抛物线与圆的综合

1、. 精选文档拔高专题抛物线与圆的综合一、基本模型构建常见模型思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点坐标，根据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。二、拔高精讲精练探究点一： 抛物线、圆和直线相切的问题例 1: （ 2015? 崇左）如图，在平面直角坐标系中，点m的坐标是（ 5，4） ，m与 y 轴相切于点 c，与 x 轴相交于a，b两点（1）则点 a，b，c的坐标分别是a （2，0） ， b （8，0） ，c （0，4） ；（2）设经过a，b 两点的抛物线解析式为y=14（x-5 ）2+k，它的顶点为e，求证：直线e

2、a与 m相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点p，且点 p在 x 轴的上方，使 pbc是等腰三角形？如果存在，请求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由（1）解：连接mc 、ma ，如图 1 所示： m与 y 轴相切于点c， mc y 轴， m （5，4） ，mc=ma=5， oc=md=4，c（0，4） ， md ab ， da=db ， mda=90 ， ad=2254=3， bd=3 ， oa=5-3=2，ob=5+3=8 ，a（2，0） ，b（8，0） ；（2）证明：把点a（2， 0）代入抛物线y=14（x-5 ）2+k，得： k=-94， e（5， -94） ，. 精选文档de=9

3、4， me=md+de=4+94=254， ea2=32+ （94）2=22516， ma2+ea2=52+22516=22516， me2=22516，ma2+ea2=me2， mae=90 ，即 ea ma ， ea与 m相切；（3）解：存在；点p坐标为（ 5， 4） ，或（ 5，71） ，或（ 5，4+55） ；理由如下：由勾股定理得：bc=22ocob=2248=45，分三种情况：当pb=pc时，点 p在bc的垂直平分线上，点p与 m重合， p（5，4） ；当 bp=bc=45时，如图 2 所示： pd=22bpbd=2803=71，p （5，71） ； 当pc=bc=45时 ， 连

4、接mc ， 如 图3 所 示 ： 则 pmc=90 ， 根 据 勾 股 定 理 得 ：pm=22pcmc=2805=55， pd=4+55，p（5，4+55） ；综上所述：存在点p，且点 p在 x 轴的上方，使pbc是等腰三角形，点 p的坐标为（ 5，4） ，或（ 5，71） ，或（ 5，4+55） 【变式训练】 （2015? 柳州）如图，已知抛物线y=-12（x2-7x+6 ）的顶点坐标为m ，与 x 轴相交于 a，b两点（点 b在点 a的右侧），与 y 轴相交于点c（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h ）2+k（a0） ，并指出顶点m的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点

5、r，使得 cr+ar 的值最小，并求出其最小值和点r的坐标；（3）以 ab为直径作 n交抛物线于点p （点 p 在对称轴的左侧） ，求证：直线mp是 n的切线. 精选文档（1）解： y=-12（x2-7x+6 ）=-12（x2-7x ）-3=-12（x-72）2+258，抛物线的解析式化为顶点式为：y=-12（x-72）2+258，顶点 m的坐标是（72，258） ；（2）解：y=-12（x2-7x+6 ） ，当 y=0 时，-12（x2-7x+6 ）=0，解得 x=1 或 6，a （1，0） ，b（6，0） ， x=0 时， y=-3 ， c（0， -3） 连接bc ，则 bc与对称轴x=7

6、2的交点为r，连接 ar ，则cr+ar=cr+br=bc，根据两点之间线段最短可知此时cr+ar的值最小，最小值为bc=2263=35设直线 bc的解析式为y=kx+b，b （6，0） ，c （0，-3 ） ，603kbb，解得231kb，直线bc的解析式为： y=12x-3 ，令 x=72，得 y=1272-3=-54， r点坐标为（72，-54） ；（3）证明：设点p坐标为（ x，-12x2+72x-3 ） a（1，0） ，b（6，0） ， n（72，0） ，以 ab为直径的 n的半径为12ab=52， np=52，即（ x-72）2+（-12x2+72x-3 ）2=（52）2，化简整理

7、得，x4-14x3+65x2-112x+60=0 ， （x-1 ） （x-2 ） （ x-5 ） （x-6 ）=0，解得 x1=1（与 a 重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与 b重合，舍去） ，点 p坐标为（2，2） m （72，258） ，n（72， 0） ， pm2=（2-72）2+（2-258）2=22564，pn2=（ 2-72）2+22=254=40064，mn2=（258）2=62564， pm2+pn2=mn2， mpn=90 ，点p 在 n 上，直线mp是 n 的切线. 精选文档【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定

