2016年江苏数学高考试卷含答案和解析

1、. . 01年江苏数学高考试卷一、填空题 ( 共 14 小题 . 每小题 5 分。满分 0 分)1(5 分 )已知集合a= 1。 3.6 。 =x| b0 ）的右焦点。直线=与椭圆交于b。c两点 . 且 b =。则该椭圆的离心率是_. . . 11 （5 分）设 f （ x) 是定义在r上且周期为的函数。在区间 1。）上.f(x)=。其中 a。若 f （)=f （) 则 f （5a) 的值是 _1 （5 分) 已知实数 .y 满足。则 x2+y2的取值范围是_. 13 （5 分) 如图。在 abc中。d是 bc的中点 .e.f 是 ad上的两个三等分点。? 4? 。则 ? 的值是 _14.（分

2、） 在锐角三角形abc中. 若 sina 2si bsinc 则 tanatanbta c的最小值是 _二、解答题 ( 共 6 小题。满分9分）15 (14 分）在 abc中.ac。 cosbc=. (1) 求 ab的长；(2）求 os（a) 的值 . 16.(14分) 如图 . 在直三棱柱abc a1b1中.d e分别为 b.bc 的中点。点f在侧棱1上。且 b1 a1f。1ca11求证：(1) 直线 d 平面a11f；（2) 平面 b1de 平面 a1c1f17. （1分）现需要设计一个仓库。它由上下两部分组成. 上部的形状是正四棱锥a1b1c11下部的形状是正四棱柱ab dab111（如

3、图所示） 。并要求正四棱柱的高o1o是正四棱锥的高po的 4倍(1）若 ab= m.po12m 。则仓库的容积是多少？. . （2）若正四棱锥的侧棱长为6。则当po为多少时。仓库的容积最大? 1. （16 分）如图在平面直角坐标系xoy中. 已知以为圆心的圆m:x2+y12x 4+0及其上一点(2. ). （1）设圆 n与 x 轴相切。与圆m外切 . 且圆心 n在直线 =6 上 . 求圆 n的标准方程 ; (2）设平行于oa的直线 l 与圆 m相交于、 c两点且 bc=oa. 求直线的方程; ( ) 设点 t（t 。 0）满足 : 存在圆上的两点p和 q。使得 +=。求实数t 的取值范围1 （

4、16 分) 已知函数f(x)=ax+b(a 0.b0. 1b1) (1）设 a=2. =求方程f （x） 2 的根 ; 若对于任意x。不等式f(2x ） mf（x) 6 恒成立。求实数m的最大值 ; (2) 若 0a1b1。函数 g(x ） f （x) 2 有且只有1 个零点。求 b 的值20 （ 6 分) 记 u=1。2。 .100 对数列 an（ n）和 u的子集 t。若 t=? 定义t=0; 若 t t1。t2。 t. 定义 s=+例如 : 1.3.66时。 st=a13+a6. 现设 n（*）是公比为的等比数列. 且当 t=2。4时。t=30（1) 求数列 n的通项公式 ; ( ）对任

5、意正整数k（1k 00). 若 t? 1 。2. 。 k 。求证：t。 1 y2| . 求证： |2x y | a. 附加题【必做题】25 （1分）如图。在平面直角坐标系xoy 中。已知直线l ：xy20. 抛物线 c:y2=x（ ） . (1）若直线l 过抛物线c的焦点 . 求抛物线c的方程；(2）已知抛物线c上存在关于直线l 对称的相异两点p和 q求证：线段q的中点坐标为 (2 。 p） ；求 p 的取值范围 . 26.( 0 分） （1) 求 c4的值；（ ) 设 m 。n。 m 。求证 :（ 1)c+(m+2)c+(m+)c+ nc（n+1）c (m+1）c201年江苏数学参考答案与试

6、题解析一、填空题 ( 共 4 小题 . 每小题分。满分70 分)1. （ 5 分）已知集合a= 1. .3 6.b=x| 2x3。则 b= 1. . . 【分析】 根据已知中集合a=。 2。3.6 。b= x 2x3 。结合集合交集的定义可得答案 . 【解答】 解: 集合 = . 。 3。6.b=x 2x. 故 a=。 b=7。当 a= b=7 时. 不满足 ab. 故 a=.b=5 当 a=9.b= 时 . 满足 b。故输出的值为9。故答案为 :9 【点评】 本题考查的知识点是程序框图。当循环次数不多。或有规律可循时. 可采用模拟程序法进行解答7.（ 5 分）将一颗质地均匀的骰子( 一种各个

