高等代数课件(北大版)第七章 线性变换§7.2

1、2021-11-30数学与计算科学学院数学与计算科学学院数学与计算科学学院设为线性空间设为线性空间v的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们, 事实上，事实上，()()( ()( ( )( ) 的的乘积乘积 为：为： ,v 则则 也是也是v的线性变换的线性变换.( ( )( ( )()( )()( ), ()()( ()( )( ( )()( )kkkkk 数学与计算科学学院（1）满足结合律：满足结合律： （2），e为单位变换为单位变换 ee（3）交换律一般不成立，即一般地，交换律一般不成立，即一般地，. 数学与计算科学学院例例1. 线性空间中，线性变换线性空间中，线性变换 r x d

2、 fxfx 0,xdjfxdf t dtfx 00 xjdfxjfxft dtfxf 而，而， .djjd 0 xjfxf t dt 即即.dje 数学与计算科学学院(),xax 例例2. 设设a、b为两个取定的矩阵，定义变换为两个取定的矩阵，定义变换n np 则皆为的线性变换，且对有则皆为的线性变换，且对有, n np ,n nxp ()()( ()()(),xxxba xbaxb ()()( ()()().xxaxax baxb (),xxb n nxp .数学与计算科学学院则则 也是也是v的线性变换的线性变换. 设为线性空间设为线性空间v的两个线性变换，定义它们的两个线性变换，定义它们,

3、 ,v 的的和和 为：为： 事实上，事实上，()()()() ( )( )( )( )()( )()( ), ()()()()( )( )kkkkk ( ( )( )()( ).kk 数学与计算科学学院（3） 0为为零变换零变换.00,（4）乘法对加法满足左、右分配律：乘法对加法满足左、右分配律： （1）满足交换律：）满足交换律：（2）满足结合律：）满足结合律： 数学与计算科学学院 ,v 设为线性空间设为线性空间v的线性变换，定义变换为：的线性变换，定义变换为： 则则 也为也为v的线性变换，称之为的的线性变换，称之为的负变换负变换. 注：注：()0数学与计算科学学院 ,kkv 的的数量乘积数量

4、乘积 为：为：k 则则 也是也是v的线性变换的线性变换.k 设为线性空间设为线性空间v的线性变换，定义的线性变换，定义 k 与与 ,kp 数学与计算科学学院(1) ()()klk l (2) ()klkl(3)()kkk(4) 1 2基本性质基本性质注：注：线性空间线性空间v上的全体线性变换所成集合对于上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域线性变换的加法与数量乘法构成数域p上的一个线性上的一个线性空间，记作空间，记作( ).l v数学与计算科学学院e则称则称为可逆变换，称为的逆变换，记作为可逆变换，称为的逆变换，记作 1. 设为线性空间设为线性空间v的线性变换，若有的线性

5、变换，若有v的变换使的变换使 (1) 可逆变换的逆变换也是可逆变换的逆变换也是v的线性变换的线性变换. 1 数学与计算科学学院 1111 111 11证：对证：对 ,vkp 111 11111kkk 1111kkk是是v的线性变换的线性变换.1 数学与计算科学学院(2) 线性变换可逆线性变换是一一对应线性变换可逆线性变换是一一对应. 证：证：设为线性空间设为线性空间v上可逆线性变换上可逆线性变换. 任取任取 若若 则有则有( )( ), ,v 111()( )( ( )( ( ) 1()( ). 为单射为单射.其次，对令则且其次，对令则且,v 1( ), ,v 11( )( )( ). 为满射

6、为满射.故为一一对应故为一一对应. 数学与计算科学学院若为一一对应，易证的逆映射也为若为一一对应，易证的逆映射也为v 的线性变换，且的线性变换，且.e故可逆，故可逆，. 1 线性变换，则可逆当且仅当线性变换，则可逆当且仅当 12(), (), ()n (3) 设是线性空间设是线性空间v的一组基，为的一组基，为v的的 12,n 线性无关线性无关.证：证： 设设1122()()()0.nnkkk 于是于是1 122()0nnkkk因为可逆，由因为可逆，由(2)，为单射，又，为单射，又 (0)0, 数学与计算科学学院1 1220nnkkk而线性无关，所以而线性无关，所以12,n 0,1,2, .ik

7、in故线性无关故线性无关.12(), (), ()n 若线性无关，则它若线性无关，则它12(), (), ()n 也为也为v的一组基的一组基.1122()()(),nnkkk 因而，对有因而，对有,v 即有即有1122().nnkkk 为满射为满射.数学与计算科学学院12(), (), ()n 线性无关线性无关,1,2, ,iiabin若若 则有则有( )( ), 其次，任取其次，任取 设设,v 11,nniiiiiiab11()(),nniiiiiiab 即即. 由由(2)， 为可逆变换为可逆变换. 故为一一对应故为一一对应. 从而，为单射从而，为单射. 数学与计算科学学院(4) 可逆线性变

8、换把线性无关的向量组变成线性无关可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组的向量组.线性无关线性无关.若若 11220.rrkkk 证：设为线性空间证：设为线性空间v的可逆变换，的可逆变换， 12,rv 则有，则有，1122()0rrkkk又可逆，于是是一一对应，且又可逆，于是是一一对应，且 (0)0 11220rrkkk故故 线性无关线性无关.12(), (), ()r 由由 线性无关，有线性无关，有120.rkkk12,r 数学与计算科学学院,nn 当时，规定（单位变换）当时，规定（单位变换）.0n 0e 设为线性空间设为线性空间v的线性变换，的线性变换，n为自然数，定义为自然数，

9、定义 称之为的称之为的n次幂次幂. 数学与计算科学学院 易证易证 ,0nm nmnmmnm n 1nn 当为可逆变换时，定义的当为可逆变换时，定义的负整数幂负整数幂为为 一般地，一般地， .nnn 数学与计算科学学院设设 10 ,mmfxa xa xap x 为为v的一个线性变换，则的一个线性变换，则10( )mmfaaa e多项式多项式.也是也是v的一个线性变换，称的一个线性变换，称 为线性变换的为线性变换的 ( )f 数学与计算科学学院 ,h xfxg xp xfx g x 在在 中，若中，若 p x则有，则有， ,hfg fggf即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律. pfg 对有对有( ), ( ) ,f xg xp x fggf 数学与计算科学学院证明：证明：1,1.kkkkk 设为线性变换，若设为线性变换，若, ,e证：对证：对k作数学归纳法作数学归纳法.当当k=2时，若时，若,e对对两端左乘，得两端左乘，得 2, 对对两端右乘，得两端右乘，得 2