高考数学二轮复习专题48 椭圆、双曲线、抛物线（知识梳理）（文）（解析版）

1、1 / 19 专题专题 48 椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线（知识梳理）（知识梳理） 一、一、椭圆椭圆 (一一)椭圆的基本定义和方程椭圆的基本定义和方程 1、椭圆的定义：、椭圆的定义：设1f、2f是定点，p为动点，则满足apfpf2|21=+(a为定值且|221ffa )的动点p的轨迹称为椭圆，符号表示：apfpf2|21=+(|221ffa )。 注意：当|221ffa =时为线段21ff，当|221ffa 时无轨迹。 2、椭圆的方程及图像性质、椭圆的方程及图像性质 定义方程 aycxycx2)()(2222=+ acyxcyx2)()(2222=+ 标准方程 12222=+bya

2、x(0 ba) 12222=+bxay(0 ba) 一般方程 122=+ nymx(0m，0n，nm) 推导方程 22222bxaby+=(0 ba) 22222axbax+=(0 ba) 范围 aax，bby， bbx，aay， 图形 焦点坐标 焦点在x轴上)0(1，cf ，)0(2，cf 焦点在y轴上)0(1cf，)0(2cf， 对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点(这个对称中心称为椭圆的中心) 顶点 )0(1，aa 、)0(2，aa、)0(1bb，、)0(2bb， )0(1aa，、)0(2aa，、)0(1，bb、)0(2，bb 轴 长轴21aa的长为：a2(a为长半轴) 短轴21b

3、b的长为：b2(b为短半轴) 离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率ace =，) 10( ，e， e越大越扁，e越小越圆 焦距：cff221= 222cba+= 3、椭圆、椭圆12222=+byax(0 ba)的图像中线段的几何特征的图像中线段的几何特征(如图如图)： (1)apfpf2|21=+，epmpfpmpf=2211，capmpm2212|=+； (2)abfbf=|21，cofof=|21，2221|bababa+=+； (3)cafafa=|2211，cafafa+=|1221。 例 1-1判断： (1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。 ( )

4、(2)在椭圆定义中，将“大于|21ff”改为“等于|21ff”的常数，其它条件不变，点的轨迹为线段。 () (3)到两定点)02(1，f和)02(2，f的距离之和为3的点m的轨迹为椭圆。 ( ) 2 / 19 例 1-2椭圆192522=+yx的焦点在 轴上，焦距为 ；椭圆116922=+yx的焦点在 轴上，焦点坐标为 。 【答案】x 8 y )70( ，和)70(， 【解析】由925 可判断椭圆192522=+yx的焦点在x轴上， 由169252=c，可得4=c，故其焦距为8， 由916 ，可判断椭圆116922=+yx的焦点在y轴上， 79162=c，焦点坐标为)70( ，和)70(，。

5、例 1-3已知椭圆06322=+mymx的一个焦点为)20( ，则m的值为( )。 a、2 b、3 c、4 d、5 【答案】d 【解析】方程变形为12622=+myx，焦点在y轴上，62m，解得3m， 又2=c，2262=m，解得则5=m，故选 d。 例 1-4方程1) 1(2222=+mymx表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 。 【答案】)210()0(， 【解析】02m，0) 1(2m，22) 1(mm，解得)210()0(， m。 (二二)椭圆中的焦点三角形：椭圆中的焦点三角形：若1f、2f是椭圆12222=+byax(0 ba)的两个焦点，p为椭圆上一动点，则21fpf称为

6、椭圆的焦点三角形，其周长为)(2ca +。 1、相关性质：、相关性质： (1)当点p从a点逆时针运动时，21pff由锐角逐渐增大，到达b点时达到最大，过了y轴之后又逐渐减小。 (2)设=21pff，则221cose。(当且仅当动点为短轴端点时取等号) (3)设=21pff，则焦点三角形的面积2tan221=bspff。 3 / 19 证明：设mpf = |1，npf = |2，由余弦定理得2221224|cos2cffmnnm=+， 由椭圆定义得anm2=+，带入得+=+=cos12cos1)(2222bcamn， 2tancos1sinsin212221=+=bbmnspff(最大值为bc)