7、面上分别标有。2。3。4。5。6 个点的正方体玩具）先后抛掷次. 则出现向上的点数之和小于10 的概率是. 【分析】 出现向上的点数之和小于1的对立事件是出现向上的点数之和不小于10. 由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10 的概率【解答】 解：将一颗质地均匀的骰子( 一种各个面上分别标有1.2 。3.4.5.6个点的正方体玩具）先后抛掷2 次。基本事件总数为n= 6=36。出现向上的点数之和小于0 的对立事件是出现向上的点数之和不小于10。出现向上的点数之和不小于1包含的基本事件有: (4. ) 。 （。 ) 。(5 。5).(5 。6). （ .5 ）. （6。6).

8、 共 6 个。. . 出现向上的点数之和小于10 的概率 : p=1=故答案为 :. 【点评】 本题考查概率的求法. 是基础题。 解题时要认真审题. 注意对立事件概率计算公式的合理运用 . 8（5 分) 已知 an 是等差数列。 sn是其前 n 项和 . 若 a+22=。s5=10。 则 a9的值是20 . 【分析】 利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组。求出首项和公差. 由此能求出9的值【解答】 解： an是等差数列sn是其前 n 项和。 a1+a22= s5。解得 a1=4.d=3 。a9=48 3=0. 故答案为 :20 【点评】 本题考查等差数列的第9 项的求法是基础题。解

9、题时要认真审题. 注意等差数列的性质的合理运用9.(5分) 定义在区间 0. 3上的函数y= n2x 的图象与 y=c x 的图象的交点个数是 . 【分析】 画出函数y=sin2x 与 y=cox 在区间 0. 3上的图象即可得到答案【解答】 解: 画出函数 =sn2x 与 =cos在区间 0 3 上的图象如下：由图可知。共7 个交点 . 故答案为 :7. 【点评】 本题考查正弦函数与余弦函数的图象。作出函数ys x 与 y= s在区间0. 3 上的图象是关键. 属于中档题1.（5 分）如图。 在平面直角坐标系xoy中。是椭圆1 （ b) 的右焦点。直线 y=与椭圆交于。c两点。且 bfc=9

10、 则该椭圆的离心率是. . 【分析】 设右焦点f(c 0) 。将 y=代入椭圆方程求得。c的坐标 . 运用两直线垂直的条件: 斜率之积为1。结合离心率公式。计算即可得到所求值. 【解答】 解：设右焦点( .0 ）. 将 y=代入椭圆方程可得=a=a. 可得 b(。) 。 (a。） 。由 bfc 90。可得f? kcf 1. 即有?=1化简为 b2=3a4c2。由a2. 即有2=a. 由 e=。可得=。可得 =。故答案为：. 【点评】 本题考查椭圆的离心率的求法.注意运用两直线垂直的条件: 斜率之积为1。考查化简整理的运算能力。属于中档题. 11. （5 分）设 (x) 是定义在上且周期为2 的

11、函数在区间 。 1) 上. (x ）=其中 ar。若 f （)=f() 。则 f(5a)的值是【分析】 根据已知中函数的周期性. 结合（)=f(） 可得 a 值 . 进而得到f(5 ）的值. 【解答】 解： f(x ）是定义在r上且周期为2 的函数 . 在区间 1。1）上（ x）. . f （） =f( ）+a. f() f(） =| 。a=. f(5a)f （3）=f （ 1） 1+。故答案为 :【点评】 本题考查的知识点是分段函数的应用. 函数的周期性 . 根据已知求出a 值. 是解答的关键12 (5 分) 已知实数 .y 满足。则 x2+y2的取值范围是 1【分析】 作出不等式组对应的平

12、面区域。利用目标函数的几何意义。结合两点间的距离公式以及点到直线的距离公式进行求解即可. 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域设 =x2+y2。则的几何意义是区域内的点到原点距离的平方。由图象知到原点的距离最大点 o到直线 bc ： 2x 2=0 的距离最小 . 由得。即 (2.3).此时 =22+32=4 9 . 点 o到直线：2x+ =的距离d=. 则 zd2=()2=。故 z 的取值范围是。13 。故答案为 :.1 . 【点评】 本题主要考查线性规划的应用。涉及距离的计算 利用数形结合是解决本题的关键. . 13 （分 ) 如图 . 在 bc中.d 是的中点.ef 是 ad上的两个三

