数值分析复习题,重点内容,重点题型答案

1、第一章：绪论1、数值计算的误差2、有效数字的概念和确定方法3、误差定性分析与避免误差危害习题及参考答案：一、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数 ，（1） 他们分别有几位有效数字。（2） 他们的绝对误差限分别是多少。（3） 计算下列各近似值的误差限： ，。解：（1） 由得：，即有5位有效数字。 同理可得：有6位有效数字，有4位有效数字。 （2）由于各数都是经过四舍五入得到的近似数，则绝对误差限不超过最后一位的半个单 位，即 （3） 二、对于积分。（1）试推导递推公式；（2）分析上述算法的数值稳定性；（3）若上面算法不稳定，请选择合适的算法，并分析其稳定性。解：（1）由 ，（#） 可得递推公式

2、（2）当仅考虑初始值有误差时，由 可知误差满足： 因此该算法是不稳定的。 （3）由（#）式可得递推公式 对于上式算法，同理可知误差满足： 所以因此该算法是稳定的。三、序列满足递推关系 ，n=1，2，。若（三位有效数字），（1）的误差多大？（2）计算到时误差多少？（3）这个计算过程稳定吗？（4）简述你对算法的数值稳定性的理解。解：（1）因，的误差限为 （2）由知，相减可得： 故的误差限为 （3) 由前两问知，计算到，其误差限为，亦即若在处有误差限为，则 在的误差将扩大倍，可见这个计算过程是不稳定的。 （4）对于某个算法，如果输入的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制，则该算法是 数值不稳定的，否

3、则就是数值稳定的。四、计算，取，利用下列算式计算，。（1） 哪一个得到的结果最好？并简要说明原因。（2） 你能否想出其他的算式进行计算，得到更好的结果？试给出，并简要说明理由。解：（1）这4个算式都是恒等的，算式最好。 根据避免误差危害的四个原则中的避免两相近数相减的原则，可以看出最好。 （2）利用算式可以得到更好的结果。 根据避免误差危害的四个原则中的简化运算步骤，减少运算次数的原则，上面算式 优于式。5、 设，的相对误差为1。（1） 求的误差；（2） 求的相对误差。解：（1）由题意知：1 的误差为 1 （2） 的误差为 的相对误差为 1第二章:非线性方程组的数值解法1、二分法2、不动点迭代

4、法3、牛顿迭代法、求重根的修正牛顿法4、收敛性定理、收敛阶第二章习题及参考答案1、 证明方程在中有且只有一个根，使得二分法求误差不大于的根需要迭代多少次？（不必求根）解：设有 在上连续且 在上有根。又当时，所以。综上，方程在中有且只有一个根。采用二分法计算，其误差计算公式为 对于本题有 解得取10既可满足。2、 求方程在附近的根，将其改写为如下4种不同的等价形式，构造相应的迭代公式，试分析它们的收敛性，选一种收敛速度最快的迭代公式求方程的根，精确至四位有效数字。；。解：对，局部收敛 ，局部收敛 ，发散 ，发散由于越小，收敛速度越快。故取式进行迭代计算。迭代公式为。满足终止条件故精确至四位有效数

5、字的近似值为。3、 用迭代法求方程的根，精确至三位有效数字。解：设，画图可知，该方程最多有两个根。综上，求。迭代公式为，它对任意的均收敛。 取迭代可得满足终止条件 故求。迭代公式为，它对任意的均收敛。 取，同理可得：。4、 给定函数，设对一切，存在且，证明对于 内的任意定数，迭代过程均收敛于的根 。证明： 为单调增函数。 故的根是唯一的（假定方程有根） 迭代函数 由于 则，有，亦， 故此迭代过程收敛。 综上，对于内的任意定数，迭代过程均收敛于 的根。5、 用牛顿法求在附近的根，要求计算结果准确到4位有效数字，根的准确值。解：迭代函数迭代公式：取计算得到满足精度要求的近似值为。六、应用牛顿法于方

6、程；。分别导出求的迭代公式，并求极限解：对。迭代函数迭代公式：。对。同理，迭代公式：。记 则有（具体证明可参考P26定理7的证明）对，。对，。7、 讨论计算的迭代公式的收敛阶。解：由题知：迭代函数为法一：有，。 经计算可知： , 所以此迭代公式三阶收敛。法二：有 对上式两端连续求导三次，得 将依次代入以上三式，并利用，得 。 所以此迭代公式三阶收敛。8、 是的几重根？取分别用牛顿公式与求重根的修正牛顿公式计算此根的近似值，精确至。解： 故是的3重根，即m=3. 牛顿迭代公式为： 修正牛顿迭代公式为： 用进行计算，取，计算得到满足要求。 用进行计算，取，计算得到满足要求。第三章：线性方程组的直接

