(word完整版)二次函数知识点总结及典型例题,推荐文档

1、1 浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题 知识点一、二次函数的概念和图像 1、 二次函数的概念 一般地，如果 y ax2 bx c（a,b,c 是常数，a 0），特别注意 a 不为零，那么 y 叫做 x 的二次函数。 2 y ax bx c（a,b,c 是常数，a 0）叫做二次函数的一般式。 2、 二次函数的图像 K 二次函数的图像是一条关于 x 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a 抛物线的主要特征： 有开口方向；有对称轴；有顶点。 3、 二次函数图像的画法 - 五点作图法： （1） 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M，并用虚线画出对称轴 （2） 求抛物线

2、y ax2 bx c与坐标轴的交点： 当抛物线与 x轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C，再找到点 C 的对称点 D。将这五 个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 当抛物线与 x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D。由 C、M、D 三点可粗略地 画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点 A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数 的图像。 _ 2 【例 1】、已知函数 y=x -2x-3， （1） 写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称

3、轴的对称点。然后画出函数 图象的草图； （2） 求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积： （3） 根据第（1）题的图象草图，说 出 x取哪些值时，y=0 :y0 知识点二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: 口诀 - 般两根一顶点 （1） 般一般式：y 2 ax bx c(a,b,c 是常数，a 0) （2）两根 当抛物线y ax2 bx c与 x轴有交点时，即对应的一兀二次方程 ax2 bx c 0有实根X1和 X2存在时，根据二次三项式的分解因式 2 ax bx c a(x x1)(x x2)，二次函数 y ax2 bx c可转化为两根式 y a（x xj（x X2）。如果没有交

4、点，则不能这样表示。 a的绝对值越大，抛物线的开口越小。 （3）三顶点 顶点式：y a（x h）2 k（a,h,k 是常数，a 0）当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我 2 们最好设顶点式，这样最简洁。3 【例 1】、抛物线y ax2 bx c与 x轴交于 A （1, 0）, B （3, 0）两点，且过（-1,16）,求抛物线的解析式。 【例 2】、如图，抛物线y ax2 bx c与 x轴的一个交点 A 在点（-2, 0）和（-1, ，顶点 C 0） （包括这两点） 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（ 1） abc （2） a 的取值范围是 _ 0 (或或 【例 3】、下列二

5、次函数中，图象以直线 x = 2 为对称轴，且经过点（0,1）的是（） 2 2 2 A. y = ( x - 2) + 1 B . y = ( x + 2) + 1 C . y = ( x - 2) - 3 知识点三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数, 那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 口斗 4ac b2 2a时，y最值。 如果自变量的取值范围是 x1 x K X2，那么，首先要看 一是否在自变量取值范围 2a X1 x X2内，若在此范围内, 则当 x= 宁时，y最值 2a 4ac b 4a 2 -;若不在此范围内，则需要考虑函数在 X-| x x范围内的增减性，如

6、果在此范 围内，y 随 x的增大而增大，则当 x X2时，y最大 2 ax2 bx2 c，当 x x1 时, y最小 ax； bx1 c ;如果在此 范围内, y 随 x 的增大而减小，则当 x X1时，y最大 ax； bx1 c，当 x x2 时, y最小 ax； 【例 1】、已知二次函数的图像（ 下列说法正确的是（ ） A .有最小值 0，有最大值 3 C.有最小值1,有最大值 3 00 (1) 抛物线开口向上，并向上无限延伸; K (2) 对称轴是 x=, 2a (1) 抛物线开口向下，并向下无限延伸; K (2) 对称轴是 x=, 2a 4ac b 值，y最小值 4a 4ac b 大值

7、，y最大值 - 4a 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 图像 x 性质 顶点坐标是(,4ac b ); 2a 4a (3)在对称轴的左侧，即当 x b a 顶点坐标是(,4ac b 2a 4a )； 时，y 随 x 的增大而增大，简记左减右增; (4)抛物线有最低点，当 x=时, 2a b 时，y 随 2 a x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当 x K 时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减； 2a (3)在对称轴的左侧，即当 xw y 有最小 K (4)抛物线有最咼点，当 x= - 时，y 有最 2a 2、二次函数 y ax2 bx c(a,b, c 是常数，a 0)中，

