函数的极值与最值89409实用教案

1、在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件(tiojin)下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数在给定区间上的最大值或最小值问题，这里统称为最值问题.本节将介绍函数的极值问题与最值问题.第1页/共26页第一页，共27页。一、函数(hnsh)的极值定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义，如果(rgu)对于该邻域内任何异于x0的x都有 )()(0 xfxf(1) 成立，则称 为f(x)的极大值，称 为f(x)的极大值点；)(0 xf0 x(2) 成立，则称 为f(x)的极小值，称 为f(x)的极小值点.)()(0 xfxf)(0 xf0 x极大值、极小值统称

2、(tngchng)为极值.极大值点、极小值点统称(tngchng)为极值点.第2页/共26页第二页，共27页。定理4.9(极值的必要条件(b yo tio jin) 设函数f(x)在点x0处可导，且x0为f(x)的极值点，则 由4.1引理可知定理(dngl)4.9成立.注意：可导函数的极值点必定是它的驻点.但是(dnsh)需要注意，函数的驻点并不一定是函数的极值点. 例如 为其驻点，但是x=0不是 的极值点.0,3xxy3xy 还要指出，有些函数的不可导的点也可能是其极值点，例如图中所示的函数在点 处不可导，但 为其极小值.4x4x第3页/共26页第三页，共27页。由上述可知，欲求(y qi)

3、函数的极值点，先要求出其驻点和导数不存在的点，然后再用下面的充分条件判别:定理(dngl)4.10(判定极值的第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0连续，且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻域内 如果f(x)在x0的两侧保持(boch)相同符号，则x0不是f(x)的极值点.第4页/共26页第四页，共27页。因此(ync)可知x0为f(x)的极大值点.对于情形(2)也可以进行(jnxng)类似分析.分析(fnx)对于情形(1)，由函数单调性的判别定理可知，0 xx 当 时，f(x)严格单调增加；0 xx 当 时，f(x)严格单调减少，第5页/共26页第五页，共27页。(3)判定

4、每个驻点和导数不存在的点 两侧(在xi较小的邻域内) 的符号，依定理4.10判定xi是否为f(x)的极值点.), 2 , 1(kixi )(xf 由定理判定函数极值一般步骤为：).() 1 (xf 求出第6页/共26页第六页，共27页。令 ，得函数的两个驻点：x1= 1，x2=2.0 y 内存在，函数的两个驻点x1= 1，x2=2把 分成 三个子区间.),(在y), 2(),2 , 1(),1,(),(例1所给函数的定义域为 .),(解x1(1,2)2+00+y极大值极小值10) 1,(27)(2， y第7页/共26页第七页，共27页。可知(k zh)x=0为y的极小值点，极小值为0.例2),

5、(所给的函数定义域为 .解非极值极小0y+0+01(0,1)0 x), 1 ( y)0 ,(第8页/共26页第八页，共27页。例3),(所给的函数定义域为 .解x1(1,0)0(0,1)10+不存在0+y极小值极大值极小值), 1 ( y) 1,(8989第9页/共26页第九页，共27页。定理4.11(判定极值的第二充分条件(chn fn tio jin) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且 则证 由于f(x)在x0处二阶可导，且 ，由佩亚诺型余项的泰勒公式有0)(0 xf第10页/共26页第十页，共27页。当x充分接近于x0时，易见，上式右端 的符号取决于 .)(0 xf )()(!