7、解法1、高斯消去法、高斯列主元素消去法2、矩阵的三角分解：杜立特尔、克劳特、平方根法、改进的平方根法、追赶法3、向量和矩阵的范数4、矩阵的条件数与直接法的误差分析习题及参考答案1. 高斯消去法解方程组 解：（1）消元计算A,b=2-13425120 147l21=2,l31=122-1304-102.5-1.5 126.5l32=2.54=0.6252-1304-100-0.875 125.25 (2)回代求解,得：x=(9,-1,-6)T2. 用列主元素高斯消去法解方程组 解：A,b=-12-23-142-3-2 170选主元3并换行3-142-3-2-12-2 70-1l21=23，l31

8、=-133-140-73-143053-23 7-14343选主元-73l32=-573-140-73-14300-4 7-143-2 回代求解，得：x=(2,1,0.5)T3. （1）设X=(1,-2,3)T,计算|X|, |X|1和|X|2解：|X|=3|X|1=1+2+3=6|X|2=1+4+9=14（2）设，求|A|, |A|1和|A|2解：|A|=max1+1+0,2+2+3,5+4+1=10|A|1=max1+2+5,1+2+4,0+3+1=8由于ATA=3025-12521-2-1-210|A|2=ATA，其中ATA是方阵ATA的最大特征值，而方阵ATA的特征值为0.0177、9

9、.9780、51.0043，所以|A|2=7.1417。4.用LU分解法求解方程组解：对系数矩阵A进行LU分解u11=1, u12=0, u13=2, l21=0, l31=1由u2j=a2j-l21u1j，得u22=1, u23=1l32=(a32-l31u12)/u22=1, u33=a33-l31u13-l32u23=-4即 A=LU=10111110211-4解方程组Ly=b,得y1=5, y2=1, y3=0-y1-y2=-6解方程组Ux=y,得x3=-6/-4 =1.5, x2=1-x3=-0.5, x1=5-2x3=25.教材86页 第7题，改进平方根法解：由LDLT分解法，得L

10、=1-0.51-10.51, D=4161解Ly=b，得y=(10,8,13)T解LTx=D-1y，得x=(-1,1,2)T6. 教材86页 第8题，追赶法解：由追赶法分解得A=LU=1-1410-41514-10154-15615解Ly=f,得y=(1,54,43)T解Ux=y,得x=(0.3571,0.4286,0.3571)T第四章：线性方程组的迭代解法1、基本迭代法：雅克比、高斯-赛德尔、SOR2、迭代法的收敛性习题及参考答案：第四章1、设方程组； （1）考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代法的收敛性。 （2）选取一种收敛的迭代法写出迭代公式，并取初值，迭代计算出。解:1) 对

11、于雅可比迭代矩阵BJ=D-1(L+U)= det（I- BJ）= =0BJ 的特征多项式f（）=3 =0，所以=0为BJ 的特征根，显然（BJ）=0<1，因此由迭代收敛基本定理可知雅可比迭代法收敛。高斯赛德尔答案详见书P102.2) =(1,1,1)T2、设有方程组Ax=b，其中A为对称正定阵，迭代公式为 ，（），试证明当时上述迭代法收敛（其中）。3、给定方程组 =（1）写出雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代公式；（2）证明雅可比迭代法收敛而高斯-赛德尔迭代法发散；（3）取x（0）=（0,0,0）T，用迭代法求该方程组的解，精确到|x（k+1）-x（k）|×10-3.解: (1) 雅

12、可比：高斯赛德尔:(2) BJ=D-1(L+U)= |I-B|=0,所以3=0，=0. （BJ）=0<1.所以雅可比法收敛。 BG-S=(D-L)-1U= |I-B |=0, 1 =0,2,3= -2±。于是，（BG-S）=max|i|=2+>1,所以发散。(3) 雅克比迭代公式得：x1=12，x2=-46，x3=-584、设方程组（a）考察用雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性；（b）用雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法解此方程组，要求当时迭代终止。解：（a）由系数矩阵为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯-赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。精确解为（b）使

13、用雅可比迭代法：使用高斯-赛德尔迭代法：5、证明矩阵对于是正定的，而雅克比迭代只对是收敛的。证明：由，可知，当，即时，矩阵A是正定的。又由，可知，从而当，即时，雅可比迭代是收敛的。第五章:插值法1、拉格朗日插值2、差商与牛顿插值3、差分与等距节点插值4、埃尔米特插值习题：146页2，3，5，6，8，12，13，14第五章答案：2.解：; 3.证明：（1）记；根据差值余项 由于最高次项为K次，故其（n+1）阶导数为0，从而有;从而得证。（2）对k=0,1,n,由二项式定理 于是，由（1）有 =0从而得证。（3）当是最高次项系数为1的（n+1）次多项式时，其余项 其中=（n+1）！故而 5、设等距