13、等分点。? =4。? =1。则 ? 的值是. 【分析】 由已知可得 =+ +。= 3.= 3=+2.= +2. 结合已知求出2=.2=。可得答案【解答】 解: 是 b的中点。f是 a上的两个三等分点。 +。=+。=+3.= +3。? = 1? =92=4. 2=.2=. 又。 =+2. ? 42=. 故答案为 :【点评】 本题考查的知识是平面向量的数量积运算。平面向量的线性运算. 难度中档14. （ 5分 ) 在锐角三角形ab 中 . 若 s na=2sinbi c。 则 anatanbtanc 的最小值是 8 【分析】 结合三角形关系和式子si a=2si snc可推出 in os +csb

14、sin =2 nsnc。进而得到anb+ nc2tanb nc。结合函数特性可求得最小值. 【解答】 解: 由 sina= in( a)=（ +c ）=s bc sccosbsin . i =2sinbsinc 。可得 sinb s+osbs c=2sinbs n。由三角形ab 为锐角三角形. 则 csb0。coc0. 在式两侧同时除以oscsc可得 tan +tanc2tan t nc. 又 tan =tan( )= an(b+c)则 ta aanbt n=? t nbtanc。由 ab+tanc=2t nbta c可得 t natanbta =令 ta tanc=t 。由 .b。c为锐角可

15、得tana. ab0.ac0. . . 由式得1tanbtanc1. tana an a=。=()2. 由 t 得。0. 因此 anatanb nc的最小值为8。当且仅当 2 时取到等号。此时tanb+tan =4. anta c . 解得 t b2+。t nc= tana=.( 或 t nbtanc 互换） 此时 a。b 均为锐角【点评】 本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识. 有一定灵活性 . 二、解答题（共小题. 满分 9分）15 (14 分）在 abc中。 ac=6.cosb.c=(1) 求 ab的长；( ) 求 os(a）的值【分析】（1) 利用正弦定理。即可求a的长；(

16、）求出cos、 si a。利用两角差的余弦公式求cs（a) 的值 . 【解答】 解： (1) 中cos。si b=. . b=；(2） cos o（ c+） snbi c osbco. a为三角形的内角. sina . cos(a )=c a+ina=. 【点评】 本题考查正弦定理考查两角和差的余弦公式. 考查学生的计算能力. 属于基础题16. （1分 ) 如图在直三棱柱abc 1b1中。 d。分别为ab.bc的中点点f在侧棱1b上且 bda1f.a1ca11求证：（1) 直线 de 平面1c1f；（2）平面 b1de 平面 a1c. . 【分析】（1) 通过证明 dea .进而 d a11.

17、 据此可得直线de 平面 a1f; ( ) 通过证明 a1 d结合题目已知条件a1fbd。进而可得平面bde 平面 a1c1f. 【解答】 解: （ ) d。e分别为 a.bc 的中点。 e为 abc的中位线 c。 b a1b1c1为棱柱a a1c1。dea1c. a1c1? 平面1c1f且 de ? 平面cf。de1c1f; （2) ab 11为直棱柱。aa平面 a11. aaa1c1. 又 a1c1 a1b1且 aa11=1.aa1、1? 平面 a1b。a1c1平面 a1b1bdeac。de平面 a1b1b又f? 平面 aa1bb. deaf。又 af bd 。de b1d=d.且 e、1

18、d? 平面 b1d。1平面b1e. 又 a1 ? 平面 ac. 平面 b1d平面1c1f. 【点评】 本题考查直线与平面平行的证明. 以及平面与平面相互垂直的证明。把握常用方法最关键。难度不大. 17.(1 分 ) 现需要设计一个仓库。它由上下两部分组成. 上部的形状是正四棱锥pab1c1. 下部的形状是正四棱柱abcd a1b11d1( 如图所示 ). 并要求正四棱柱的高o1o是正四棱锥的高 p1的 4 倍. (1) 若 a=m.po= m 。则仓库的容积是多少？(2）若正四棱锥的侧棱长为6m.则当 o1为多少时 . 仓库的容积最大? . . 【分析】 （1） 由正四棱柱的高o1o是正四棱锥