7、。 (4)过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab22。 (5)22122bpfpfcb，最大值与最小值之差一定是2c。 证明：1pf的坐标为)(yxc，2pf的坐标为)(yxc ， 根据椭圆方程12222=+byax得22222bxaby+=， 222222222222221)1 ()()()()(cbxaccbxabyxcyyxcxcpfpf+=+=+=+=， 当0=x时取最小值为22cb ，当ax=时取最大值为2b。 2、解与焦点三角形、解与焦点三角形21fpf(p为椭圆上的点为椭圆上的点)有关的计算问题有关的计算问题 (1)与焦点三角形21fpf有关的计算问题时，常考

8、虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式2121sin|2121pffpfpfspff=相结合的方法进行计算解题。 (2)将有关线段|1pf、|2pf、|21ff，有关角21pff(2121bffpff)结合起来，建立|21pfpf +和|21pfpf 之间的关系。 例 1-5已知1f、2f是椭圆的两个焦点，满足021=mfmf的点m总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )。 a、)210( ， b、)220( ， c、)2221( ， d、) 122(， 【答案】b 【解析】21mfmf ，点m在以21ff为直径的圆上，又点m在椭圆内部，bc ， 2222cabc=，即2

9、22ac ，2122ac，即22ac，又0e，220e，故选4 / 19 b。 例 1-6椭圆16410022=+yx的焦点为1f、2f，椭圆上的点p满足6021=pff，则=21pffs( )。 a、3316 b、364 c、3364 d、3391 【答案】c 【解析】由余弦定理：221212221|60cos|2|ffpfpfpfpf=+，又20|21=+ pfpf， 代入化简得3256|21= pfpf，336460sin|212121=pfpfspff，故选 c。 例 1-7椭圆13610022=+yx上一点p满足到左焦点1f的距离为8，则21pff的面积是 。 【答案】1512 【解

10、析】由椭圆的定义得202|21=+apfpf，12|2=pf， 41128216128|2|cos22221221222121=+=+=pfpfffpfpfpff， 415sin21= pff，则15124151282121=fpfs。 (三三)直线与椭圆直线与椭圆 1、由方程组、由方程组=+=+102222byaxcbyax，消去，消去y导成导成02=+nqxpx(0p)，判断，判断pnq42=。 0 方程组有两解 两个交点 相交 0= 方程组有一解 一个交点 相切 0 方程组无解 无交点 相离 2、过椭圆上点切线问题：、过椭圆上点切线问题： 若)(000yxp，在椭圆12222=+byax

11、(0 ba)上，则过0p的椭圆的切线方程是12020=+byyaxx。 3、弦长公式：、弦长公式：若直线fkxy+=与椭圆12222=+byax(0 ba)的交点为)(11yxa，、)(22yxb，则| ab叫做弦长。 5 / 19 21221222122212214)(1)(1)()(|xxxxkxxkyyxxab+=+=+= |12pk+=(韦达定理)|11)(112122212yykyyk+=+=。 说明：与| p分别是直线与曲线方程联立方程组消去y后的根的判别式及2x项的系数。 4、焦点弦公式：、焦点弦公式：椭圆方程为12222=+byax(0 ba)，半焦距为0c，焦点)0(1，cf

12、 、)0(2，cf，设过1f的直线l的倾斜角为，l交椭圆于两点)(11yxa，、)(22yxb，求弦长| ab。 解：连结af2、bf2，设xaf= |1、ybf= |1，由椭圆定义得xaaf= 2|2、yabf= 2|2， 由余弦定理得222)2(cos22)2(xacxcx=+，整理可得=cos2cabx， 同理可求+=cos2caby，则=+=+=222222cos2coscoscaabcabcabyxab； 同理可求焦点在y轴上的过焦点弦长为=2222sin2|caabab(a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距)。 结论：椭圆过焦点弦长公式：=)(sin2)(cos2|22222222轴