8、理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题例 2: （2015? 茂名）如图，在平面直角坐标系中，a与 x 轴相交于c （-2 ，0） ，d （-8 ，0）两点，与y 轴相切于点b（0，4） （1）求经过b， c，d三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为e，证明：直线ce与 a相切；（3）在 x 轴下方的抛物线上，是否存在一点f，使 bdf面积最大，最大值是多少？并求出点 f 的坐标。解： （1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把 b（0， 4） ，c （ -2 ，0） ，d（-8

9、 ，0）代入得：40420648cabcabc，解得41452abc经过b，c，d三点的抛物线的函数表达式为：y=14x2+52x+4；（2）y=14x2+52x+4=14（x+5）2-94，e （ -5，-94） ，设直线 ce的函数解析式为y=mx+n ，. 精选文档直线 ce与 y 轴交于点 g，则05429mnmn，解得：3432mn，y=34x+32，在 y=34x+32中，令 x=0，y=32， g （0，32） ，如图 1，连接 ab ，ac ，ag ，则 bg=ob-og=4-32=52，cg=22ocog=2223( )2=52，bg=cg ，ab=ac ，在 abg与 ac

10、g中，abacbgcgagag， abg acg ， acg= abg ， a与 y 轴相切于点 b（0，4） ， abg=90 ， acg= abg=90 点 c在 a上，直线ce与 a相切；（3）存在点f，使 bdf面积最大，如图 2 连接 bd ， bf，df ，设 f（t ，14t2+52t+4 ） ，过f 作 fny 轴交 bd于点 n， 设直线 bd的解析式为y=kx+d， 则408dkd， 解得412kd 直线 bd的解析式为y=12x+4，点 n的坐标为（t ，12t+4 ） ， fn=12t+4-（14t2+52t+4 ） =-14t2-2t ， sdbf=sdnf+sbnf

11、=12od? fn=128（ -14t2-2t ）=-t2-8t=- （t+4 ）2+16，当 t=-4 时， sbdf最大，最大值是16，当 t=-4 时，14t2+52t+4=-2 ， f（-4，-2 ） 【变式训练】 如图， 已知抛物线y=ax2+bx+c（a0，c0）交 x 轴于点 a，b，交 y 轴于点 c ，设过点 a，b，c的圆与 y 轴的另一个交点为d已知点 a ，b，c的坐标分别为（-2 ，0） ， （ 8，0） ， （0，-4） （1）求此抛物线的表达式与点d的坐标；. 精选文档（2）若点 m为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求bdm 面积的最大值。解： （1）抛物线y=

12、ax2+bx+c 过点 a （-2 ，0） ，b （8，0） ，c （0，-4 ） ，42064804abcabcc，解得14324abc，抛物线的解析式为：y=14x2-32x-4 ； oa=2 ，ob=8 ，oc=4 ，ab=10 如答图 1，连接 ac 、bc ，由勾股定理得：ac=20，bc=80 ac2+bc2=ab2=100， acb=90 ， ab为圆的直径由垂径定理可知，点c、d关于直径ab对称， d（0，4） ；（2）解法一：设直线bd的解析式为y=kx+b， b（8，0） ，d （0，4） ，804kbb，解得142kb， 直线 bd解析式为： y=-12x+4设 m （x

13、，14x2-32x-4 ） ，如答图 2-1 ，过点m作 me y 轴， 交 bd于点 e， 则 e （x， -12x+4） me=（-12x+4） - （14x2-32x-4 ） =-14x2+x+8 sbdm=smed+smeb=12me （xe-xd）+12me （xb-xe）=12me （xb-xd） =4me ， sbdm=4（ -14x2+x+8）=-x2+4x+32=- （x-2 ）2+36当 x=2 时， bdm 的面积有最大值为36；解法二：如答图 2-2 ， 过 m作 mn y 轴于点 n 设 m （m ，14m2-32m-4） ， sobd=12ob ?od=12=16，s梯形 obmn=12（mn+ob ） ? on=12（m+8 ）-（14m2-32m-4）=-12m （14m2-32m-4）-4（14m2-32m-4） ，smnd=12mn ? dn=12m4- （14m2-32m-4） =2m-12m（14m2-32m-4） ， sbdm=so