第二十五章无穷级数

1、第二十五章无第二十五章无 穷穷 级级 数数(一) 本 章 内 容 小 结(二) 常见问题分类及解法(三) 思 考 题(四) 课 堂 练 习( (一一) ) 本章内容小结本章内容小结一、本章主要内容一、本章主要内容1、数项级数(1) 数项级数的定义12121 设有数列 ， ， ， ， 则称表达式： 为数项无穷级数，记作 .nnnnuuuuuuu121lim 称 为级数 的部分和，若，则称级数收敛， 为级数的和；若 无极限，则级数发散，无和.nnnnnnnsuuuussss(2) 无穷级数的基本性质11() 收敛，则 也收敛 为常数 ；nnnnucuc111() 收敛于 ， 收敛于 ，则 收 敛于

2、 ；nnnnnnnusvuvs1lim0 若 收敛，则.nnnnuu(3) 级数敛散性的判定方法 正项级数的敛散性判定方法：比较审敛法 (一、二)； 比值审敛法.1111( 1)(0)lim0 交错级数敛散性判定方法：交错级数 ，若满足 a.； b.，则交错级数收敛，且和；nnnnnnnnu uuuusu2、幂级数(1) 幂级数的概念及敛散性000() )形如 或 的级数称为幂级数.nnnnnna xaxx0(0)0| 必存在数 ，当 时，有 时，幂级数 绝对收敛，当 时，幂级数发散，称 为幂级数的收敛半径.nnnrrrxra xxrr11lim00设 ， 则 时，； 时，nnnara0； 时

3、，；rr (2) 幂级数的运算性质加减性质；分析性质 (连续性，微分性，积分性).3、函数的幂级数展开式(1) 泰勒级数0( )若 在 的某邻域内存在任意阶导数，称级数：f xx( )20000000()()()()()()()2!nnfxfxf xfxxxxxxxn00( )0为 在 点的泰勒级数. 当 时，称其为马克劳林级数.f xxx (2) 常用的马克劳林级数21()2! ；nxxxexxn 3521sin( 1)()3!5!(21)! ；nnxxxxxxn 242cos1( 1)()2!4!(2 )! ；nnxxxxxn 211( 11)1 .nxxxxx (3) 函数幂级数展开法直

4、接展开法；间接展开法.4、傅里叶级数2(1) 周期为 的函数的傅里叶级数( )2若 是以 为周期的可积函数，则称由公式：f x1( )cos0 1 21( )sin1 2， ， ， ， ， ， ， nnaf xnxdx nbf xnxdx n作为系数构成的三角级数；01(cossin)( )2 为 的傅里叶级数；nnnaanxbnxf x( )0 (0 1 2)( )0 (12) 当 为奇函数时， ， ， ， ，此时的傅里叶级数为正弦级数； 当 为偶函数时， ， ，此时的傅里叶级数为余弦级数；nnf xanf xbn2(2) 周期为 的函数的傅里叶级数l(3) 傅里叶级数的复数形式01( )c

5、ossin21( )cos0 1 21( )sin1 2， ， ， ，nnnlnllnlan xn xf xablln xaf xdxnlln xbf xdxnll( )()1( )2 n xilnnn xillnlf xc encf x edxlz2( )式中， 为 的周期数.lf x五、本章关键词五、本章关键词无穷级数正项级数幂级数傅里叶级数二、本章重点二、本章重点1、级数及其敛散性的概念，正项级数的审敛法，2、幂级数的收敛特性及其收敛半径的求法；函数幂级数 的展开法；幂级数的运算性质.23、 以 为周期的函数展开成傅里叶级数.三、本章难点三、本章难点1、将函数展开成幂级数；将周期性函数展

6、开成傅里叶级数.2、幂级数展开过程中余项的讨论；近似计算中余项的估计.( (二二) ) 常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、数项级数敛散性判别法一、数项级数敛散性判别法1对于数项级数 ，判断其敛散性有以下几步：nnulim0(1) 若明显求出 ，则级数发散，否则，进行下一步；nnu11lim111(2) 对于正项级数 ，可采用比值判定法，设 ，当 时，级数收敛；当 时，级数发散；当 时，进行下一步；nnnnnuuu11113lim0 (3) 采用定理 ，可寻找一个适当的已知敛散性的正项级数 ，若 为定数，即当 时， 与 为同阶无穷小，则级数 与级数 有相同的敛散性，从而可以判断级数 的敛散

7、性，或者采用第一比较判定法，寻找一个适当的 级数或几何级数进行比较来判断级数的敛散性；nnnnnnnnnnnnnuvnuvvuvup 115| (4) 若级数 为交错级数，可用定理 来判断其收敛性，进一步可根据正项级数 的敛散性，来判断原级数是条件收敛或绝对收敛.nnnnuu解解1ln(1)ln 判断级数 的敛散性.nnnn例例1 1limlim ln(1)ln 因 nnnunnn1limln 110，nnn 1ln(1)ln 则原级数 发散.nnnn12! 判断级数 的敛散性.nnnnn例例2 2解解此为一正项级数，先考虑用比值审敛法：1limnnnuu112(1)!(1)lim2!nnnn