8、a、b、c的含义: a表示开口方向: a 0 时, a 0 时, =0 时, 0 时, 图像与 x轴有两个交点; 图像与 图像与 x 轴有一个交点; x 轴没有交点。 函数 a0 时y值随 x值增大而减小的是 （ ). 2 3 1 A. y = x B. y =x 1 C. y = 4 x D. y = x 【例 6】、若二次函数 y (x m)2 1 . 当x w l 时，y随x的增大而减小，则 m的取值范围是（ ) A . m =l B .m l C . m I l D .m w l 知识点五、二次函数图象的平移 对于抛物线 y=ax2+bx+c 的平移 2 通常先将一般式转化成顶点式 y

9、 a x h k，再遵循左加右减，上加下减的的原则 化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减 去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。 y ax2 bx c沿y轴平移：向上（下）平移m（ m 0）个单位，y ax2 bx c变成y ax2 bx c m (或 y 2 ax bx c m) 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式 ax2 bx c :向左（右）平移 m （m 0）个单位，y ax2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c (或 y a(x m)2 b(x m) c) 【例】、 将抛物线y x2向左平

10、移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是 2 A - y (x 2) 2 C . y (x 2)2 D . y x2 2 【例 2】、将抛物线 y=x2 2x向上平移 3 个单位，再向右平移 4 个单位等到的抛物线是 【例 3】、抛物线 2 y x可以由抛物线 2 y x 2 3平移得到，则下列平移过程正确的是 （） 6 【公式】抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为A.先向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位 B.先向左平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位 C.先向右平移 2 个单位 ,再向下平移 3 个单位 D.先向右平移 2 个单位 ,再向上平移 3 个

11、单位 2 【补】抛物线 y=2x -3x-7 在 x轴上截得的线段的长度为 7 知识点六、抛物线 y ax2 bx c中，a、b、c 的作用 （1） a决定开口方向及开口大小，这与 y ax2中的a完全一样. （2） b和a共同决定抛物线对称轴的位置 .由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线 x ，故：b 0时, 2a 对称轴为y轴；- 0 （即a、b同号）时，对称轴在 y轴左侧；- 0 （即a、b异号）时，对称轴在 y轴右 a a 侧.口诀-左同，右异 （a、b同号，对称轴在y轴左侧） （3） c的大小决定抛物线 y ax2 bx c与y轴交点的位置. 当x 0时，y c，二抛物线y

12、ax2 bx c与y轴有且只有一个交点（0, c）: c 0 ,抛物线经过原点； c 0,与y轴交于正半轴； c 0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 -0. a A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且 O/=O（=1，则下列关系中正确 【例 1】如图为抛物线y ax2 bx c的图像， 的是（） A. a + b= 1 B. a b= 1 C .b2a D. ac1; （3） 2a b0； （4） a+b+c2a；ax +bx+c=0 的两根分别为-3 和 1;a-2b+c 0 .其中正确的命题是 _ .（只要求填写正确命题的序号）

13、 【例 6】 如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的 “对称轴，则下列关系正确的是（ ） A. m= n, kh B . m= n , kv h A. a0 B . bv 0 C . c v 0 D . a+ b+ c0 8 C. m n, k= hmvn, k = h 9 知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式(浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆) 能知道与它垂直的另一条直线的 k 值。(对于这一条，只要能灵活运用就行， 不需要理解) 以上四条，我称它们为坐标系中的“ 四大金刚” 【例 I】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= - X2+2X+3与 x 轴交于

14、A B 两点，与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物 线的顶点. (1) 求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标； (2) 点 P 是 x轴上一个动点，过 P 作直线 I / AC 交抛物线于点 Q,试探究：随着 P 点的运动，在抛物线上是否存在 点 Q,使以点 A P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点 Q 的坐标；若不存在, 请说明理由. (3) 请在直线 AC 上找一点 M，使 BDM 的周长最小，求出 M 点的坐标. 【例 2】、如图，已知抛物线 y= - x2+bx+c 与一直线相交于 A(- I, 0), C( 2, 3)两点，与 y 轴交于点