13、上焦点在轴上焦点在ycaabxcaabab。 5、椭圆的斜率公式： (1)过椭圆上12222=+byax(0 ba)上一点)(00yx ，的切线斜率为0202yaxb。 (2)直线l(不平行于y轴)过椭圆12222=+byax(0 ba)上两点a、b，ab中点为)(00yxp，则22abkkopab=。 证明：设)(11yxa，、)(22yxb，则有=+=+11222222221221byaxbyax， 上式减下式得02222122221=+byyaxx，2222212221abxxyy=， 220021210021212121212122abxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy=+，22

14、abkkopab=。 特殊的：直线l(存在斜率)过椭圆12222=+bxay(0 ba)上两点a、b，ab中点为)(00yxp，则有6 / 19 22bakkopab=。 证明：设)(11yxa，、)(22yxb，则有=+=+11222222221221bxaybxay， 上式减下式得02222122221=+bxxayy，2222212221baxxyy=， 220021210021212121212122baxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy=+，22bakkopab=。 (3)若a、b是椭圆12222=+byax(0 ba)上关于原点对称的两点，p是椭圆上任意一点，当pa、pb的斜

15、率pak和pbk都存在时，有22abkkpbpa=。 证明：如图：连结ab，取pb中点m，连结om， 则paom /，有paomkk=， 由椭圆中点弦斜率公式得：22abkkpbom=，22abkkpbpa=。 (4)若1a、2a、1b、2b是椭圆12222=+byax(0 ba)上的左、右、上、下顶点，p是椭圆上除了1a、2a、1b、2b的任意一点，则2221abkkpapa=，2221abkkpbpb=。 (5)椭圆12222=+bxay(0 ba)与斜率为k的直线l相交于a、b两点，ab的中点为)(00yxm，则有02020=+kbyax。 例 1-8已知椭圆12222=+byax(0

16、ba)的一条弦所在的直线方程是03=+ yx，弦的中点坐标是) 12(，m，则椭圆的离心率是( )。 a、55 b、21 c、22 7 / 19 d、23 【答案】c 【解析】1=abk且21=omk，根据定理有2122=ab，即22122=abe，故选 c。 例 1-9过椭圆141622=+yx内的一点) 12( ，m引一条弦，使弦被m点平分，求这条弦所在的直线方程。 【解析】设弦所在的直线为ab，根据椭圆中点弦的斜率公式知41=omabkk，显然21=omk， 21=abk，故所求的直线方程为)2(211=xy，即042=+yx。 例 1-10已知椭圆c的焦点)022(1，f和)022(2

17、，f，长轴长6，设直线2+= xy交椭圆c于a、b两点，求线段ab的中点坐标。 【解析】由已知条件得椭圆的焦点在x轴上，其中22=c，3=a，从而1=b， 其标准方程是：1922=+ yx， 联立方程组+=+21222xyyx，消去y得，02736102=+xx。 设)(11yxa，、)(22yxb，ab线段的中点为)(00yxm，则51821=+ xx，592210=+=xxx， 51200=+= xy，即线段ab中点坐标为)5159(，。 二、二、双曲线双曲线 (一一)双曲线的基本定义和方程双曲线的基本定义和方程 1、双曲线的定义：、双曲线的定义：把平面内与两个定点1f、2f的距离的差的绝

18、对值等于常数a2(|2021ffa )的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 2、曲线的标准方程：、曲线的标准方程： 定义方程 aycxycx2|)()(|2222=+ acyxcyx2|)()(|2222=+ 标准方程 12222=byax(0a，0b) 12222=bxay(0a，0b) 一般方程 122=+ nymx(0nm) 范围 ax |，ry ay |，rx 8 / 19 图形 焦点坐标 焦点在x轴上)0(1，cf ，)0(2，cf 焦点在y轴上)0(1cf，)0(2cf， 对称性 对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点(这个对称中心称为双曲

