高考数学二轮复习微专题11答案 (2)

1、微专题微专题 11 例题 答案：1，4 解法 1 建立如图所示的直角坐标系， 设 此 扇 形 的 半 径 为 1 ， aob 60，所以 a12，32，b(1，0)，设xccos，ycsin，0，3，因为ocxoayob，所以(cos，sin)x12，32y(1，0)， 解得x2sin3，ycossin3，则 tx4y4cos2 3sin3，0，3，以下用导数方法求解函数 t 的最值情况，因为 t4sin2 33cos，当 0，3时，sin0，cos0，则 t0，即函数t 在 0，3时是单调递减的，所以当 0 时，tmax412 3304，当 3时，tmin4122 33321，综上所述，x4

2、y 的取值范围是1，4 解法 2 建立解法 1 中的直角坐标系xoy，设此扇形的半径为 1，由于aob60，则 a12，32，b(1，0)，设 c(m，n)，因为 c 为弧 ab 上的一个动点，则 m2n2112m1，0n32，由于ocxoayob，所以(m，n)x12，32y(1，0)，从而mx2y，n32x，解得 x2 3n3，ym33n，所以 x4y2 33n4m33n 2 33(2 3mn)，记 t2 3mn，则直线 l：n2 3mt 过弧 ab 上的点，当点 l 过点 b(1，0)时 t 取得最大值tmax2 3，当 l 过点 a12，32时，t 取得最小值 tmin32，所以 x4

3、y2 33t1，4 解法 3 取 ob的四等分点(靠近点 o)d，连接 ad 交 oc 于点 e，设此扇形的半径为 1，则|oc|1，由于ocxoayob，则ocxoa4y14obxoa4yod，因为 a，e，d 共线，设oeoaod，则 1，又因为 o，e，c 共线，设ockoe，则ockoekoakodxoa4yod，所以 x4yk|oc|oe|1|oe|，当 e，d 重合时，|oe|取得最小值，x4y 取得最大值 4；当 e，a 重合时，|oe|取得最大值，x4y 取得最小值1，所以 x4y1，4(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅) 变式联想变式联想

4、 变式 1 答案： 2. 解法 1 因为abc4，所以aoc2，不妨设 a(1，0)，c(0，1)，b(cos，sin)，2，2，则 cosm，sinnmncossin 2sin4 2，当且仅当 54时取等号 解法 2 如图，因为abc4，所以 aoc2，不妨设 a(1，0)，c(0，1)，b(x，y)(优弧上的点)，由于obmoanoc，则(x，y)m(1，0)n(0，1)，即xm，yn，所以 mnxy2（x2y2） 2，当且仅当 xy22时取等号 解法 3 如图，因为abc4，所以aoc2，不妨设 a(1，0)，c(0，1)，b(x，y)(优弧 上的点)，则|ob|1，记 ob 的反向延长

5、线交 ac 于点 d，则因为 a，d，c 共线，设odoaoc，则 1，又因为 o，d，b 共线，设obkod(k0)，则obkodkoakocmoanoc，所以 mnk()k |ob|od|1|od|，当 d 位于 ac 中点时，|od|取得最小值，mn 取得最小值2，此时 xy22. (用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅) 变式 2 答案：12. 解法 1 以 a 为原点，以 ab 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，设正方形abcd 的边长为 1，则 e12，0 ，c(1，1)，d(0，1)，a(0，0)，设 p(cos，sin)，所以ac(1，1

6、)，又acdeap.故 12，1 (cos，sin)(1，1)， 所以12cos1，sin1， 故2sin2cos2cossin，32cossin， 从而 32sin2cos2cossin （2cossin）3sin32cossin 13sin32cossin，记 f()13sin32cossin，由题意得，02，则f() 66sin3cos（2cossin）20.所以 f() 1 3sin32cossin在0，2上 单 调 递增，所以当 0 时， 的最小值为12. 解法 2 如图，设正方形边长为 1，将向量de沿 da 平移至af，则deaf，连接fp并延长交 ac的延长线于点 q， 由于

7、f，p，q 共线，设aqxafyapxdeyap，则 xy1， 因为 a，c，q 共线，设ackaq，则ackaqk(xdeyap)， 又因为acdeap，由平面向量基本定理得kx，ky，所以 kxkyk|ac|aq|2|aq|，当|aq|最大时， 取得最小值，此时 p，b 重合，|aq|2 2，所以()minkmin12. (用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅！) 说明：平面向量线性表示背景下的最值问题涉及平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，解决此类问题通常是先合理设元将向量关系数量化进而得出未知元之间的关系式，再依据函数的单调性或基本

8、不等式求目标函数的最值解决问题的关键是目标的有效选择与合理表征，等和线在解决线性目标函数问题时，比较快捷 串讲激活串讲激活 串讲 1 答案： 723. 解法 1 以 a为原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 a(0，0)，b32，323 ， c32，323 ，设 p(cos，sin)，aq23ap13ac23(cos，sin) 1332，323 23cos12，23sin32， bq baaq32，323 23cos12，23sin3223cos2，23sin 3 ， 则|bq| 23cos2223sin 32679437sin（）( 是以 sin277， co

9、s217的非特殊角)，所以 |bq|679437sin（） 679437 6712 793 723 723. 解法 2 如图，取 ac 的三等分点 d(靠近 a)，则ad13ac，又aq23ap13ac，即aq23apad，及dq23ap，因为点 p是以 a 为圆心的单位圆上一动点，所以点q 是以点 d 为圆心，23为半径的圆上的动点，又 bd bc2dc22bc dccosbcd 3222232cos60 7，所以|bq|的最小值为 723. 串讲 2 答案：94. 解法 1 由题意可知，m，e，n 三点共线，故设memn(01)，而ae12ad14(abac)，所以memn，即aeam(a

10、nam)，即14(abac)xab (y ac x ab) ， 即14xx ab14y ac0，所以 14xx0，14y0， 即x14（1），y14，故 4xy11141114(1)1145421145494，当且仅当114时，即 13时等号成立，故 4xy的最小值是94. 解法 2 由于 m，e，n 共线，设aeaman，则 1，因为amxab， anyac， 所以ae xabyac，由于 ad 为三角形 abc 的中线，所以ad12ab12ac，又因为 e 为 ad 中点，所以ae12ad14ab14acxabyac，所以 x14，y14，且 1，所以1x1y4(xy0)，所以 4xy14(4xy)1x1y 14414xyyx14524xyyx94，当且仅当 x38，y34时取得等号所以 4xy的最小值是94. 新题在线新题在线 答案：3. 解析：如图，建立平面直角坐标系，设 a(0，1)，b(0，0)，c(2，0)，d(2，1)，p(x，y) 根据等面积公式可得圆的半径 r2