8、nnnnnlim21nnnn11lim21nnn21,e12!则级数 收敛.nnnnn13!3(1) 若将例 2 改为：判断级数 的敛散性. 可以断言，该级数发散 因为 .nnnnne111tan 判断级数 的敛散性.nnn例例3 3解解1lim因 nnnuu11tan11lim111tannnnnn2111tan则比值判定法失效. 可采用定理3，令，取，nnuvnnn21211tan1limlim11因 ，且级数 为收敛的，nnnnnunnvnn111tan则原级数 为收敛.nnn111sinln(1)* 判断级数 的敛散性.nnn例例4 4解解1容易算出 ，该题应用比值判定法失效. 先采用

9、定理3，11sinln(1)limlim11ln则 nnnnunnvnn221ln1ln 即原级数与级数 有共同的敛散性. 为了研究正项级数 的敛散性，这里先介绍一下积分判别法.nnnnnn121( )1 2 设正项级数 的各项可以看作是区间 1， + ) 上正减连续函数 对应于 ， ， ， ，的各个值.nnnuuuuf xxn12(1)(2)( )， ， ， nufufuf n11( )则该级数 与广义积分 有共同的敛散性.nnuf x dx22211lnlnlnlnln因广义积分 发散，dxdxxxxx 21111sinlnln(1)则级数 也发散，即原级数 发散.nnnnnn221112

10、11|() 若级数 及 均收敛，证明级数： ， ， 都收敛.nnnnnnnnnnnnaba baabn例例5 5证证2(|)0因 ，nnab221|()2则 nnnna bab由已知条件、级数的性质、正项级数比较原理知：1|级数 收敛.nnna b222()2又因 nnnnnnabaa bb由已知条件和上问以及级数的性质易知：21()级数 收敛.nnnab21|0又因 ，nan22|112则 .nnaann由已知条件、 级数、级数的性质及正项级数比较原理知：p1|级数 收敛.nnan2111sinsin(1)2 判断下列级数的敛散性，若收敛，问是绝对收敛还是条件收敛. (1) ； (2) .n

11、nnnn例例6 6解解11111sin( 1)221(1) 为一交错级数，且满足nnnnnn1111limlim0212121 ， ，nnnnnuuunnn11sin2则原级数 是收敛的，nnn1111sin221考虑级数 是发散的，nnnnn111121(lim0)12 因 且级数 发散 ，则原级数为条件收敛；nnnnn1sin( 1)sin()(2) 由 ，nn 2121121sin(1)( 1)sin(1) ( 1) sin1原级数可以写成 为一交错级数，且满足nnnnnnnnnn122sinsin1(1)(1)1 nnuunnnn2limlimsin01 nnnunn21sin(1)则

12、原级数 是收敛的，nn2211|sin(1)|sin1考虑级数 .nnnnn22111sin111 由定理3知，级数 与级数 有共同的敛散性，而后者与级数 有共同的敛散性，是发散的.nnnnnnnn即原级数为条件收敛.二、幂级数的收敛半径、收敛域的求法二、幂级数的收敛半径、收敛域的求法1lim(1)(00) 先求出极限 允许 ，这时极限不存在 ，根据 的取值情况确定收敛半径 ， 时， 时， ，从而得到收敛区间，区间端点处的敛散性另行讨论，从而得到收敛域.nnnaarrrr 2111(00)(21) 求下列幂级数的收敛半径和收敛域. (1) ， ，； (2) .nnnnnnxabnxab例例7

13、7解解(1) 假定 ，ab111111limlimlim1因 nnnnnnnnnnnnnaababaabab1limnnnbababa1则收敛半径 ，ra1，a()limlim0在端点 处，因 ，即在两端点处的数项级数均发散，nnnnnnaxauab 1()即幂级数 当 时收敛域为 ， ；nnnnxabaaab()同理，当 时，收敛域为 ， ，babb()当 时，收敛域为 ， ；abaa(2) 这是不标准形式的幂级数，它缺少 的偶次幂，不能直接应用定理来确定收敛半径，解决该类问题的方法为x212121(21)limlim(21)考虑 ，nnnnnnunxxuxx2211211111( 1 1)

14、1(21)( 1)(21)(21)( 1 1) 由定理 4 知，当 时，原级数收敛，当 时，原级数发散. 由此可知原级数的收敛半径 ，收敛区间为， . 在两端点 处，级数 ， 均发散，所以原级数 的收敛域为 ， .nnnnxxrxnnnx 三、求幂级数的和函数三、求幂级数的和函数 求幂级数的和函数的方法是：利用幂函数的逐项微分或逐项积分，运算后希望能得到某一个已知和函数的级数，最后进行逆运算，便可求得和函数，下面举例说明.1111 求幂级数 的和函数.nnxn例例8 8解解 由于幂级数的系数分母和幂指数相同，根据求导经验，该题必须采用“先微后积”的方法.112limlim111因 ，nnnna