19、线的中心) 顶点 )0(1，aa、)0(2，aa 、)0(1bb，、)0(2bb， )0(1aa，、)0(2aa，、)0(1，bb、)0(2，bb 实轴21aa长a2(a为实半轴)，虚轴21bb长b2(b为虚半轴)，焦距cff221=，222bac+= 渐近线 0= aybx(或xaby=) 0=byax(或xbay=) 离心率 双曲线的焦距与长轴长度的比：ace =，)1 (+ ，e，e越大开口越大 例 2-1已知点)(yxp，的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点p的轨迹是什么图形？ (1)6|)5()5(|2222=+yxyx； (2)6)4()4(2222=+yxyx。 【解析】(1

20、)|)5()5(|2222yxyx+表示点)(yxp，到 两定点)05(1，f、)05(2，f的距离之差的绝对值， 10|21=ff，|6|2121ffpfpf=，故点p的轨迹是双曲线。 (2)2222)4()4(yxyx+表示点)(yxp，到两定点)04(1，f、)04(2，f的距离之差， 8|21=ff，|6|2121ffpfpf=，故点p的轨迹是双曲线的右支。 例 2-2已知双曲线122= yx，点1f、2f为其两个焦点，点p为双曲线上一点，若21pfpf ，则|21pfpf +的值为 。 【答案】32 【解析】1= ba，2=c，22|21=apfpf，8)2(|22212221=+c

21、ffpfpf， 4|2|)|(|212221221=+=pfpfpfpfpfpf，2|21= pfpf， mpf = |1，npf = |2，2=nm，2= nm，13 +=m，13 =n，32|21=+ pfpf。 例 2-3过双曲线822= yx的左焦点1f有一条弦pq交左支于p、q两点，若7|=pq，2f是双曲线的右焦点，则qpf2的周长为 。 【答案】2814+ 9 / 19 【解析】22= ba，4=c，24|1212=qfqfpfpf， 281428|2|)|24(|)|24(|1122+=+=+=+pqqfpfpqqfpfpq。 例 2-4已知双曲线的方程为1322= yx，则焦

22、点到渐近线的距离为 。 【答案】1 【解析】焦点坐标)02( ，渐近线方程03 =+yx，则点到直线距离1)3(1|0321 |22=+=d。 或利用双曲线渐近线性质：焦点到渐近线距离为1=b。 例 2-5若双曲线以椭圆191622=+yx的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 。 【答案】19722=yx 【解析】椭圆191622=+yx的焦点在x轴上，且4=a，3=b，7=c，焦点为)07(，顶点为)04(， 于是双曲线经过点)07(，焦点为)04(，则7= a，4= c，92= b， 双曲线的标准方程为19722=yx。 例 2-6双曲线c：12222=byax(0

23、a，0b)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则c的焦距为( )。 a、2 b、22 c、4 d、24 【答案】c 【解析】2=ace，取xaby =，即0=aybx，则ac2=，aacb322=， 焦点)0( ，cf到渐近线0=aybx的距离为3，322=+=babcd， 即3233322=+caaac，解得2=c，则焦距为42 =c，故选 c。 (二二)双曲线焦点三角形的几个性质双曲线焦点三角形的几个性质 10 / 19 设若双曲线方程为12222=byax(0a，0b)，1f、2f分别为它的左右焦点，p为双曲线上任意一点，则有： 性质 1、若=21pff，则2cot221=bspff；

24、特别地，当9021=pff时，有221bspff=。 证明：设mpf = |1，npf = |2，由余弦定理得2221224|cos2cffmnnm=+， mnnmnm2)(222+=+，由双曲线定义得anm2|=，带入得222444)cos1 (2bacmn=， =cos122bmn，2cotcos1sinsin212221=bbmnspff。 性质 2、双曲线焦点三角形的内切圆与21ff相切于实轴顶点；且当p点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当p点在双曲线右支时，切点为右顶点。 证明：设双曲线12222=byax的焦点三角形的内切圆且三边21ff、1pf、2pf于点a、b、c，双曲线的两个

