乙则心0,可得a20, 620,故选C. 答案：C

14、2.（2016 杭州一模）设a>0, 6>0,若a+6=l,则的最小值是（） a b.r=2答案：3A. 2D. 8C. 41 : a+6 a+6 baba.ba解析：由题意-+z=1-=2+- +工22 + 21/-乂工=4.当且仅当一=7，即a=ba b a b a b l a ba b=4时取等号，所以最小值为4.答案：c413 .若a>0, 6>0且a+8=7,则-+二7的最小值为（）Q b十N41411解析：本题考查利用基本不等式求最值.因为6=7 a,所以二+肃=二14 9 力=7 44-149L>A（4+1+4）=1,当且仅当9a六一时取得等号，故选

15、B.9-a答案：B2 14 .设必y£R,81, 8>1.若f=U=2,/+6=4,则一+一的最大值为（）x y112 1解析：由 £=*=2 得 x=log$ 2=, y=log 2=zr+-=21og： a+log： b = log:（/6）Wlog一）二=2（当且仅当才=b=2时取等号）.答案：B1 25 .若直线 ax+8y-l = 0（a>0, 6>0）过曲线 y= 1 + sin n x（K*2）的对称中心，则-+=3 D的最小值为（）C. 3+2出解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式.注意到曲线片=l + sin兀x（0<水2）的对

16、称中心是点（1,1）,于是有a+6=l-+&仁+（a+6）=3+A123+2卷 当且 a b a bja b v仅当？=芥即6=也（也T）时取等号，因此法的最小值是3+2也，故选C.答案：c6 . （2016 济南一模）若实数x, y满足¥+4-2""+2",则2=2*+2,的取值范围是解析：设 a=2- 6=21 则 a>0, b>0,由条件得 /+3=2(a+6), < 匕+8尸=/+6 +2a6W2(3+6)，当且仅当 a=b 时取等号,，(a+6尸 W4(a+6),，a+8W4,又(a+6) -2Q+6)=2ab>

17、0.，a+6>2, ，2<a+8W4,即 2<tW4.答案：(2,42a+ 6)7 .（2015 郑州二模）己知a, 6均为正数，且2是2排6的等差中项，则士的最小值为解析：由于2是2a, 6的等差中项，故2a+6=4,又a, 6均为正数，故2ab（'=4,当且仅当2a=6=2,即a=l, 6=2时取等号，所以二的最小值为去 30乙小,1答案：7 乙8 .己知函数y=log, x+lQ>0且&X1）的图象恒过定点月，若点A在直线江+工-4= m n0（4>0, n>Q）上，则m-n的最小值为.解析：由题意可知函数y=log, x+1的图象恒过

18、定点月(1, 1)，;点A在直线二+二一4 m n=0 上，./+。=4, ,.0>0, A>0, .,.s+a=2Gd+a)(L+3=#2+C+X)242+2、/_)=m n4 m n)虱 m n) 4V m n)1,当且仅当时等号成立，的最小值为1.答案：19 .已知x, y, z是互不相等的正数，且x+y+z=l,求证：卜1）已一1怙-1）>8.1"- y证明：因为M y, z是互不相等的正数，且x+y+z=l,所以11=± 亚, XX X X3=土巫, y y y口=业> 近又叫y, z为正数,由XX，得：>8.10 .某房地产开发公司

19、计划在一楼区内建造一个长方形公园皿，公园由形状为长方 形的休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成.已知休闲区4A4的面积为4 000平 方米，人行道的宽分别为4米和10米（如图所示）.（1）若设休闲区的长和宽的比4="（X>1），求公园皿所占而积S关于太的函数SCy） bC的解析式;要使公园所占面积最小，则休闲区4EG的长和宽该如何设计解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为/米，由a%=4 000,得a=迎幽.小贝Ij S(x) = (a+8) (ax+20)=a1+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)+160所以要使公园所占面积最小，休闲区外层&应设计为长100米，宽40米.B组高考题型专练1.若实数a, 6满足：+：=迎，则ab的最小值为（）B. 2C. 2-72D. 4解析：由已知得1+?=先了且a>0, b>0