高考数学二轮复习专题二 培优点10 平面向量“奔驰定理”

1、1 / 5 培优点培优点 10 平面向量平面向量“奔驰定理奔驰定理” 定理：如图，已知 p为abc 内一点，则有 spbc paspac pbspab pc0. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用 例 (1)已知点 a，b，c，p 在同一平面内， pq13pa，qr13qb， rp13rc，则sabcspbc等于( ) a143 b194 c245 d296 答案 b 解析 由qr13qb，得prpq13(pbpq)， 整理得pr13pb23pq13pb

2、29pa， 由rp13rc，得rp13(pcpr)， 整理得pr12pc，12pc13pb29pa， 整理得 4pa6pb9pc0， sabcspbc(469)4194. 2 / 5 (2)已知点 p，q 在abc内，pa2pb3pc2qa3qb5qc0，则|pq|ab|等于( ) a.130 b.131 c.132 d.133 答案 a 解析 根据奔驰定理得，spbcspacspab123，sqbcsqacsqab235， spabsqab12sabc，pqab， 又spbc16sabc，sqbc15sabc， |pq| ab|1516130. (3)过abc 重心 o 的直线 pq 交 a

3、c 于点 p，交 bc 于点 q， pc34ac， qcnbc，则 n的值为_ 答案 35 解析 因为 o 是重心，所以oaoboc0，即oaoboc， pc34acocop34(ocoa) op34oa14oc 34ob12oc， qcnbcocoqn(ocob) oqnob(1n) oc， 因为 p，o，q三点共线，所以opoq， 3 / 5 所以34(1n)12n，解得 n35. “奔驰定理”与三角形“四心”： 已知点 o 在abc 内部，有以下四个推论： (1)若 o 为abc 的重心，则oaoboc0. (2)若 o 为abc 的外心，则 sin 2a oasin 2b obsin

4、2c oc0. (3)若 o 为abc 的内心，则 a oab obc oc0. 备注：若 o为abc的内心，则 sin a oasin b obsin c oc0 也对 (4)若 o 为abc 的垂心，则 tan a oatan b obtan c oc0. 1点 p在abc内部，满足pa2pb3pc0，则 sabcsapc为( ) a21 b32 c31 d53 答案 c 解析 根据奔驰定理得，spbcspacspab123. sabcsapc31. 2点 o 为abc 内一点，若 saobsbocsaoc432，设aoabac，则实数 和 的值分别为( ) 4 / 5 a.29，49 b.49，29 c.19，29 d.29，19 答案 a 解析 根据奔驰定理，得 3oa2ob4oc0， 即 3oa2(oaab)4(oaac)0， 整理得ao29ab49ac，故选 a. 3.设点 p在abc内且为abc 的外心，bac30 ，如图若pbc，pca，pab 的面积分别为12，x，y，则 xy 的最大值是_ 答案 33 解析 根据奔驰定理得，12paxpbypc0， 即ap2xpb2ypc， 平方得ap24x2pb24y2pc28xy| pb| |pc| cosbpc， 又因为点 p是abc的外心， 所以| pa|pb|pc|， 且bpc2ba