高考数学二轮复习专题突破练26　圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 (2)

1、专题突破练专题突破练 26 圆锥曲线中的最值、范围、证明问圆锥曲线中的最值、范围、证明问题题 1.(2020 山东潍坊一模,21)在平面直角坐标系 xoy 中,f1,f2分别为椭圆 c:22+22=1(ab0)的左、右焦点,a为椭圆的右顶点,点 p 为椭圆 c 上的动点(点 p与椭圆 c 的左、右顶点不重合),当pf1f2为等边三角形时,其面积为3. (1)求椭圆 c 的方程; (2)如图,m 为 ap 的中点,直线 mo 交直线 x=-4于点 d,过点 o作 oeap交直线 x=-4 于点 e,证明oef1=odf1. 2.(2020 百校联考高考百日冲刺金卷,19)已知pf1f2中,f1(

2、-1,0),f2(1,0),|pf1|=4,点 q 在线段 pf1上,且|pq|=|qf2|. (1)求点 q的轨迹 e 的方程; (2)若点 m,n在曲线 e 上,且 m,n,f1三点共线,求f2mn面积的最大值. 3.(2020 山东泰安一模,21)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的左、右焦点分别为 f1,f2,直线 l:y=kx+m 与椭圆 c相交于 p,q两点;当直线 l经过椭圆 c的下顶点 a 和右焦点 f2时,f1pq的周长为 42,且 l与椭圆 c 的另一个交点的横坐标为43. (1)求椭圆 c 的方程; (2)点 m为poq内一点,o为坐标原点,满足 + + =0,若点

3、m恰好在圆 o:x2+y2=49上,求实数 m 的取值范围. 4.(2020 山东聊城一模,20)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的长轴长为 4,右焦点为 f,且椭圆 c上的点到点 f 的距离的最小值与最大值的积为 1,圆 o:x2+y2=1 与 x 轴交于 a,b两点. (1)求椭圆 c 的方程; (2)动直线 l:y=kx+m 与椭圆 c 交于 p,q两点,且直线 l与圆 o相切,求apq 的面积与bpq的面积乘积的取值范围. 5.(2019 湖北恩施高三 2月教学质量检测)已知抛物线 c:y2=2px(p0)的焦点为 f,其准线 l:x=-1 与 x 轴的交点为 k,过点 k的直线

4、 l与抛物线 c交于 a,b 两点. (1)求抛物线 c的方程; (2)点 a 关于 x轴的对称点为 d,证明:存在实数 t(0,1),使得 =t +(1-t) . 6.(2020 云南昆明高三“三诊一模”教学质量检测,21)椭圆规是画椭圆的一种工具,如图 1所示,在十字形滑槽上各有一个活动滑标 m,n,有一根旋杆将两个滑标连成一体,|mn|=4,d为旋杆上的一点且在m,n两点之间,且|nd|=3|md|,当滑标 m 在滑槽 ef内作往复运动,滑标 n 在滑槽 gh 内随之运动时,将笔尖放置于 d处可画出椭圆,记该椭圆为 c.如图 2所示,设 ef与 gh 交于点 o,以 ef所在的直线为 x

5、轴,以 gh所在的直线为 y轴,建立平面直角坐标系. (1)求椭圆 c 的方程; (2)设 a1,a2是椭圆 c的左、右顶点,点 p 为直线 x=6上的动点,直线 a1p,a2p 分别交椭圆于 q,r两点,求四边形 a1qa2r 面积的最大值. 专题突破练 26 圆锥曲线中的最值、 范围、证明问题 1.(1)解 设椭圆 c 的半焦距为 c,因为pf1f2是等边三角形,所以此时 p在上顶点或下顶点处, 所以 a=2c,所以 bc=3. 又由 a2=b2+c2,解得 c2=1,a2=4,b2=3,故椭圆的方程为24+23=1. (2)证明 由题意知 a(2,0), 设 ap的中点 m(x0,y0)

6、,p(x1,y1), 设直线 ap的方程为 y=k(x-2)(k0),将其代入椭圆方程整理得 (4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0, 所以 x1+2=16242+3, 所以 x0=8242+3,y0=k(x0-2)=-642+3, 即 m的坐标为(8242+3,-642+3), 从而 kom=-642+38242+3=-34, 所以直线 om的方程为 y=-34x, 令 x=-4,得 d(-4,3), 直线 oe的方程为 y=kx,令 x=-4,得 e(-4,-4k), 由 f1(-1,0),得1=-4-3=43, 所以 kom 1=-1,即 omef1,记垂足为 h, 因为1=