6、2120200 xxoxxxf 当二阶导数易求，且驻点x0处的二阶导数 时，利用判定极值的第二充分条件判定驻点 x0 是否为极值点比较方便.0)(0 xf第11页/共26页第十一页，共27页。例4所给的函数定义域为 .),(解第12页/共26页第十二页，共27页。第13页/共26页第十三页，共27页。上述(shngsh)求函数极值与极值点的方法可总结为:欲求(y qi)连续函数f(x)的极值点，需(1) 求出f(x)的定义域.(4) 如果(rgu)函数在驻点处的函数的二阶导数易求，可以利用判定极值第二充分条件判定其是否为极值点.(2) 求出 .在f(x)的定义域内求出f(x)的全部驻点及导数不

7、存在的点.)(xf (3) 判定在上述点两侧 的符号，利用判定极值第一充分条件判定其是否为极值点.)(xf 第14页/共26页第十四页，共27页。二、函数(hnsh)的最大值与最小值由闭区间上连续函数的最大值最小值定理可知，如果f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上必定能取得(qd)最大值与最小值.如何求出连续函数在闭区间上的最大值、最小值是本段的基本问题.第15页/共26页第十五页，共27页。求a,b上连续函数的最大值、最小值的步骤(bzhu)：(1)求出f(x)的所有位于(a,b)内的驻点.,21kxxx (2)求出f(x)在(a,b)内导数不存在的点.,21kxxx (3)比较导数

8、为零的点和导数不存在(cnzi)的点的y值及f(a)和f(b).其中最大的值即为最大值，最小的值即为最小值，相应的点为最大值点和最小值点.第16页/共26页第十六页，共27页。由上述分析可以看出，最大值与最小值是函数(hnsh)f(x)在区间a,b上的整体性质，而极大值与极小值是函数(hnsh)f(x)在某点邻域内的局部性质.第17页/共26页第十七页，共27页。例5由于所给函数为1,2上的连续函数.解第18页/共26页第十八页，共27页。可知(k zh)f(x)在0,3上的最大值点为x=2，最大值为f(2)=1.例6所给函数为0,3上的连续函数.解最小 值 点为x=0，最小值为第19页/共2

9、6页第十九页，共27页。由隐函数求导法则可以得出过M点的切线斜率.22yaxbk例7任取 上的点M(x,y)，且x0，y0.12222byax解).(22xXyaxbyY因而过M(x,y)的切线方程为第20页/共26页第二十页，共27页。可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为.22122xybaXYS但是S最小当且仅当其分母 最大.222xaabx令X=0，得切线在y轴上的截距 .ybY2令Y=0，得切线在x轴上的截距 .xaX2第21页/共26页第二十一页，共27页。.220by 此时.20022abyxbaS而且所求的驻点唯一，因此点 为所求最小值点，最小面积为ab.)22,22(0ba

10、M由问题实际意义知，所围三角形面积存在最小值，第22页/共26页第二十二页，共27页。 如果目标函数可导，其驻点唯一，且实际意义表明函数的最大(小)值存在(且不在定义区间(q jin)的端点上达到)，那么所求驻点就是函数的最大(小)值点. 有必要指出，对于在实际的问题中求其最大(小)值，首先应该(ynggi)建立目标函数.然后求出目标函数在定义(dngy)区间内的驻点. 如果驻点有多个，且函数既存在最大值也存在最小值，只需比较这几个驻点处的函数值，其中最大值即为所求最大值，其中最小值即为所求最小值.第23页/共26页第二十三页，共27页。例8 欲围一个面积为150平方米的矩形场地(chngd)

11、，所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.问场地(chngd)的长、宽为多少米时，才能使所用材料费最少？设所围矩形场地正面长为x m，另一边长为y m，则矩形场地面积为xy=150， .xy150解设四面围墙的高相同(xin tn)，都为h，则四面围墙所使用材料的费用f(x)为第24页/共26页第二十四页，共27页。由于驻点唯一(wi y)，由实际意义可知，问题的最小值存在，因此当正面长为10米，侧面长为15米时，所用材料费最少.第25页/共26页第二十五页，共27页。感谢您的观看(gunkn)！第26页/共26页第二十六页，共27页。NoImage内容(nirng)总结在实际问题中经常遇到需要解决在一定条件下的最大、最小、最远、最近、最好、最优等问题，这类问题在数学上常可以归结为求函数(