25、顶点为1a、2a，则|212121afafcfbfpfpf=，apfpf2|21=， aafaf2|21=，a在双曲线上，又a在21ff上，a在双曲线与x轴的交点，即点1a、2a。 性质 3、双曲线离心率为e，其焦点21fpf的旁心为a，线段pa的延长线交21ff的延长线于点b，则eapba=|。 证明：由角平分线性质(三角形一个角的平分线，这个角平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例)得eacpfpfbfbfpfbfpfbfapba=2221212211。 性质 4、双曲线的焦点21fpf中，=21fpf，=12fpf，当点p在双曲线右支上时，有112cot2tan+=ee；当

26、点p在双曲线左支上时，有112tan2cot+=ee。 证明：由正弦定理知=+=sinsin)sin(sinsin122112pfpfffpfpf，)sin(2sinsin2+=ca， 11 / 19 2sin2cos2cos2sin2sin2cos2cos2sin2sin2sin2sin2cos22cos2sin2sinsin)sin(+=+=+=+=ace， 分子分母同除以2sin2cos，得12cot2tan12cot2tan+=e，得112cot2tan+=ee。 例 2-7设1f、2f分别为双曲线12222=byax(0a，0b)的左、右焦点，双曲线上存在一点p使得bpfpf3|21

27、=+，abpfpf49|21=，则双曲线的离心率为( )。 a、34 b、35 c、49 d、3 【答案】b 【解析】由于双曲线有对称性，则可设点p在双曲线右支上，则apfpf2|21=，而bpfpf3|21=+， 两式左右平方后相减得ababpfpf49449|2221=，得91622=ab， 该双曲线的离心率35)(12=+=abace，故选 b。 例 2-8已知1f、2f是双曲线c：1422=yx的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点p，使得0)(22=+pfofop，o为坐标原点，且|21pfpf=，则的值为( )。 a、31 b、21 c、2 d、3 【答案】c 12 / 1

28、9 【解析】1=a，2=b，5=c，)05(1，f，)05(2，f， 5=e，设点)41(2mmp，+， 0541)541()541()(222222=+=+=+mmmmmmpfofop， 5162=m，554=m， 则)554553(，p，4580)554()5535(|221=+=pf， 22|12=apfpf，224|21=pfpf，故选 c。 (三三)双曲线中点弦的斜率公式双曲线中点弦的斜率公式 性质 1、直线l(不平行于y轴)过双曲线12222=byax(0a，0b)上两点a、b，其中ab中点为)(00yxp，则有22abkkopab=。 证明：设)(11yxa，、)(22yxb，则

29、有=11222222221221byaxbyax，上式减下式得02222122221=byyaxx，2222212221abxxyy=， 220021210021212121212122abxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy=+，22abkkopab=。 特殊的：直线l(存在斜率)过椭圆12222=bxay(0a，0b)上两点a、b，ab中点为)(00yxp，则22bakkopab=。 证明：设)(11yxa，、)(22yxb，则有=11222222221221bxaybxay，上式减下式得02222122221=bxxayy，2222212221baxxyy=， 22002121002

30、1212121212122baxyxxyyxyxxyyxxyyxxyy=+，22bakkopab=。 13 / 19 性质 2、若a、b是双曲线12222=byax(0a，0b)上关于原点对称的两点，p是双曲线上任意一点，当pa、pb的斜率pak和pbk都存在时，有22abkkpbpa=。 证明：连结ab，取pb中点m，连结om，则paom /，有paomkk=， 由椭圆中点弦斜率公式得：22abkkpbom=，22abkkpbpa=。 性质 3、若1a、2a是双曲线12222=byax(0a，0b)上的左、右顶点，p是双曲线上除了1a、2a的任意一点，则2221abkkpapa=。 (四四)

