高考数学二轮复习专题40 空间点、直线、平面的位置关系（知识梳理）（文）（原卷版）

1、1 / 9 专题专题 40 空间点、直线、平面的位置关系（知识梳理）空间点、直线、平面的位置关系（知识梳理） 一、证明空间平行的方法一、证明空间平行的方法 1、证明线线平行的方法：、证明线线平行的方法： (1)利用直线平行的传递性：31/ll，32/ll21/ll； (2)利用垂直于同一平面的两条直线平行：1l，2l21/ll； (3)中位线法：选中点，连接形成中位线； (4)平行四边形法：构造平行四边形； (5)利用线面平行推线线平行：2l=，1l，/1l21/ll。 2、证明线面平行的方法：、证明线面平行的方法： (1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：1l，2l，21/ll/1l； (

2、2)利用面面平行的性质定理：/，1l/1l； (3)利用面面平行的性质：/，1l，/1l/1l。 3、证明面面平行的方法：、证明面面平行的方法： (1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)： 31/ll，42/ll，all=21，bll=43，21ll、，43ll、/； (2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：1l，1l/； (3)利用平面平行的传递性：/，/。 解决解决空间问题的关键是如何将空间问题的关键是如何将“空间问题空间问题”转化为转化为“平面问题平面问题”的转化思想的应用。的转化思想的应用。 题型一、题型一、“线线平行线线平行”到到“

3、线面平行线面平行” 例 1-1如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥abcdp 中，acab ，pa平面abcd，且abpa=，点e是pd的中点。求证：/pb平面aec。 2 / 9 例 1-2如图所示，在五面体abcdef中，点o是矩形abcd的对角线的交点，面cde是等边三角形，棱bcef21/。求证：/fo平面cde。 题型二、题型二、“面面平行面面平行”到到“线面平行线面平行” 例 2-1如图所示，长方体1111dcbaabcd 中，e、p分别是bc、11da的中点，m、n分别是ae、1cd的中点。求证：/mn平面11aadd。 例 2-2如图，正三棱柱111cbaabc 中，d是bc的

4、中点，11= abaa。求证：/1ca平面dab1。 3 / 9 二二、证明空间垂直的方法、证明空间垂直的方法 1、证明线线垂直的方法、证明线线垂直的方法： (1)利用平行直线的性质：31ll ，32/ll21ll ； (2)利用直面垂直的推理：1l，2l21ll ； (3)中线法：等腰三角形中选中点，三线合一； (4)利用勾股定理的逆定理：若222cba+=，则abc是直角三角形； 2、证明直线与平面垂直的方法：、证明直线与平面垂直的方法： (1)利用线面垂直的判定定理(主要方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直)： 21ll ，31ll ，all=32，32ll 、1l； (2)利用线面

5、垂直的推理： 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面； 若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)； (3)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法)： ，2l=，1l，21ll 1l； (4)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面。 3、证明面面垂直的方法：、证明面面垂直的方法： (1)利用面面垂直的定义，即证明这两个平面所成二面角的平面角为90； (2)可以考虑证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用

6、方法：即证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面)。 题型题型三三、“线线垂直线线垂直”到到“线面垂直线面垂直” 例 3-1如图所示，四面体abcd中，o为bd的中点，2=bdcdbcac，2= adab，求证：ao平面bcd。 4 / 9 例 3-2已知直角梯形abcd中，dcad ，abad ，cde是边长为2的等边三角形，5=ab。沿ce将bce折起，使b至b处，且decb；然后再将ade沿de折起，使a至a处，且面dea面cde，ceb和dea在面cde的同侧。求证：cb平面cde。 例 3-3如图，在多面体pkabcd中，底面abcd是梯形，bcad /，adbc2=，45=abc

7、，pa底面abcd，dkpa/，22=dkpaacab，点e为bc的中点。证明：de平面pac。 题型题型四四、“线面垂直线面垂直”到到“线线垂直线线垂直” 例 4-1如图所示的三棱锥bcda中，侧面abd、acd是全等的直角三角形，ad是公共的斜边，且3=ad，1= cdbd，另一个侧面abc是正三角形。求证：bcad 。 5 / 9 例 4-2如图所示，p是边长为1的正六边形abcdef所在平面外一点，1=pa，p在平面abc内的射影为bf的中点o。证明bfpa。 例 4-3如图所示，在四棱锥abcdp 中，底面为直角梯形，bcad /，90=bad，pa底面abcd，且bcabadap2

8、=，m、n分别为pc、pb的中点。求证：pbdm 。 三、三、等积法求三棱锥的体积及点到面的距离等积法求三棱锥的体积及点到面的距离 由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。 题型五、等积法求三棱锥的体积题型五、等积法求三棱锥的体积 注意：等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再

9、计算三棱锥的体积。 例 5-1如图所示，边长为2的正方体1111dcbaabcd 中，cb1与1bc相交于点o。 (1)求证：/1cb平面ddaa11； (2)求证：1bc平面dcb1； (3)求四面体11bdcb 的体积。 6 / 9 例 5-2如图所示，已知三棱锥bpca中，pcap ，bcac ，m为ab中点，d为pb中点，且pmb为正三角形。 (1)求证：/dm平面apc； (2)求证：平面apc平面abc； (3)若4=bc，20=ab，求三棱锥bcmd 的体积。 例 5-3如图，在底面是菱形的四棱锥abcds 中，2= absa，22= sdsb。 (1)证明：bd平面sac； (

10、2)在侧棱sd上是否存在点e，使得/sb平面ace？请证明你的结论； (3)若120=bad，求几何体sbda的体积。 7 / 9 题型六、点到平面的距离题型六、点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用。 1、求点到面的距离主要方法：、求点到面的距离主要方法： (1)直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作。直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作。 例 6-1在棱长为a的正方体1111dcbaabcd 中求出下列距离： (1)点a到面ccbb11的距离； (2

11、)线段11db到面abcd的距离； (3)点a到面ddbb11的距离； (4)c到平面1bdc的距离。 (2)转移法：若直线转移法：若直线/ab平面平面，则直线，则直线ab上任意一点到平面的距离相等。上任意一点到平面的距离相等。 例 6-2棱长为1的正方体dcbaabcd中，e、f分别是棱aa 、bb 中点，求点b到平面efd的距离。 fecbaddcba8 / 9 例 6-3在棱长为1的正方体dcbaabcd中，e、f分别是棱bb 、cd的中点，求点f到平面eda的距离。 (3)等积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。等积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。 例 6-4如图，在四棱锥abcdp 中，