19、的高o的 4 倍。 可得 po=2时。1=8m 进而可得仓库的容积；（2) 设 o1=xm。则 o1o= xm.a1=m a1=?m 。代入体积公式。求出容积的表达式。利用导数法可得最大值【解答】 解： （1) po1=。正四棱柱的高o1o是正四棱锥的高po1的倍1o 8m. 仓库的容积v62262 32m3. （）若正四棱锥的侧棱长为6设 po1=m 。则 o1=x。 a1o=m.a1b1=?m 。则仓库的容积=( ?)? x+（?）2? x=3312x.(0 x6)。v= 262+32. （0 又圆 n与圆外切。圆:x+y212x14y+60=0. 即圆 m:（(x 6）2(x 7)=25

20、. |7 n|= |+5 解得 n=1. 圆 n的标准方程为 (x ）2+(y 1）2=1(2) 由题意得oa=2 。o=2设 l:y=2x 。则圆心 m到直线 l 的距离： d=则|bc|=2=2。b 2。即 2=2. 解得 b=5 或 15。直线的方程为：y=2x+或 y2x1（）=即. 即| | 。| =. 又 | 10。即10. 解得 t 2 2. +2 。对于任意t 22. + 。欲使。此时。 | 10。只需要作直线ta的平行线 . 使圆心到直线的距离为. 必然与圆交于p、q两点。此时。即。因此实数t 的取值范围为t 2 2。2+2. 【点评】 本题考查圆的标准方程的求法。考查直线方

21、程的求法. 考查实数的取值范围的求法.是中档题。解题时要认真审题. 注意圆的性质的合理运用. . . 19 （16 分) 已知函数f(x ）x+bx（ 0.b 0。 a1。b1). （1）设 =2. =. 求方程f(x ） 2 的根 ; 若对于任意xr。不等式f(2x) f （ x) 恒成立。求实数m的最大值；（2) 若 0a。 b1。函数 g（x）=f （x） 2 有且只有个零点。求ab 的值 . 【分析】（1）利用方程直接求解即可. 列出不等式利用二次函数的性质以及函数的最值 . 转化求解即可. （2）求出 (x) f( ) 2=ax+bx2求出函数的导数。构造函数h(x) +求出 g(

22、）的最小值为：g（x0) 同理若g(x0) . 0.a 1。b1). (1）设 a=。方程 f （x)=2; 即：2。可得 x0. 不等式f （2x) m (x ） 6 恒成立 . 即 () 6 恒成立 . 令 =t 不等式化为： t mt4 0 在 t时。恒成立可得: 0 或即： m2 1 0或 4. m ( 。 4 实数 m的最大值为： 4（2)g （ )=f （） 2=ax+bxg( )=axl a+bxnb=ax+ nb. a1 可得令 ( ）+。则（ x）是递增函数而。lna l b。因此。 x0=时。 h(x0)= . 因此 x ( .x0) 时。（） 0. xln 0. 则 g(

23、x) x（0。）时 .h( ) 0axl b0。则 g（ ) 0. 则 g(x) 在( .x0) 递减 . （x。+) 递增 . 因此 g（x）的最小值为 :g(x0). 若 (x0)=2.bx0。则 ( ） 0。. . 因此 x1lo a。且 x1x0时。 g（1） 0. 因此 ( ) 在（ x1.x）有零点。则 (x ）至少有两个零点。与条件矛盾. 若 g(x0） 0。函数 (x)= (x) 2 有且只有个零点。( ) 的最小值为g(x0） 。可得g（)= 。由 g( )=a+b2=0。因此 x=0。因此=。=1即 lna+l b=0。 (ab) 。则=1可得 b=1. 【点评】 本题考查

24、函数与方程的综合应用。函数的导数的应用. 基本不等式的应用。函数恒成立的应用。考查分析问题解决问题的能力20. （16 分) 记 =1。2. 。 10. 对数列 an( n) 和 u的子集。若=? . 定义 s=; 若 t=t1.t2。k. 定义 st+ +例如： t=1 。 66 时.sta1+3a6.现设 an（n*）是公比为3的等比数列 . 且当 t=2.4 时=3( ）求数列 的通项公式；( ）对任意正整数(1 k 00） 若 t? 1。2. . 。求证 : ak1; （3）设 c ? u.d? u。s。求证： sc+sc d2【分析】（1）根据题意由st的定义 .分析可得sa2+a4