31、双曲线的弦长公式双曲线的弦长公式 1、双曲线的焦点弦长公式：设双曲线12222=byax(0a，0b)其中两焦点坐标为)0(1，cf 、)0(2，cf，过1f的直线l的倾斜角为，交双曲线于两点)(11yxa，、)(22yxb，。则弦长| ab为： 焦点在x轴上的焦点弦长：=)arctanarctan0(cos2)arctan(arctancos222222222ababacabababcaabab或， 焦点在y轴上的焦点弦长：=)arctan(arctansin2)arctanarctan0(sin222222222ababacabababcaabab或， 其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦

32、距，为ab的倾斜角。 2、双曲线的普通弦长公式：设直线l：fkxy+=与双曲线12222=byax(0a，0b)交于)(11yxa，、)(22yxb，且l斜率为k(1212xxyyk=)，则： 21221221222122212214)(1|1)(1)()(|xxxxkxxkxxkyyxxab+=+=+= |12pk+=(韦达定理)|11)(112122212yykyyk+=+=。 说明：与| p分别是直线与曲线方程联立方程组消去y后的根的判别式及2x项的系数。 例 2-9已知双曲线e的中心为原点，)03( ，f是e的焦点，过f的直线l与e相交于a、b两点，且ab的中点为)1512(，n，求双

33、曲线e的方程。 14 / 19 【解析】设双曲线的方程为12222=byax(0a，0b)，由题意知3=c，922=+ba， 设)(11yxa，、)(22yxb，则有：1221221=byax，1222222=byax， 两式作差得：22212122212154abyyxxabxxyy=+=，又ab的斜率是1312015=， 2245ab =，代入922=+ba得，42=a，52=b，双曲线标准方程是15422=yx。 例 2-10已知双曲线1222=yx，经过点) 11 ( ，m能否作一条直线l，使l交双曲线于a、b两点且点m是线段ab的中点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，说明

34、理由。 【解析】若存在这样的直线l的斜率为k，则1=omk，由双曲线中点弦的斜率公式知：2=k， 此时l的方程为：) 1(21=xy，即12 =xy， 将它代入双曲线方程1222=yx并化简得：03422=+ xx， 而该方程没有实数根，故这样的直线l不存在。 三、三、抛物线抛物线 1、抛物线的定义：、抛物线的定义：平面内与一个定点f和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点f叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。 2、抛物线的图形和性质：、抛物线的图形和性质： (1)顶点是焦点向准线所作垂线段的中点； (2)焦准距：pff=； (3)通径：过焦点垂直于轴的弦长为p2； (4)顶

35、点平分焦点到准线的垂线段：2pfoof=。 3、抛物线标准方程的四种形式：、抛物线标准方程的四种形式：pxy22=，pxy22=，pyx22=，pyx22=。 特点：焦点在一次项的轴上，开口与“p2”方向同向。 4、抛物线、抛物线pxy22=的图像和性质：的图像和性质： (1)焦点坐标是：)02(，p； (2)准线方程是：2px=； (3)焦半径公式：20pxpf+=； (4)抛物线pxy22=上的动点可设为)2(020ypyp，或)22(2ptptp，。 5、一般情况归纳：、一般情况归纳： 方程 图象 焦点 准线 定义特征 kxy =2 0k时开口向右 )04( ，k 4kx= 到焦点)04

36、( ，k的距离=到准线4kx=的距离 15 / 19 0k时开口向左 kyx =2 0k时开口向上 )40(k， 4ky= 到焦点)40(k，的距离=到准线4ky=的距离 0k时开口向下 6、焦点弦的相关公式：、焦点弦的相关公式：直线l经过抛物线pxy22=(0p)的焦点f，且与抛物线相交于a、b两点，其中)(11yxa，、)(22yxb，。 (1)焦点弦长公式：过焦点弦长pxxpxpxab+=+=212122|。 证明：pxxpxpxbbbbaaaabbaaab+=+=+=+=21212112121122|； (2)以| ab为直径的圆必与抛物线的准线相切。 证法：设抛物线方程为pxy22=