15、nan 1( 1 1)则幂级数的收敛半径 ，即收敛区间为 ， . r ( 1 1)( )当 ， 时，设该级数收敛于和函数为 ，即xf x 123111111( )1231nnnf xxxxxnn2( )| 11则 ， ，nxfxxxxxx00( )1ln(1)11故 xxxxf xdxdxxxxx 111ln(1)1即 nnxxxn 11xx 该级数在左端点 处是收敛的，在右端点 处是发散的，所以其收敛域为 -1,1).211(1)(2)将例8 改为：求幂级数 的和函数.nnxnn( ) 容易看出，该题必须采用“先微后积”的方法.且它的收敛区间为 (-1,1). 当 (-1,1) 时，设该级数

16、收敛于和函数为 ，即xs x213421( )(1)(2)1112 33 4(1)(2) ，nnns xxnnxxxnn231111( )231得 (1,-1)，ns xxxxxn( )( )ln(1) (由例8 的结果知)，s xf xxx 201( )ln(1)(1)ln(1)2，xs xxx dxxxxx 22111(1)ln(1)(1)(2)2即 .nnxxxxxnn 1该级数在两端点 处均为收敛，所以其收敛域为 -1,1.x 11(1)lim( )21(1)( )2 注意： 无定义，但 存在.补充定义，令，则和函数 在收敛域 -1,1 上为连续.xss xss x20(21) 求幂级

17、数 的和函数.nnnx例例9 9解解 由于幂级数的系数是幂指数加 1，根据积分经验，该题应采用“先积后微”的方法.123limlim121因 ，nnnnanan ( )该级数的收敛区间为 (-1,1). 当 (-1,1) 时，设该级数收敛于和函数 .xs x22420( )(21)1 35(21)即 .nnns xnxxxnx 352120( )| 11， xnxs x dxxxxxxx22221( )1(1)xxs xxx222201(21)| 1(1)即 ， nnxnxxx20(22)(21)将例9 改为：求幂级数 的和函数.nnnnx( ) 容易看出，该题必须采用“先积后微”的方法，且该

18、级数的收敛区间为 (-1,1). 当 (-1,1) 时. 设该级数收敛于和函数为 .xs x242( )2 14 36 5(22)(21)即 ns xxxnnx 35210( )246(22)| 1， xns x dxxxxnxx224622200( )| 11， xxnxs x dx dxxxxxxx 22222223121 3( )1211(1)(1)故 xxxs xxxxx 222301 3(22)(21)2| 1(1)即 ， .nnxnnxxx四、将函数展开成幂级数的方法四、将函数展开成幂级数的方法 一般来讲，将函数 展开成幂级数有两种方法：一种是展开法，即泰勒级数，因为其涉及函数的各

19、阶导数，几个特殊函数可用直接展开法，一般函数不适应，于是直接展开法在这里不再重复；这里只谈间接展开法，间接展开法主要由以下两步组成：( )f x( ) (1) 对函数 进行恒等变形，选择适当的已知初等函数的幂级数展开式；f x( ) (2) 利用幂级数的性质及运算，与函数 建立某种关系，便可得到所求函数的展开式.f x下面举例说明.2( )arctan 将函数 展开成关于 的幂级数.f xxx例例1010解解5914342( )2( 1)| 11因 ， ，nnxfxxxxxxx 26104210( )( )2( 1)261042则 ，nxnxxxxf xfx dxn 61042221arcta

20、n( 1)| 13521即 ， .nnxxxxxxn 1注：上面级数在端点 处是收敛的.x 1取 ，则有x 11111( 1)43521.nn 2( )ln(12) 将函数 展开成关于 的幂级数.f xxxx例例1111解解2ln(12)ln(1)(12 )ln(1)ln(12 )因 ，xxxxxx12( )112则 fxxx22(1)21 241( 1) (2 )|2 ， .nnnxxxxxxx 2310231( )( )231422( 1)31故 nxnnnxxxf xfx dxxnxxxxn 121( 1)21ln(12)nnnnxxxn1122收敛域为 ， .ln(1)ln(12 )ln(1)注： ， 的展式，可根据 的展式直接写出结果.xxx21( )(4)32 将函数 展开成关于 的幂级数.f xxxx例例1212解解2111132(1)(2)12因 ，xxxxxx0111114413(4)33313而 ，nnxxxx 71其收敛域为 ；x 0111114422(4)22212，nnxxxx 62其收敛域为 .x 21( )32f xxx0014143322nnnnxx 11011(4)23 .nnnnx62该展开式的收敛域为 .x (三三) 思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、无穷级数有哪些基本性质？2、判