25、=a2+a2=30。计算可得a2=3。进而可得1的值。由等比数列通项公式即可得答案；(2）根据题意由st的定义。分析可得sta+a2+k=1+2+ 3k1。由等比数列的前 n 项和公式计算可得证明; （3) 设 a=?c( d)。 b=?d(cd） . 则 ab=? 进而分析可以将原命题转化为证明ssb。分 2 种情况进行讨论：、若? 。、若b? 。可以证明得到sab. 即可得证明【解答】 解:(1 ）当 t=2 4时=a24=a+9a2=30. 因此 a23. 从而1=1。故n=n。(2） st a+a2+ak=+2 3 1=k=ak+1. (3）设 a?c（c） .b=?d(cd） .则

26、a =? . 分析可得sc=sa+c d。s=b+sc d。则 sc+sc sd=sab。因此原命题的等价于证明sc2. 由条件csd. 可得 sasb。、若 b=? . 则 sb=。故 sa sb。、若 b? 。由 sa sb可得 a? 。设 a中最大元素为.b 中最大元素为m 。若 m l+1 。则其与saai+s相矛盾因为 a =? . 所以 l m 。则 l +sba+m=1+3+2+3m1=. 即 s sb. . . 综上所述 .sa sb故 s+sc d 2sd【点评】 本题考查数列的应用涉及新定义的内容. 解题的关键是正确理解题目中对于新定义的描述 . 附加题【选做题】本题包括a

27、、b、c、 d四小题 . 请选定其中两小题并在相应的答题区域内作答。 若多做。 则按作答的前两小题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。a 【选修 41 几何证明选讲】21. （10 分) 如图 . 在 abc中 b=0 da.d 为垂足 .e 为 bc的中点 . 求证 :ec= bd. 【分析】 依题意。知 bc=90 . dc= c。利用bc= abd dbc=90 。 可得 d= c从而可证得结论【解答】 解: 由 bd ac可得 dc= 。因为 e为 c的中点 . 所以 d=ce= bc 则： ed =c. 由bdc=90 . 可得 c+ db =0 . 由 bc=90 。

28、可得ad+dbc=90 . 因此 b . 而 ec=c所以。 e c abd. 【点评】 本题考查三角形的性质应用. 利用 + b=abd+ dbc 90 . 证得 abd c是关键 . 属于中档题 . b。 【选修 2: 矩阵与变换】22.(1 分 ) 已知矩阵 =. 矩阵 b的逆矩阵1. 求矩阵 ab 【分析】 依题意 . 利用矩阵变换求得b=(b）. 再利用矩阵乘法的性质可求得答案【解答】 解: b1=。. . b=(b1)1。又 a=。ab=【点评】 本题考查逆变换与逆矩阵。考查矩阵乘法的性质. 属于中档题c.【选修 4：坐标系与参数方程】23. 在平面直角坐标系xo中。已知直线l 的

29、参数方程为(t为参数 ) 。椭圆 c的参数方程为( 为参数 ). 设直线与椭圆c相交于 a.两点。 求线段 a的长【分析】 分别化直线与椭圆的参数方程为普通方程。然后联立方程组。求出直线与椭圆的交点坐标 . 代入两点间的距离公式求得答案. 【解答】 解: 由由得. 代入并整理得。. 由。得. 两式平方相加得联立. 解得或|ab|=【点评】 本题考查直线与椭圆的参数方程考查了参数方程化普通方程考查直线与椭圆位置关系的应用是基础题24. 设 .| .|y 2|0 x | 。 |y 2|。可得 2x+y |=|2(x1)+(y 2）| 2|x +| 2+a. 则| +y |0） . (1) 若直线 l 过抛物线 c的焦点。求抛物线c的方程 ; （2) 已知抛物线c上存在关于直线l 对称的相异两点p和 q. 求证：线段q的中点坐标为 (2 p。 ) ；求 p 的取值范围【分析】 (1) 求出抛物线的焦点坐标。然后求解抛物线方程(2） ：设点（x1。1）