7、3-3=-1,koe=kap=k,所以 oedf1,记垂足为 g. 在直角三角形 eho 和直角三角形 dgo中,odf1和oef1都与eod互余,所以odf1=oef1. 2.解 (1)因为|pq|=|qf2|,故|qf1|+|qf2|=|qf1|+|qp|=|pf1|=4|f1f2|=2, 故点 q的轨迹是以 f1,f2为焦点,长轴长为 4的椭圆(不包含长轴的端点). 故点 q的轨迹 e的方程为24+23=1(x2). (2)直线 mn 过点 f1(-1,0),设直线 mn 的方程为 x=ky-1,m(x1,y1),n(x2,y2), 联立 = -1,24+23= 1,消去 x得(4+3k

8、2)y2-6ky-9=0, 1+ 2=632+4,12= -932+4, 2=12|f1f2| |y1-y2|=122+132+4. 令2+ 1=t,则 t1, 2=123+1. 令 f(t)=3t+1,则 f(t)=3-12, 当 t1,+)时,f(t)0, f(t)=3t+1在1,+)上单调递增. 2=123+13,当 t=1时取等号. 即当 k=0时,f2mn 面积的最大值为 3. 3.解 (1)由题意知 4a=42, a=2, 直线 af2的方程为 y=(x-c). 直线 af2与椭圆 c 的另一个交点的横坐标为43, =(43-),(43)22+22= 1,解得 c=1 或 c=2(

9、舍去). b2=1, 椭圆 c 的方程为22+y2=1. (2)设 p(x1,y1),q(x2,y2), + + =0, 点 m为poq的重心, m(1+23,1+23). 点 m在圆 o:x2+y2=49上, (x1+x2)2+(y1+y2)2=4, 由 = + ,22+ 2= 1,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, x1+x1=-41+22,x1x2=22-21+22,(x1+x2)2+(y1+y2)2=(-41+22)2+ (-41+22) +22=4,即16(1+2)22(1+22)216221+22+4m2=4. m2=(1+22)242+1. 由 0得 1+2k2m2

10、, 1+2k2(1+22)242+1, 解得 k0. m2=(1+22)242+1=1+4442+1=1+442+141, m1或 m0. 设 p(x1,y1),q(x2,y2),则 x1+x2=-81+42,x1x2=42-41+42, 所以|pq|=1 + 2(1+ 2)2-412= 1 + 2 (-81+42)2-442-41+42=1 + 2 16(1+42-2)(1+42)2. 因为直线 l 与 o相切,所以点 o到直线 l 的距离 d=|1+2=1,即 1+k2=m2, 所以 =48k2,由 0,得 k20. 又 a,b两点到直线 l 的距离分别为 d1=|+|1+2,d2=|-|

11、1+2. 所以apq的面积与bpq的面积乘积为 sapq sbpq =14(1 + 216(1+42-2)(1+42)2)2|+|1+2|-|1+2 =4(1+42-2)|2-2|(1+42)2 =4(1+42-1-2)|2-1-2|(1+42)2=122(1+42)2 =12162+12+8. 因为 k20,所以 16k2+12+816,1162+12+8 (0,116,sapq sbpq (0,34. 因此apq的面积与bpq的面积乘积的取值范围为(0,34. 5.(1)解 因为抛物线 c:y2=2px(p0)的准线方程为直线 l:x=-1, 所以-2=-1,解得 p=2. 所以抛物线 c

12、 的方程为 y2=4x. (2)证明 易知点 k 的坐标为(-1,0),据此可设直线 l 的方程为 x=my-1,设 a(x1,y1),b(x2,y2). 联立 = -1,2= 4,整理得 y2-4my+4=0,故1+ 2= 4,12= 4. 因为点 a关于 x轴的对称点为 d,a(x1,y1),所以 d(x1,-y1). 则直线 bd的方程为 y-y2=2+12-1(x-x2),得 y-y2=2+1(2-1)-(1-1)(x-x2), 得 y-y2=2+1(2-1)(x-x2), 即 y-y2=42-1x-224. 令 y=0,得 0-y2=42-1x-224,得 x=224-y22-14=

13、22-22+124=124=44=1. 所以直线 bd恒过定点(1,0). 所以点 f(1,0)在直线 bd上, 所以不妨令 =t (t(0,1). 因为 = + , 所以 = +t , 所以 = +t( ), 所以 =(1-t) +t . 所以存在实数 t(0,1),使得 =t +(1-t) ,命题得证. 6.解 (1)由|mn|=4,d为旋杆上的一点,且在 m,n 两点之间,且|nd|=3|md|,可得|md|=1,|nd|=3, 所以椭圆的长半轴 a为 3,短半轴 b为 1,所以椭圆的方程为29+y2=1. (2)由对称性设 p(6,t),其中 t0,则直线 a1p 的方程为 y=9(x+3),直线 a2p的方程为 y=3(x-3),设 q(x1,y1),r(x2,y2),由29+ 2= 1, =9( + 3),消 x可得(9+t2)y2-6ty=0,由于1=0,所以 y1=69+2,由29+ 2= 1, =3(-3),消 x可得(1+t2