37、(0p)，则焦点)02(，pf，准线l：2px=， 设以过焦点f的弦ab为直径的圆的圆心m， a、b、m在准线l上的射影分别是1a、1b、1m， 则|11abbfafbbaa=+=+，又|2|111mmbbaa=+， |21|1abmm =，即|1mm为以ab为直径的圆的半径，且准线1mml ，命题成立。 (3)4221pxx=，221pyy=的值。 证法一：设直线l的方程为)2(pxky=，与抛物线方程pxy22=(0p)联立可得：=)2(22pxkypxy， 则pxpxk2)2(2=，化简得04)2(22222=+pkxppkxk，则4221pxx=， 又4212212221422pxxp

38、pxpxyy=，且021 yy，则221pyy=。 证法二：设直线l的方程为2pmyx+=，与抛物线方程pxy22=(0p)联立可得：+=222pmyxpxy， 则)2(22pmypy+=，化简得0222=ppmyy，则221pyy=， 又4422222221222121ppyypypyxx=。 (4)直线1ab与直线1ba必经过原点o。 证法一：设ab：2pmyx+=，代入pxy22=，得0222=ppmyy， 16 / 19 由韦达定理，得2pyyba=，即abypy2=， xbb /1轴，且1b在准线2px=上，)2(1bypb， 则oaaaabobkxyyppyk=221，故直线ac经

39、过原点o。 证法二：如图，记准线l与x轴的交点为f，过a作laa 1，垂足为a，则11/bbffaa， 连结1ab交ff 于点n，则|111abbfabnbaanf=，|1abafbbnf=， |adaf =，|1bbbf =，|11nfabbbafabbfaafn=， 即n是ef的中点，从而点n与点o重合，故直线ac经过原点o。 (5)fbfa11，即211= fba。 证明：)22(121yppyfa，=，)22(222yppyfb，=，a、b、f三点共线， 12212221221221ypyypypyyp=，221pyy=， 0)()(2122111=+=yypypypfbfa，fbfa

40、11，即211= fba。 (6)ffbffa=。 证明：)(11yxa，、)(22yxb，)02(，pf ，则211pxykfa+=，222pxykfb+=， 则)2)(2()2()2(222112212211pxpxpxypxypxypxykkfbfa+=+=+ )2)(2(2222)2)(2()22()22(212212122121212221pxpxpypyypypyypxpxppyyppyy+= 0)2)(2()22)()2)(2()22)()2)(2()(2)(22122121212121212121=+=+=+=pxpxpppyypxpxppyyyypxpxyypyypyy， f

41、fbffa=。 17 / 19 (7)pbfaf2|1|1=+。 证明：)2)(2(|1|12121pxpxpxxbfafbfafbfaf+=+=+ pkkpkkppkppkpppkppkpxxpxxpxx2) 12(2) 12(422424)(2222222222222212121=+=+=+=。 例 3-1斜率为1的直线l经过抛物线xy42=的焦点f，且与抛物线相交于a、b两点，求线段ab的长。 【解析】抛物线xy42=的焦点坐标为)01 ( ，f，直线l方程为1= xy，设)(11yxa，、)(22yxb， 则由抛物线焦点弦长公式得：pxxab+=21|， 又a、b是 抛 物 线 与 直 线 的 交 点 ， 由=142xyxy得0162=+ xx， 则621=+ xx，8|=ab。 例 3-2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线pxy22=(0p)上，求这个正三角形的边长。 【解析】设正三角形oab的顶点a、b在抛物线上，且设点)(11yxa，、)(22yxb， 则1212pxy =，2222pxy =， 又|oboa =，22222121yxyx+=+，即0)(2)(212221=+xxpxx， 0)2)(2121=+pxxxx，又01