15、 N.其顶点为 D.( i) 求抛物线及直线 AC 的函数关系式； (2) 设点 M( 3, m),求使 MN+M 啲值最小时 m 的值； (3) 若抛物线的对称轴与直线 AC 相交于点 B, E 为直线 AC 上的任意一点，过点 E 作 EF/ BD 交抛物线于点 F,以 B, D, E, F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E 的坐标；若不能，请说明理由； 1、两点间距离公式：如图：点 A 坐标为(xi, yi）,点 B 坐标为（X2, y2）,贝 U AB 2 2 Xi X2 yi y2 (这实际上是根据 勾股定理得出来的) 2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中, B两

16、点的坐标分别为 A(xi, yi)， B（X2, y2）, AB 中点 P 的坐标为（Xp, yp） 由 Xp Xi X2 Xp，得 X p Xi X2 2 yi 产） 同理 yp上上，所以AB的中点坐标为(仝X2 2 2 3、 两平行直线的解析式分别为： y=kiX+bi, y=k2X+b2，那么 道与它平行的另一条直线的 ki=k2，也就是说当我们知道一条直线的 k 值, 就一定能知 k 值。 4、 两垂直直线的解析式分别y=kix+bi, y=k2X+b2,那么 kix k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的 k 值，就一定 10 1 3 【例 3】、如图，抛物线y x2 X 4与 x

17、轴交于 A, B 两点（点 B 在点 A 的右边），与 y 轴交于 C,连接 BC,以 4 2 BC 为一边，点 0 为对称中心作菱形 BDEC 点 P 是 x轴上的一个动点，设点 P 的坐标为（m 0）,过 P 作 x轴的垂线 I 交抛物线于点Q （1） 求点 A、B C 的坐标； （2） 当点 P 在线段 OB 上运动时，直线 I分别交 BD BC 于点 M N。试探究 m 为何值时，四边形 CQM 是平行四边形， 此时，请判断四边形 CQBM 勺形状，并说明理由。 （3） 当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点 Q 使BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出 Q 点坐标；若不存在，

18、 请说明理由。 【练习】 1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手 间距为 4 m，距地面均为 1m 学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m 2. 5 m 处绳子在甩到最高处时刚好通 过他们的头顶已知学生丙的身高是 1 . 5 m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所示 ）（） 1. 625 m C. 1. 66 m D . 1. 67 m 2 x 1 1 x3 3. 二 次 函 数 2 y ax bx c的图象 如图所示，则反比例函数 a y 与一次函数 x y bx c在同一坐标系 中的大致图象是（ ）12 4.

19、 如图，已知二次函数 y x2 bx c 的图象经过点（一 1, 0）,（ 1, 2）,当y随x的增大而增大时，x的取值 0a b c 0a b c 0，则正确的结论是（ 2 7. 抛物线 y ax bx c上部分点的横坐标 x， 纵坐标 y的对应值如上表：从上表可知，下列说法中正确的 1 抛物线的对称轴是 x ; 2 8. 如图，在平面直角坐标系中， O 是坐标原点，点 A 的坐标是（一 2, 4）, 2 （1）求厶 OAB 的面积；（2）若抛物线y x 2x c经过点 A. 求 c 的值；将抛物线向下平移 m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 的内部（不包括 OAB 的边界），求 m

20、的取值范围（直接写出答案即可）. 1 2 - 9、“已知函数y x2 bx c的图象经过点 A （ c, 2）, ，这个二次函数图象的对称轴是 x=3。题 2 - 目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 6.已知二次函数 y y 轴的交点旋转 180 所得抛物线的解析式是（ C. y (x 1)2 2 D. y (x ). 1)2 4 ax2 bx c的图像女口图 其对称轴x 1 ,给出下列结果 x 2 1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 （填写序号）抛物线与 x轴的一个交点为 3,0）；函数y ax2 bx c的最大值为 6； 在对称轴左侧， y随x增大而增大. 范围是 _ . 5.在平面直角坐标系中，将抛物线 A. y （x 1）2 2 C D OA. 13 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函 数图象；若不能，请说明理由。14 10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 是直角梯形，