14、节点，周期为2，给出一个周期内的数据即可，线性插值余项。6、1421-340-1/25/6611/21/4-7/60710-1/6-1/121/180余项为，。8，8268由差商与导数关系公式：因为所以120.01.000.11.320.320.21.680.360.040.32.080.400.0400.42.520.440.04000.53.000.480.04000= = 由x=0.45得t=13解法一： 得a= b=解法二：由P(0)=P(0)=0,P(1)=P(1)=1,可得到两点三次厄米特插值多项式 而P(x)是不高于4次的多项式，故可设 由P(2)=1,解得A=1/4. 故 解法

15、三：由差商表知，. 设 根据已知条件，可求得 从而14.解：（1）解法一：由插值条件得线性插值 . 设 ，由已知条件，解得a=4,b=4.因此 解法二：由题意，所求的为三次厄米特插值多项式，由题中所给已知条件，可求得 （2）插值余项 ，其中，且依赖于x。第六章:函数逼近1、最佳一致逼近、切比雪夫多项式及其应用2、最佳平方逼近、勒让德多项式及其应用3、离散数据的最小二乘法第六章习题与参考答案1、（1） ，x在0,1单调递减 （2） 3、在0,1上不变号，它的最佳一致逼近多项式是，满足方程，解得所以5、求在区间0,1上的三次最佳一致逼近多项式解：做变换，得16g(t)是首项系数为1的四次多项式，记

16、它的三次最佳一致逼近多项式为P3(t),则达到最小利用切比雪夫多项式的性质可知g(t)的最佳一致逼近多项式为，所以f(x)的最佳一致逼近多项式为8、解：（1）0次最佳平方逼近 （2）1次最佳平方逼近 （3）2次最佳平方逼近10、11、二次拟合，m=6， LU分解后， a=运动方程为第七章：数值积分与数值微分1、梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式，牛顿-柯特斯公式及其截断误差、代数精度2、复化求积公式3、龙贝格求积公式4、数值微分习题：1,3,5,6,7,9习题及参考答案：习题1：用n=1,2,4的牛顿-柯特斯公式计算定积分解：当n=1时为梯形公式，则有：当n=2时为辛普森公式，则有：当n=4时为

17、柯特斯公式，则有：习题3.求下列积分公式的代数精度。 解.(1)设f(x)=x 证明一次代数精度，有设f(x)=x2证明二次代数精度，有（2）（3）具有相同过程，分别是一次和三次代数精度。习题5.用复化梯形公式与复化辛普森公式计算下列积分考察点为复化梯形，复化辛普森公式 （取11个点）（1）.分别求出其值，代入其中。得 0.11140,其中= 将所有值代入其中得 0.11157，其中= （2）取11个点，即十等分分别求出其值，代入其中。得1.0357128，其中= 将所有值代入其中得1.0357639，其中= 习题6 分别用两点和三点牛顿科特斯公式计算。并求其截断误差；若采用复化梯形和复化辛普

18、森公式计算，要求截断误差不超过，则区间【0,1】至少分成多少等分？解，两个点，即n=1，有误差 三个点，即n=2，有误差使用复化梯形公式，有误差：得。使用复化辛普森公式，有误差：。得习题7，用复化辛普森公式计算积分，要求截断误差不超过并将计算结果与精确值比较。解：复化辛普森的截断误差为得，即因为I的精确值为1.1588308（应为题中给）误差估计为习题9 用龙贝格求积方法计算积分使误差不超过解：利用梯形法的递推公式计算T-列，第一次外推公式计算S-列。依次类推，得表如下因为 故补充用三点公式求在x=1.0, 1.1和1.2处的导数值，并估计误差解：利用公式：其中h=0.1，误差误差：误差：第八章：常微分方程数值解法1、一阶初值问题的欧拉方法2、单步法的收敛性习题及参考答案：一、对于。 （1）取，用式Euler法计算； （2) 若分别取时，Euler方法是否是稳定的？ （3） Euler公式为几阶方法？解：（1），。 Euler法计算公式为，。 由上式，计算可得：。 （2）Euler法的绝对稳定区间为，而本题中，所以的取值范围 为，才能保证Euler法稳定。 故：时，Euler法是稳定的，时，Euler法是不稳定的。 （3）Euler法是一阶方法。二、对初值问题. （1）证明：用梯形公式求得的近似解为； （2）证明：当固定时，即收敛到准确解。 （3）若用改进的Euler